1、第四章第四章 平面任意力系平面任意力系第第4 4章章 平面任意力系平面任意力系第四章第四章 平面任意力系平面任意力系4-1 4-1 平面任意力系向作用面內一點的簡化平面任意力系向作用面內一點的簡化 1.力的平移定理力的平移定理abdabm=f. d=mb(f) 可以把作用于剛體上點可以把作用于剛體上點a的力的力 f 平行移到任一點平行移到任一點b，但必，但必須同時附加一個力偶，這個附加力偶的矩等于原來的力須同時附加一個力偶，這個附加力偶的矩等于原來的力f對新對新作用點作用點b的矩。的矩。第四章第四章 平面任意力系平面任意力系(b)fff(a)(b)mfm第四章第四章 平面任意力系平面任意力系f

2、3f1f2o2.平面任意力系向作用面內一點的簡化平面任意力系向作用面內一點的簡化 主矢主矢和和主矩主矩oofrmof1m1f1 =f1 m1=mo(f1) f2m2f2 =f2 m2=mo(f2) f3m3f3 =f3 m3=mo(f3) fr=f1+f2+f3= f1+f2+f3 mo=m1+m2+m3=mo(f1)+ mo(f2) + mo(f3)第四章第四章 平面任意力系平面任意力系niiooniirmm11)(fff主矢主矢frmo主矩主矩oxymofr 平面任意力系向作用面內任一點平面任意力系向作用面內任一點o簡化，可得一個力和一個力簡化，可得一個力和一個力偶，這個力等于該力系的主矢

3、，作用線通過簡化中心。這個力偶偶，這個力等于該力系的主矢，作用線通過簡化中心。這個力偶的矩等于力系對于點的矩等于力系對于點o的主矩。的主矩。nixiiyiiniioofyfxmm11)()(fryirrxiryixirffffff),cos(,),cos()()(22jfiff第四章第四章 平面任意力系平面任意力系 niioomm1)(f 因為力偶對于平面內任意一點的矩都相同，因此當力因為力偶對于平面內任意一點的矩都相同，因此當力系合成為一個力偶時，主矩與簡化中心的選擇無關。系合成為一個力偶時，主矩與簡化中心的選擇無關。第四章第四章 平面任意力系平面任意力系o fro 合力的作用線通過簡化中心

4、合力的作用線通過簡化中心 froo dfrfrdrofmd mo(fr) = frd = mo = mo(fi)mo(fr) = mo(fi) 平面任意力系的合力對平面任意力系的合力對作用面內任一點的矩等于作用面內任一點的矩等于力系中各力對同一點矩的力系中各力對同一點矩的代數和。代數和。fromoo 第四章第四章 平面任意力系平面任意力系 原力系平衡原力系平衡（1）當力臂不好確定時，將該力分解后求力矩；）當力臂不好確定時，將該力分解后求力矩；（2）求分布力的合力作用線位置。）求分布力的合力作用線位置。第四章第四章 平面任意力系平面任意力系4-3 4-3 平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意

5、力系的平衡條件和平衡方程fr=0mo=00)(00111niioniyiniximfff平面任意力系平衡的解析條件：平面任意力系平衡的解析條件：所有各力在兩個任選的坐標軸所有各力在兩個任選的坐標軸上的投影的代數和分別等于零，以及各力對于任意一點矩的代上的投影的代數和分別等于零，以及各力對于任意一點矩的代數和也等于零。數和也等于零。平衡方程平衡方程第四章第四章 平面任意力系平面任意力系 已知：已知：m=pa 求：求：a、b處約束反力。處約束反力。 pmabcdfbxy02, 0)(0, 00, 0mapaffmfffpffbabayyaxx.,pfpfpfbayax,解上述方程，得解上述方程，得

