1、剛體轉動及角動量守恒剛體運動的分類 剛體：形狀固定的質點系（含無數質點、不形變、理想固體。）平 動 剛體任意兩點的連線保持方向不變。各點的 相同，可當作質點處理。定軸轉動 剛體每點繞同一軸線作圓周運動，且轉軸空間位置及方向不變。平面運動 剛體質心限制在一平面內，轉軸可平動，但始終垂直于該平面且通過質心定點運動 剛體上各質點都以某一定點為球心的各個球面上運動。一般運動 復雜的運動與平動的混合。定軸轉動參量剛體轉軸1. 角位置轉動平面（包含p并與轉軸垂直）(t)(t+t)參考方向剛體中任一點剛體定軸轉動的運動方程2. 角位移3. 角速度常量靜止勻角速變角速4. 角加速度變角加速常量 勻角加速勻角速

2、用矢量表示 或 時，它們與 剛體的轉動方向采用右螺旋定則 轉動方程求導例題單位：rad-1rad s-2rad srad 50p 51p 52p 53p1rad stsrad100p150pst 50p p 2rad stsp-1rad s-2rad s勻 變 角 速 定 軸 轉 動積分求轉動方程任意時刻的恒量且 t = 0 時 得得或勻變角速定軸轉動的角位移方程勻變角速定軸轉動的運動方程線量與角量的關系定軸轉動剛體在某時刻t 的瞬時角速度為 ，瞬時角加速度為 ，剛體中一質點P至轉軸的距離為r質點P 的大小 瞬時線速度瞬時切向加速度瞬時法向加速度這是定軸轉動中線量線量與角量角量的基本關系公式對

3、比質點直線運動或剛體平動剛 體 的 定 軸 轉 動速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度位移位移角位移角位移勻速直線運動勻速直線運動勻角速定軸轉動勻角速定軸轉動勻變速直線運動勻變速直線運動勻變角速定軸轉動勻變角速定軸轉動剛體轉動定律引言質 點的運動定律或剛體平動F = m a慣性質量慣性質量合合 外外 力力合加速度合加速度若剛體作定軸轉動，服從怎樣的運動定律？若剛體作定軸轉動，服從怎樣的運動定律？主要概念使剛體產生轉動效果的合外力矩剛體的轉動定律剛體的轉動慣量合外力矩 外力在轉動平面上對轉軸的力矩使剛體發生轉動M = r F111力矩切向1Ft tFrM叉乘右螺旋1M2MM = r

4、F222M = r F sin j j222大小2r2=2Ft td2=2F1M2M合外力矩=M+d22F大小M=d11F=r22Ft tr11Ft tr1=1Ft tM = r F sin j j111大小1d1=1Fj j1d1r1F1P1OF2r22Ft tP2j j2d2切向方向轉動定律某質元fi受內力受外力FiFi+ f =aii其法向n 分量均通過轉軸，不產生轉動力矩。t t其切向投影式為ij jFisin+if sinq qit t=ai=rib bt tnFiOrifiij jq qi瞬時角速度角加速度瞬時等式兩邊乘以 ri 并對所有質元及其所受力矩求和=內力矩成對抵消= 0+

5、riifsinq qiiFij jsinri合外力矩 Mb bri得Mb bri=轉動慣量某質元fi受內力受外力FiFi+ f =aii其法向n 分量均通過轉軸，不產生轉動力矩。t t其切向投影式為ij jFisin+if sinq qit t=ai=rib bt tnFiOrifiij jq qi瞬時角速度角加速度瞬時等式兩邊乘以 ri 并對所有質元及其所受力矩求和=內力矩成對抵消= 0+riifsinq qiiFij jsinri合外力矩 Mb bri得Mb bri=Mb bri=與剛體性質及質量分布有關的物理量，用 表示稱為 轉動慣量轉動慣量I剛體的轉動定律即剛體所獲得的角加速度 的大小

6、與剛體受到的 合外力矩 的大小成正比，與剛體的轉動慣量 成反比。轉動慣量的計算Mb b=I將剛體轉動定律與質點運動定律F=am對比轉動慣量 是剛體轉動慣性的量度II 與剛體的質量、形狀、大小及質量對轉軸的分布情況有關質量連續分布的剛體用積分求I 為體積元 處的密度II的單位為分立質點的算例可視為分立質點結構的剛體轉軸 若連接兩小球（視為質點）的輕細硬桿的質量可以忽略，則轉軸0.75直棒算例質量連續分布的剛體勻直細桿對中垂軸的勻直細桿對端垂軸的質心新軸質心軸平行移軸定理平行移軸定理對對新軸新軸的轉動慣量的轉動慣量對質心軸的轉動慣量對質心軸的轉動慣量新軸新軸對心軸的平移量對心軸的平移量例如：例如：

7、時時代入可得代入可得端圓盤算例勻質薄圓盤對心垂軸的 取半徑為 微寬為 的窄環帶的質量為質元球體算例勻質實心球對心軸的可看成是許多半徑不同的共軸薄圓盤的轉動慣量 的迭加距 為 、半徑為 、微厚為的薄圓盤的轉動慣量為其中常用結果LRmm勻質薄圓盤勻質薄圓盤勻質細直棒勻質細直棒轉軸通過中心垂直盤面22I =m R123I =m L1轉軸通過端點與棒垂直其它典型勻質矩形薄板轉軸通過中心垂直板面I = (a + b ) 22m12勻質細圓環轉軸通過中心垂直環面I = m R 2勻質細圓環轉軸沿著環的直徑2I =2m R勻質厚圓筒轉軸沿幾何軸I = (R1 + R2 ) 22m2勻質圓柱體轉軸通過中心垂直

