1、第七章 向量代數與空間解析幾何好像平面解析幾何那樣，空間解析幾何是經過建立空間直角坐標，把空間的點與三元有序數組對應起來，用三元方程及方程組來表示空間幾何圖形，從而可以用代數的方法來研討空間幾何問題，而這又是學習微積分的根底。1 向量及其線性運算 一.向量的概念1.數量與向量：僅有數值大小的物理量稱數量或標量，如溫度、時間等。不僅有大小，還有方向的量稱向量或矢量，如力、速度等。2.向量的表示：普通用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，方向表示向量的方向。3.向量的記法：用粗體字母，如a、I；或上面加箭頭的字母，如a4.向量的模：即向量的大小，MM21用順序寫出始點和終點的記法，如特殊情

2、形：單位向量：模等于1；零向量：模等于0，記為0，其方向可以是恣意的；負向量：與a大小相等方向相反的向量，記為-a.a的模記為a而其屬性不變，本章中只研討自在向量。5.自在向量：與始點位置無關的向量，可以對其進展平移1.向量的加法：即向量的合成，可參照力的合成法那么 定義：將a、b的始點放在一同，以a、b 為鄰邊作平行四邊形，那么從始點到對角頂點的向量稱a、b 的和，記a+b稱平行四邊形法那么。aba+b稱為平行向量，也稱為共線，易知其方向一樣或相反。假設a與b在同一條直線上或在兩條平行直線上，6.平行向量：7.向量相等：大小相等，方向一樣，記a=b.二.向量的線性運算： 平行向量的和：當a與

3、b方向一樣時，其和向量的模等于兩向量模之和，其方向與a、b 方向一樣；當a與b方向相反時，其和向量的模等于兩向量模之差，其方向與a、b 中模較大的向量的方向一樣； 運算律： 1交換律：a+b=b+a 2結合律：a+b+c= a+(b+c)三角形法那么：向量的加法還可以運用三角形法那么，如圖： 特殊情況： a+0 = a ； a +- a = 0.babaaba+b0)()4aaaa0) 3621aaas3a2a1a4a5as6a2.向量的減法：兩向量a與b的差a-b規定為a+-b，可運用三角形法那么求出，如圖：aba-b2.向量在軸上的投影： 點在軸上的投影：過A作軸u的垂直平面，那么與u的交

4、點A稱為A在軸u上的投影. 如圖：AA 向量在軸上的投影：設A點的坐標為x1，y1，B點坐標為x2，y2，那么x2-x1稱為向量 在x軸的投影，記作 ABprjxAB12xxBAprjx同樣12yyBAprjy1x1y2y2x令 分別為x軸上的單位向量，那么有ji,jyyixxAB)()(1212),(1212yyxxAB或AB將投影 ， 分別叫做向量 的坐標12xx 12yy 再設C點的坐標 ，那么 ),(33yx23xxCBprjx不難證明CBjABjCBABjxxxPrPr)(PrCBjABjCBABjyyyPrPr)(Pr即和的投影等于投影的和普通地有： 個向量之和在 軸上的投影等于各

5、個向量在 軸上投影之和nuu注：相等向量在同一軸上的投影相等。 易知，當向量與軸成銳角時投影為正；成鈍 角時投影為 負；成直角時投影為0.BAAuBBu3.關于向量投影的定理： 定理1：向量 在軸 上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦。ABu其中=)(ABu即 cosBABAprju 任何一個向量可在坐標軸上的分解，即任何一個向量可在坐標軸上的分解，即jaiaayx分別稱為分別稱為 在在 軸，軸， 軸上的向量軸上的向量xyajaiayx,aprjaxxaprjayy稱為投影，或坐標，或數量稱為投影，或坐標，或數量yxaa ,jaiaayxm 假設知向量的坐標假設知向量的坐標 ,那么向量

6、的大小和那么向量的大小和m 方向就被確定由方向就被確定由 m 可得可得22yxaaaaax cosaay cos cos,cos稱為稱為 的方向余弦的方向余弦a定理：數與向量的乘積在軸上的投影等于向量在軸上的投影與數的乘積ajajuuPr)(Pr a總之，我們將數量和向量這一對矛盾一致在 之中jaiaayx2 空間直角坐標系與向量的坐標一.空間直角坐標系： 1.定義：由過同一原點O作三條相互垂直的數軸分別稱ox軸、oy軸、oz軸，又稱橫軸、縱軸、豎軸，按右手法那么陳列所組成的坐標系稱為空間直角坐標系，記為Oxyz。其中以三坐標軸正向確定的稱第卦限，按逆時針方向依次稱第、卦限，第卦限下面稱第卦限

7、，再按逆時針方向依次稱第、卦限。3.點的坐標：設有空間中點M，過M作三個平面分別垂直于Ox、Oy、Oz軸，并分別交三軸于點P、Q、R，設這三點在三軸上的坐標分別為x、y、z，那么稱M點的在該空間坐標系中的坐標為x,y,z)，并記M點為M(x,y,z).如圖：2.有關概念：在上面定義中的點O稱為坐標原點；Ox軸、Oy軸、Oz軸稱坐標軸；由每兩條坐標軸所確定的平面稱為坐標平面，其中由Ox軸和Oy軸所確定的平面稱為xOy面，依次類推；三個坐標平面把整個空間分為八個部分，每個部分稱為一個卦限，OQPzyxMR坐標平面：xOy面上為x,y,0)，yOz面上為0,y,z)，zOx上為 x,0,z)； 坐標

8、卦限：在第卦限中的點的坐標的符號依次為(+,+,+),(-,+,+),(-,-,+),(+,-,+),(+,+,-),(-,+,-),(-,-,+),(+,-,-).其中x、y、z分別稱M點的橫坐標、縱坐標和豎坐標。4.坐標特征：點的坐標有以下特征：坐標原點：0,0,0；坐標軸：x軸上為x,0,0)，y軸上為0,y,0)，z軸上為0,0,z)； zkyjxiOM也可記為zyxOM,二.向量的坐標：1.根本單位向量：此向量的坐標為OM為點M的向徑，稱向量設有空間中點Mx,y,z)， 2.點M的向徑的坐標：分別記為i、j、k.正向一樣的三個單位向量與x軸、y軸、z軸5.向量線性運算的坐標代數表示：

9、設A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)為空間中兩點，AB3.向量的坐標：易知：AB=x2-x1,y2-y1,z2-z1易知i、j、k的坐標分別為1,0,0,0,1,0,0,014.i、j、k的坐標：設有向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,那么有 a=(ax)i+(ay)j+(az)k ab=(ax bx)i+(ay by)j+(az bz)k即ax= bx,ay= by,az= bz,從中消去得zzyyxxbababa其中假設上式中某個分母為0，那么其分子也為0.6.兩向量平行的充要條件：我們知兩向量a與b平行的充要條件是a= b,即兩向量平行的充要條件是其坐標對應成比例，3a-2b=(18-6)i+(-12-8)j+(30+18)k=12i-20j+48k例例1 知兩向量知兩向量a=6i-4j+10k,b=3i+4j-9k,求a+2b,3a-2b.解解 a+2b=(6+6)i+(-4+8)j+(10-8)k=12i+4j-8k三.模與方向余弦的坐標表示： 1.模：222zyxaaaa其他弦稱為該向量的方向余弦。aaaaaazyx cos