6、第四章第四章 平面任意力系平面任意力系amaamaaabql（1）固定端支座）固定端支座求：求：a處約束反力。處約束反力。既不能既不能移動移動，又不能，又不能轉動轉動的約束的約束 固定端（插入端）約束固定端（插入端）約束固定端約束簡圖固定端約束簡圖第四章第四章 平面任意力系平面任意力系（2）分布載荷的合力）分布載荷的合力q(x)dp=q(x)dxldxxqdpp0)(lxdxxqxdpph0)(q(x)ab合力大小：合力大小：由合力之矩定理：由合力之矩定理：lldxxqxdxxqh00)()(hxdxlx第四章第四章 平面任意力系平面任意力系 兩個特例兩個特例(a) 均布載荷均布載荷ph(b)

7、 三角形分布載荷三角形分布載荷phlq0qllqldxxqp0)(2)()(00ldxxqxdxxqhllxlqxq0)(xxlqxdxlqdxxqpll000021)(32)()(00ldxxqxdxxqhll第四章第四章 平面任意力系平面任意力系abql解：取解：取 ab 梁為研究對象梁為研究對象0cos2, 0)(0cos, 00sin, 0lflqlmfmfqlfffffaaayyaxx221coscossinqlflmfqlfffaayaxfaxfaymap第四章第四章 平面任意力系平面任意力系02, 0)(0, 00, 0mapafmfffpffbabayyaxxf f pmabc

8、dfb 解解 法法 1pfpfpfbayax解上述方程，得解上述方程，得第四章第四章 平面任意力系平面任意力系 pmabcdfb 解解 法法 2020)(020)(0, 0mapafmapmafmpffaybbaaxxffpfpfpfbayax解上述方程，得解上述方程，得第四章第四章 平面任意力系平面任意力系 解解 法法 3pfpfpfbayax解上述方程，得解上述方程，得02, 0)(02, 0)(02, 0)(mafafmmpaafmpamafmbaxcaybbaf ff ff f pmabcdfb第四章第四章 平面任意力系平面任意力系0)(, 0)(, 0)(fffcbammm（a、b、

9、c 三點不得共線）三點不得共線）（x 軸不得垂直于軸不得垂直于a、b 兩點的連線）兩點的連線）0)(, 0, 0f fayxmff0)(, 0)(, 0f ff fbaxmmf 平面任意力系平衡方程的形式平面任意力系平衡方程的形式frbax第四章第四章 平面任意力系平面任意力系fdecbaaaam求：三桿對三角平板求：三桿對三角平板abc的約束反力。的約束反力。第四章第四章 平面任意力系平面任意力系acaaamb0223, 0)(0223, 0)(023, 0)(apmfamapmfammfambcabcaf ff ff famfpamfpamfcba33233323332解得解得:解：取三角

10、形板解：取三角形板abc為研究對象為研究對象第四章第四章 平面任意力系平面任意力系4-4 4-4 平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程yxo0)(0foymf（a、b兩點的連線兩點的連線不得與各力平行）不得與各力平行）0)(0)(f ff fbammf3f2f1fn0 xf二個方程只能求解二個未知量二個方程只能求解二個未知量第四章第四章 平面任意力系平面任意力系解：取梁解：取梁abcd為研究對象為研究對象3210, 00121, 0)(qppffffffpmnbnaynab其其中中f f解得：解得：n3750,n250nbnaff已知：已知：f = 2kn，q = 1kn/m求：求：

11、a、b支座反力。支座反力。fnafpd1m2m1mabcfq第四章第四章 平面任意力系平面任意力系p2p1abpbeal求：欲使起重機滿載和空載時均不翻倒，平衡錘的重量。求：欲使起重機滿載和空載時均不翻倒，平衡錘的重量。第四章第四章 平面任意力系平面任意力系p2p1abpbeal解：取起重機為研究對象解：取起重機為研究對象 （1）滿載時，其限制條件是：滿載時，其限制條件是：fna0balppeplppebfbapmnab12120)(, 0)(: :解解得得f f（2）空載時，其限制條件是：空載時，其限制條件是：fnb0abeppbepbfapmnba)(0)(, 0)(22: :解解得得f

