1、空間幾何體的表面積與體積【例1】如圖所示的三棱錐OABC為長方體的一角其中OA，OB，OC兩兩垂直，三個側面OAB，OAC，OBC的面積分別為1.5 cm2, 1 cm2, 3 cm2，求三棱錐OABC的體積解設OA，OB，OC的長依次為x cm，y cm，z cm，則由已知可得xy1.5，xz1，yz3.解得x1，y3，z2.將三棱錐OABC看成以C為頂點，以OAB為底面易知OC為三棱錐COAB的高于是VOABCVCOABSOABOC1.521(cm3)空間幾何體的表面積與體積的求法：(1)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理(2)旋轉體的表面積問題注意其側面展

2、開圖的應用(3)求復雜幾何體的體積常用割補法、等積法求解1如圖所示，已知三棱柱ABCABC，側面BBCC的面積是S，點A到側面BBCC的距離是a，求三棱柱ABCABC的體積解連接AB，AC，如圖所示，這樣就把三棱柱分割成了兩個棱錐設所求體積為V，顯然三棱錐AABC的體積是V.而四棱錐ABCCB的體積為Sa，故有VSaV，即VSa.與球有關的切、接問題【例2】(1)正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為6，底面邊長為4，則該球的表面積為()A.B.C.D16(2)一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切，如果這個球的體積是，那么這個三棱柱的體積是()A96 B16 C24 D48(1

3、)B(2)D(1)如圖，設PE為正四棱錐PABCD的高，則正四棱錐PABCD的外接球的球心O必在其高PE所在的直線上，延長PE交球面于一點F，連接AE，AF.由球的性質可知PAF為直角三角形且AEPF，又底面邊長為4, 所以AE2， PE6, 所以側棱長PA2. 設球的半徑為R, 則PF2R. 由三角形相似得PA2PFPE，即442R6，解得R，所以S4R24，故選B.(2)由球的體積公式可求得球的半徑R2.設球的外切正三棱柱的底面邊長為a，高即側棱長，為h，則h2R4.在底面正三角形中，由正三棱柱的內切球特征，有aR2，解得a4.故此三棱柱的體積V(4)2448.與球相關問題的解題策略：(1

4、)作適當的截面(如軸截面等)時， 對于球內接長方體、正方體， 則截面一要過球心， 二要過長方體或正方體的兩條體對角線，才有利于解題(2)對于“內切”和“外接”等問題， 首先要弄清幾何體之間的相互關系， 主要是指特殊的點、線、面之間的關系， 然后把相關的元素放到這些關系中來解決2若與球外切的圓臺的上、下底面半徑分別為r，R，則球的表面積為 4Rr法一：如圖，作DEBC于點E.設球的半徑為r1，則在RtCDE中，DE2r1，CERr，DCRr.由勾股定理得4r(Rr)2(Rr)2，解得r1，故球的表面積為S球4r4Rr.法二：如圖，設球心為O，球的半徑為r1，連接OA，OB，則在RtAOB中，OF

5、是斜邊AB上的高由相似三角形的性質得OF2BFAFRr，即rRr，故r1，故球的表面積為S球4Rr.空間點、線、面位置關系的判斷與證明【例3】如圖所示，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，EFAC，AB，CEEF1.(1)求證：AF平面BDE；(2)求證：CF平面BDE. 證明(1)設AC與BD交于點O，連接EO，如圖所示，EFAC，且EF1，AOAC1，四邊形AOEF為平行四邊形，AFOE.OE平面BDE，AF平面BDE，AF平面BDE.(2)連接FO，如圖所示EFCO，EFCO1，且CE1，四邊形CEFO為菱形，CFEO.四邊形ABCD為正方形，BDAC.又平面ACEF平面A

6、BCD，且平面ACEF平面ABCDAC，BD平面ACEF，CFBD.又BDEOO，CF平面BDE.空間平行、垂直關系的轉化：(1)平行、垂直關系的相互轉化(2)證明空間線面平行或垂直需注意三點由已知想性質，由求證想判定適當添加輔助線(或面)是解題的常用方法之一用定理時要先明確條件，再由定理得出相應結論3如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(點D不同于點C)，且ADDE，F為B1C1的中點求證：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直線A1F平面ADE.證明(1)因為ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.又AD平面ABC，所以C

7、C1AD.又因為ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因為A1B1A1C1，F為B1C1的中點，所以A1FB1C1.因為CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因為CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.空間角的計算問題【例4】如圖，正方體的棱長為1，BCBCO，求：(1)AO與AC所成角的度數；(2)AO與平面ABCD所

8、成角的正切值；(3)平面AOB與平面AOC所成角的度數解(1)ACAC，AO與AC所成的角就是OAC.AB平面BC，OC平面BC，OCAB，又OCBO，ABBOB.OC平面ABO.又OA平面ABO，OCOA.在RtAOC中，OC，AC，sinOAC，OAC30，即AO與AC所成角的度數為30.(2)如圖，作OEBC于E，連接AE.平面BC平面ABCD，OE平面ABCD，OAE為OA與平面ABCD所成的角在RtOAE中，OE，AE，tanOAE.(3)OCOA，OCOB，OAOBO，OC平面AOB.又OC平面AOC，平面AOB平面AOC.即平面AOB與平面AOC所成角的度數為90.空間角的求法：求空間各種角的大小一般都轉化為平面角來計算，空間角的計算步驟：一作，二證，三計算(1)求異面直線所成的角常用平移轉化法(轉化為相交直線的夾角)(2)求直線與平面所成的角常用射影轉化法(即作垂線、找射影)(3)二面角的平面角的作法常有三種：定義法；垂線法；垂面法4如圖，在三棱錐PABC中，PA平面ABC，BAC90，ABAC，D、E分別是BC、AB的中點，ACAD，設PC與DE所成的角為，PD與平面ABC所成的角為，二面角PBCA的平面角為，則、的大小關系是 D、E分別是BC、A