1、數學平面向量的數量積及運算律數學平面向量的數量積及運算律FsWF s cos 思考：是力在位移方向上的分力，功等于它和位移的乘積而力和位移是向量，功卻是數量。這啟發我們向量間存在一種新的運算。我們今天來研究它。我們學過功的計算：數學平面向量的數量積及運算律 平面向量的數量積及運算律太原十九中 盧建振數學平面向量的數量積及運算律1.兩個向量的夾角 則AOB叫做向量a與b的夾角 (其中0180).abOAB當0時，a與b同向；OAB當180時，a與b反向；OABB當90時，稱a與b垂直， 記為ab.OAab 已知兩個非零向量a和b，作OAa，OBb，注意：兩向量起點相同數學平面向量的數量積及運算律

2、 2.數量積定義 已知兩個非零向量a和b,夾角為，把 |a|b| cos 叫做a與b的數量積數量積（或內積,俗稱點乘），記作ab， 即ab |a|b|cos .規定：零向量與任一向量的數量積為0.abab ab數學平面向量的數量積及運算律請你指出向量和的夾角是：abba（）（）（）ab已知：數學平面向量的數量積及運算律注意：“向量的數乘”與“向量的數量積”的區別.實數與向量的積兩個向量的內積如 ma是個向量；如 ab是個數量.數學平面向量的數量積及運算律3.一個向量在另一個向量方向上的投影OABabBOABabBOABab(B)b cos 叫做向量b在a方向上的投影. ab的幾何意義：數量積a

3、b等于a的長度|a| 與b在a的方向上的投影 |b|cos的乘積.數學平面向量的數量積及運算律.向量數量積滿足的運算律（1）abba；（2）(ab)(a)ba(b)；（3）(ab)cacbc.(ab)ca(bc)？數學平面向量的數量積及運算律 則 (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc . ONMa+bbac 向量a、b、a + b在c上的射影的數量分別是OM、MN、 ON, 我們來驗證分配律：數學平面向量的數量積及運算律我們來說明結合律是不成立的：設（）（） 則；（）它與方向相同或相反（ ）它與方向相同或相反因

4、為與的方向可以不相同，所以結合律不成立數學平面向量的數量積及運算律4.向量數量積的性質設a、b是非零向量，e是與b方向相同的單位向量， 是a與e的夾角，則（1）eaae a cos .（2）ab ab0.（向量垂直的充要條件）aa可寫成a2 . （3）當a與b同向時，ab a b ；當a與b反向時，ab a b .特別地，aa a 2或 a aa .（該式可以解決 模的計算問題）數學平面向量的數量積及運算律aba b（4）cos .（用來解決角度問題） （5）ab a b . （由于|cos | 1，所以結論成立。用來比較大小和證明不等關系式。 ）數學平面向量的數量積及運算律例 1 （1）已知

5、 a =2，b 3，a與b夾角 60求ab；（2）已知 a 3，b 5，ab -7.5，求a與b的夾角.解：（1）ab a b cos 23 3.12（2）cos -aba b-7.53512 120.數學平面向量的數量積及運算律例 2：求證：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.證明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.數學平面向量的數量積及運算律例 2：求證：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.證明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.數學平面向量的數量

6、積及運算律解：(1)(ab)2a22abb2 a a 2 a b cos60 b b 39.(2) (ab)2 ab ab 39 ab39 .例 3 已知：a 2，b 5，且a、b夾角為60試求（1）(ab)2；（2）ab ； （3）ab與b夾角的余弦值.abab60數學平面向量的數量積及運算律例 3 已知：a 2，b 5，且a、b夾角為60試求（1）(ab)2；（2）ab ； （3）ab與b夾角的余弦值.abab60解：(3)(ab)babbb a b cos60 b 2 52530.cos = (ab)bab b53930 .23913數學平面向量的數量積及運算律 已知|a| = 3, |b| = 4, 且a 、b 夾角為60o, 則 ab =_, |a + b| =_, |a b|= _.63713練習數學平面向量的數量積及運算律小結：（2）掌握向量數量積的重要性質，并利用這 些性質處理有關長度、角度和垂直問題:aa a 2; cos ;aba bab ab0.（1）通過本節的學習要掌握向量的數量積 及幾何意義, ab | a | b | cos ； （3）通過學習，熟悉立足數學公式分析性質 的 學習技巧 ，掌握類比和轉化化歸的數學思想。數學平面向量的數量積及運算律作業： 課本P121 習題5.6 1，2，3，