12、fabeppbalppe)(21因此，因此，p2必須滿足：必須滿足：第四章第四章 平面任意力系平面任意力系4-5 4-5 物體系的平衡物體系的平衡 靜定和靜不定問題靜定和靜不定問題 靜定體系：靜定體系：未知量數目等于獨立平衡方程數目未知量數目等于獨立平衡方程數目 超靜定體系：超靜定體系：未知量數目多于獨立平衡方程數目未知量數目多于獨立平衡方程數目pabcfafbfcpabfbfaepaqcbded1m2m1mabcfq第四章第四章 平面任意力系平面任意力系已知：已知：p=0.4kn，q=1.5kn， sin=4/5求：支座求：支座a、c的反力。的反力。aqcbpfaxfayfcxfcy) 3(

13、0, 0)2(0, 0) 1 (0sin2cos2cos2, 0)(qfffpffflqlplfmcxaxxcyayycyaf f解：解：(1)取整體為研究對象取整體為研究對象解上述方程，得解上述方程，得kn6 . 0,kn2 . 0cyayff第四章第四章 平面任意力系平面任意力系aqcbpfaxfayfcxfcy) 3(0, 0)2(0, 0) 1 (0sin2cos2cos2, 0)(qfffpffflqlplfmcxaxxcyayycyaf f解上述方程，得解上述方程，得kn6 . 0,kn2 . 0cyayffpabfbxfbyfaxfaykn3 . 0axf解得解得:kn2 . 1

14、cxf(2)取取ab為研究對象為研究對象0coscos2sin, 0)(ayaxbflplfmf f代入（代入（3）式得）式得第四章第四章 平面任意力系平面任意力系eqaaaaaabcdfayfaxfe求：求：a、e的約束的約束反力和反力和bc桿內力。桿內力。解：解：(1) 取整體為研究對象取整體為研究對象05 . 1, 0)(0, 00, 0aqaafmqafffffayeeayyaxxf fqafqaffeayax5 . 25 . 10解得：解得：第四章第四章 平面任意力系平面任意力系cdqcdfdxfdy045sin5 . 0, 0)(afaqafmcd(2) 取曲桿取曲桿cd為研究對象

15、為研究對象解得：解得：qafc22fc第四章第四章 平面任意力系平面任意力系bcqmcaq1m1mac1m1mmqbfaxfaymacyf cxf fcxfcy fb01, 005 . 012, 0)(0, 0qfffqffmffbcyybccxx解：解：(1) 取取bc為研究對象為研究對象解得解得:kn5 . 1, 0,kn5 . 0cycxbfff(2) 取取ac為研究對象為研究對象025 . 11, 0)(01, 00, 0cyaacyayycxaxxfqmmfmqffffffmkn4kn,5 . 3, 0aayaxmff解得解得:求：支座求：支座a、c 的反力。的反力。已知：已知：m

16、= 10knm, q=2kn/m第四章第四章 平面任意力系平面任意力系500ndcefexfeyfdxfdy500n500nahdcgeb2m2m2m2m2m2mfaxfayfb求：求：d、e 的約束反力。的約束反力。解：解：(1)取取cde為研究對象為研究對象) 3(0, 0)2(0500, 0) 1 (045002, 0)(exdxxeydyydyefffffffmf f解上述方程，得解上述方程，得n500,n1000eydyff(2)取整體為研究對象取整體為研究對象0650025004, 0)(bafmfn1000bf解得解得:第四章第四章 平面任意力系平面任意力系500ndcefexf

17、eyfdxfdy500n500nahdcgeb2m2m2m2m2m2mfaxfayfbgebexf eyf fgxfgyfb(3) 取取beg為研究對象為研究對象0224, 0)(eyexbgfffmf fn1500exf解得解得:n1500dxf代入（代入（3）式得）式得:n1000n1500dydxffn500n1500eyexff1000nn,500,n1000beydyfff第四章第四章 平面任意力系平面任意力系解：解：(1) 取整體為研究對象取整體為研究對象002, 0)(bybycfafm得f f(2) 取取def桿為研究對象桿為研究對象02, 0)(0, 0)( apafmapa

