1、-作者xxxx-日期xxxx平面向量(滬教版)【精品文檔】專題：平面向量的概念知識梳理 1向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量.例如：力，速度。2小寫字母，或用，表示.注意：我們用有向線段表示向量，而不能認為向量就是一個有向線段.3模：向量的長度叫向量的模，記作或.向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小.4零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作；零向量的方向不確定.注意：0和是不同，0是一個數字，代表一個向量，不要弄混.5單位向量：長度為1個長度單位的向量叫做單位向量.注意：單位向量不是只有一個，有無數多個，如果把它們的起始點重合，終止點剛好可以構成一個單位圓。6共線向量：方向相同或相反

2、的向量叫共線向量，規定零向量與任何向量共線.注意：由于向量可以進行任意的平移，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量平行向量和共線向量是一個意思，對于兩個非零向量，若存在非零常數使是的充要條件.7相等的向量：長度相等且方向相同的向量叫相等的向量.練習：判斷下列命題的真假1、平行向量的方向一定相同的. ( )解：有可能方向相反.2、與零向量相等的向量必定是零向量. ( )3、零向量與任意的向量方向都相同。 ( )4、向量就是一條有向的線段。 ( )5、若，則. ( )6、若，則 ( )解：注意區分0和零向量.典例精講 例1（）下列說法正確的是（D）A、數量可以比較大小，向量也可

3、以比較大小.B、方向不同的向量不能比較大小，但同向的可以比較大小.C、向量的大小與方向有關.D、向量的模可以比較大小.解析：任何都向量不能比較大小，模可以比較大小例2（）給出下列六個命題：兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；若，則；若，則四邊形ABCD是平行四邊形；平行四邊形ABCD中，一定有；若，則；若，則正確的是_解析：把一個向量平移后向量是不變的，A,B,C,D有可能在一條直線上，可能是零向量例3. （）在平行四邊形中，下列結論中錯誤的是 （ C ） 課堂檢測1（）下列說法中錯誤的是（ A ）(A)零向量沒有方向 (B)零向量與任何向量平行(C)零向量的長度為零 (D)零向量的方向

4、是任意的2（）已知O在所在平面內，且，且則點O是的（ B ）解：向量經常會放在三角形中考慮，重心：中線交點，外心：垂直平分線交點，垂心：高（垂線）的交點，內心：角平分線的交點。3（）判斷下列各命題的真假：（1）向量的長度與向量的長度相等；（2）向量與向量平行，則與的方向一定相同或相反；（3）兩個有共同起點的而且相等的向量，其終點必相同；（4）兩個有共同終點的向量，一定是共線向量；（5）向量和向量是共線向量，則點A、B、C、D必在同一條直線上；（6）有向線段就是向量，向量就是有向線段.其中假命題的個數為（C）A、2個B、3個C、4個D、5個解：假命題是（2）（4）（5）（6）;（2）向量與向量有

5、一個為零向量，專題：平面向量的數量積知識梳理 1、向量的夾角：已知兩個非零向量，如果以O為起點作，那么射線的夾角叫做向量與的夾角的取值范圍是（1） 當時，表示向量與方向相同；（2） 當時，表示向量與方向相反；（3） 當時，表示向量與相互垂直。【注意：一定牢記夾角的取值范圍，特別是和的實際意義。】2、 向量的數量積已知兩個非零向量與的夾角為（），則把叫做與的數量積，記作即（1）兩個向量的數量積是一個實數；（2），當且僅當時，（3）已知兩個非零向量與的夾角為，則叫做向量在方向上的投影顯然在方向上的投影等于（4）的幾何意義： 等于其中一個向量的模與另一個向量在向量的方向上的投影的乘積【數量積中的運算

6、符號“”不能寫作“”，也不能省略。在方向上的投影是數值（其正負由夾角的大小而定），而不是長度，也不是向量；】3、向量數量積的運算律交換律成立：對實數的結合律成立：分配律成立：特別注意：（1）結合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=0但是乘法公式成立： ；等等。兩個向量垂直的充要條件是：4、向量數量積的坐標表示設，則，即兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積之和。與夾角為，則與的夾角為銳角等價于且 與的夾角為鈍角等價于且【引進向量的坐標表示和運算，揭示了向量的方向的本質屬性。】典例精講 例1. （）（1）已知向量與的夾角為，且，則在的方向上的投影是 ； （2）在中，求的

7、值。解：（1）與的夾角為，且，又， ， 所以向量在向量方向上的投影是。 （2）， 又， 【（1）在方向上的投影是數值（其正負由夾角的大小而定），而不是長度，也不是向量；（2）找準向量的夾角，用好數量積公式是解決有關向量數量積問題的兩個要點。】例2. （）已知與的夾角為，當向量與夾角為銳角時，求實數的取值范圍。解： 與夾角為銳角， 即 ,得易知當時，與夾角為 從而得【當兩個向量的數量積大于0時，它們的夾角取值范圍是】鞏固練習1. （）已知，與的夾角為，試求與的夾角的余弦值。解：與的夾角的余弦值2. （）已知與的夾角為，當向量與夾角為銳角時，求實數的取值范圍。解：或且【是兩向量夾角為銳角的必要不充

8、分條件】例3. （）已知，（1）若=4，求；（2）若三角形為直角三角形，求.解：(1),設與為， ，則 （2）若,得若得1或0（舍）若,，得0（舍）【向量在垂直關系中的應用】鞏固練習（）在直角三角形，求實數的取值范圍解：或或例4（）已知向量,且滿足關系,(k為正實數).(1)求證:;(2)求將表示為k的函數f(k).(3)求函數f(k)的最小值及取最小值時的夾角.解(1)證明: (2) (3) 當且僅當即k=1時,故f(x)的最小值是此時【向量具有獨立的一整套運算體系，它可以上下貫通，左右協調，前后銜接，具有很強的工具性。】例5. （）已知三角形的面積為30，內角所對邊長分別為，（1） 求；（

9、2） 若，求的值。解：由，得又（1）（2）由余弦定理得 ： ，又 【三角形的三邊可與三個向量對應，這樣就可以利用向量的知識來解三角形了，解決此類問題要注意內角與向量的夾角之間的聯系與區別，還要注意向量的數量積與三角形面積公式之間關系的應用】鞏固練習（） 已知ABC的面積S滿足S3，且6，設與的夾角為.(1)求的取值范圍；(2)求函數f()sin22sin cos 3cos2的最小值解：(1)6，|cos 6.|.又S|sin()3tan ，3tan 3，即tan 1.又(0，)，.(2)f()12cos2sin 2cos 2sin 22sin2，由，得2，2.當2即時，f()min3.則 f()min3.例6.（）已知向量.（1）判斷的形狀，并說明理由；（2）求數列的通項公式；（3）若的面積為，求解：（1）， 所以為直角三角形。（2），所以成等比數列，公比為，= 即的通項公式為 （3），成等比數列，公比，首項 課堂檢測 1. （）已知向量，對任意，恒有，則 ( )A. B. C. D. 解：B2.（） 設，點是線段上的一個動點，若，則實數的取值范圍.解：3.（）已知與是非零向量，為實