18、fmdxbdyef ff f解得：解得：pfpfdxdy2,abcdafepaaafcxfcyfbxfbypdfedxf dyf b求：求：a、d、b的約束反力。的約束反力。第四章第四章 平面任意力系平面任意力系bda(2) 取取def桿為研究對象桿為研究對象02, 0)(0, 0)( apafmapafmdxbdyef ff f解得：解得：pfpfdxdy2,pdfedxf dyf bfdyfdxfbxfbyfaxfay(3) 取取adb桿為研究對象桿為研究對象0, 00, 002, 0)(bydyayybxdxaxxdxbxaffffffffafafmf f解得：解得：pfpfpfayax

19、bx,第四章第四章 平面任意力系平面任意力系abcdafepaaa(a)abcdafepaaa(b)abcdafeaaam(c)abcdafeaaam(d)第四章第四章 平面任意力系平面任意力系ppabcdaaaa2a2apfbxfbyfcyfcxbcbyf faypbxf faxab求：求：a、d的約束反力。的約束反力。解：解：(1)取取bc桿為研究對象桿為研究對象) 3(0, 0)2(0, 0) 1 (02, 0)(cxbxxcybyybycfffpfffafpamf f解得：解得：pffcyby5 . 0(2)取取ab桿為研究對象桿為研究對象0, 0022, 0)(0, 0bxaxxay

20、axbbyayyfffpaafaffmpfff解得：解得：pfpfpfbxayax,5 . 1,代入（代入（3）式解得：）式解得：pfcx第四章第四章 平面任意力系平面任意力系cd(3)取取cd桿為研究對象桿為研究對象022, 0)(0, 00, 0afafmfmffffffcycxddcydyycxdxx解得：解得：pampfpfddydx5 . 0cxf cyf fdxfdymd第四章第四章 平面任意力系平面任意力系qmabcdeh2m2m2m2m1m1m求：求： a、b的約束反力。的約束反力。已知：已知：q=50kn/m, m=80knm解：解：(1) 取取de桿為研究對象桿為研究對象k

21、n1100322, 0)(dxdxhfqfmmf fqmedfdxfdyfheh第四章第四章 平面任意力系平面任意力系qmabcdeh2m2m2m2m1m1m(2) 取取bdc桿為研究對象桿為研究對象kn3110031, 0)( nbnbdxcfffmf fbcdfcxfcyfnbdxf dyf (3) 取整體為研究對象取整體為研究對象0326, 0)(02, 00, 0qfmmmqfffffnbaaayynbaxxf f0,100knkn,3110aayaxmff解得：解得：fnbfaxfayma第四章第四章 平面任意力系平面任意力系4-6 4-6 平面簡單桁架的內力計算平面簡單桁架的內力計

22、算 桁架的桿件都是直的；桁架的桿件都是直的； 桿件用光滑的鉸鏈連接；桿件用光滑的鉸鏈連接； 載荷均作用在節點上；載荷均作用在節點上； 重量平均分配在節點上。重量平均分配在節點上。理想桁架理想桁架桁架是一種由桿件彼此在兩端用鉸桁架是一種由桿件彼此在兩端用鉸鏈連接而成的結構，它在受力后幾鏈連接而成的結構，它在受力后幾何形狀不變。桁架中桿件的鉸鏈接何形狀不變。桁架中桿件的鉸鏈接頭稱為頭稱為節點節點。 節點法節點法 截面法截面法 第四章第四章 平面任意力系平面任意力系faxfayfby10kn10kn10kn10knab12345678910111412131516171819212020knc求：圖

23、示桁架各桿的力。求：圖示桁架各桿的力。 解：解：(1) 取整體為研究對象取整體為研究對象01205, 0)(040, 0020, 0byabyayyaxxfmffffff fkn24kn16kn20byayaxfff解得：解得：第四章第四章 平面任意力系平面任意力系faxfayfby10kn10kn10kn10knab12345678910111412131516171819212020knc(2) 取節點取節點c為研究對象為研究對象0, 0020, 012ffffyx解得：解得：kn20021ff20knf1f2cfayf4fax1f af3(3) 取節點取節點 a為研究對象為研究對象045

24、sin, 0045cos, 03134ffffffffayyaxxkn36kn21643ff解得：解得：依此類推，可求得依此類推，可求得其余各桿內力。其余各桿內力。第四章第四章 平面任意力系平面任意力系faxfayfby10kn10kn10kn10knab12345678910111412131516171819212020knc求：桁架求：桁架6、7、8各桿的力。各桿的力。 解：解：(1) 取整體為研究對象取整體為研究對象01205, 0)(040, 0020, 0byabyayyaxxfmffffff fkn24kn16kn20byayaxfff解得：解得：第四章第四章 平面任意力系平面任

25、意力系faxfayfby10kn10kn10kn10knab12345678910111412131516171819212020knc(2) 根據解題的需根據解題的需要，假想用一截面要，假想用一截面截斷體系。截斷體系。(3) 取某一部分為研究對象，計算所求桿件內力。取某一部分為研究對象，計算所求桿件內力。mn220kncf610kna1345f7f8faxfayd0110121, 0)(, 012011, 0)(01045sin, 07867axcaydayyfffmffmffff ff fkn.42kn,26kn,36876fff第四章第四章 平面任意力系平面任意力系aaaaaap21ab

26、ecd求：桁架求：桁架1、2桿的力。桿的力。 解：解：(1) 取整體為研究對象取整體為研究對象03, 0)(0, 00, 0apafmpfffffnbanbayyaxxf3/, 3/2, 0pfpffbyayax解得：解得：faxfayfnb(2) 取內部三角形為研究對象取內部三角形為研究對象pef2f3f4f505 . 0sin5 . 0cos5 . 0, 0)(22afafapmef3/52pf 第四章第四章 平面任意力系平面任意力系aaaaaap21abecdfaxfayfnb(2) 取內部三角形為研究對象取內部三角形為研究對象pef2f3f4f505 . 0sin5 . 0cos5 .

27、 0, 0)(22afafapmef3/52pf faxfayf1a2f f6(3)取節點取節點 a 為研究對象為研究對象0sin, 021ffffayypf1第四章第四章 平面任意力系平面任意力系f1f212345678910111213123456789101112131415161718192021222324求：圖示桁架中受力求：圖示桁架中受力為零的桿件。為零的桿件。 解：由節點法可知解：由節點法可知(a) 圖中受力為零的圖中受力為零的桿件有：桿件有：3、12、9。(b) 圖中受力為零的圖中受力為零的桿件有：桿件有：1、3、4、13、14、12、11、21。第四章第四章 平面任意力系平

28、面任意力系結論與討論結論與討論1. 力的平移定理：力的平移定理：平移一力的同時必須附加一力偶，附加力偶的平移一力的同時必須附加一力偶，附加力偶的矩等于原來的力對新作用點的矩。矩等于原來的力對新作用點的矩。2. 平面任意力系向平面內任選一點平面任意力系向平面內任選一點o簡化，一般情況下，可得一簡化，一般情況下，可得一個力和一個力偶，這個力等于該力系的主矢，即個力和一個力偶，這個力等于該力系的主矢，即nininiirff111jiffyx作用線通過簡化中心作用線通過簡化中心o。這個力偶的矩等于該力系對于點。這個力偶的矩等于該力系對于點o的主的主矩，即矩，即nixiiyiiniioofyfxmm11)()(f第四章第四章 平面任意力系平面任意力系3. 平面任意力系向一點簡化，可能出現的四種情況。平面任意力系向一點簡化，可能出現的四種情況。主主 矢矢主主 矩矩合成結果合成結果說說 明明mo = 0mo0mo 0mo =