8、于幾何軸mI = R + 22m124L勻質薄球殼轉軸通過球心2I =2m R3轉動定律例題一合外力矩 應由各分力矩進行合成 。 合外力矩 與合角加速度 方向一致。在定軸轉動中，可先設一個正軸向（或繞向），若分力矩與此向相同則為正，反之為負。與時刻對應，何時何時則何時 ，則何時恒定恒定。 勻直細桿一端為軸水平靜止釋放轉動定律例題二T1T2a（以后各例同）Rm1m2m輪軸無摩擦輕繩不伸長輪繩不打滑T2T1G1G2T2T1a ab b T1 m1 g = m1am2 g T2 = m2a( T2 T1 ) R = Ib b a = Rb bI = m R 22轉動平動線-角聯立解得a=m1m1+

9、m2+ gm2m21gT1 = m1 ( g + a )T2 = m2 ( g a )m1 gm2 g如果考慮有轉動摩擦力矩 Mr ,則 轉動式為( T2 T1 ) R Mr= Ib b再聯立求解。轉動定律例題三Rm1m細繩纏繞輪緣Rm（A）（B）恒力F滑輪角加速度 b b細繩線加速度 a（A）（B）轉動定律例題四Rm1m2mm= 5kgm2= 1kg m1= 3kgR = 0.1mT2T1T1T2G1G2b baa對對m1m2m分別應用分別應用和和質點運動和剛體轉動定律質點運動和剛體轉動定律m1 g T1 = m1aT2 m2 g = m2a( T1 T2 ) R = Ib b及 a = R

10、b bI = mR221得b b =(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)常量(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)故由(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)2 (rad)gt物體從靜止開始運動時，滑輪的 轉動方程轉動定律例題五q qq q 從等傾角 處靜止釋放兩勻直細桿地面兩者瞬時角加速度之比兩者瞬時角加速度之比213q q1q q1321根據短桿的角加速度大短桿的角加速度大且與勻質直桿的質量無關且與勻質直桿的質量無關轉動動能剛體中任一質元 的速率該質元的動能對所有質元的動能求和轉動慣量 II得得力矩的功力力 的元功的元功力對轉動剛體所作的功用力矩的功來計算力對轉動剛體所作

11、的功用力矩的功來計算若在某變力矩 的作用下，剛體由 轉到 ，作的總功為作的總功為力矩的瞬時功率力矩的瞬時功率力矩的功算例撥動圓盤轉一周，摩擦阻力矩的功的大小總摩擦力矩 是各微環帶摩擦元力矩 的積分環帶面積環帶質量環帶受摩擦力環帶受摩擦力矩圓盤受總摩擦力矩 轉一周摩擦力矩的總功得粗 糙 水 平 面轉軸平放一圓盤剛體的動能定理回憶質點的動能定理剛體轉動的動能定理由由 力矩的元功力矩的元功轉動定律轉動定律則則合外力矩的功合外力矩的功轉動動能的增量轉動動能的增量稱為動能定理例題一勻質圓盤盤緣另固連一質點水平靜止釋放通過盤心垂直盤面的水平軸圓盤下擺 時質點 的角速度、切向、法向加速度的大小對系統外力矩的

12、功系統轉動動能增量其中得由轉動定律得則動能定理例題二外力矩作的總功從水平擺至垂直由得代入得本題利用的關系還可算出此時桿上各點的線速度水平位置靜止釋放擺至垂直位置時桿的勻直細桿一端為軸動能定理例題三段，外力矩作正功段，外力矩作負功合外力矩的功從水平擺至垂直由得轉軸對質心軸的位移 代入得擺至垂直位置時桿的水平位置靜止釋放含平動的轉動問題機械外力非保守內力矩力力矩動勢動勢平動轉動平動轉動系統（輪、繩、重物、地球）右例忽略摩擦外力力矩非保守內力矩力平動轉動勢平動轉動勢可求或此外勢剛體的角動量定軸轉動剛體的角動量是無數質點對公共轉軸的角動量的疊加 所有質點都以其垂軸距離為半徑作圓周運動任一質元（視為質點

13、）的質量其角動量大小全部質元的總角動量對質量連續分布的剛體剛體的角動量定理合外力矩合外力矩角動量的時間變化率角動量的時間變化率（微分形式）（積分形式）沖量矩沖量矩角動量的增量角動量的增量回憶質點的角動量定理（微分形式）（積分形式）剛體系統的角動量定理若一個系統包含多個共軸剛體或平動物體系統的總合外力矩系統的總合外力矩 系統的總角動量的變化率系統的總角動量的變化率系統的總沖量矩系統的總沖量矩系統的總角動量增量系統的總角動量增量系統： 輕繩（忽略質量）總合外力矩對O的角動量對O的角動量由得同向而解得例如例如靜止釋放求角加速度主要公式歸納（微分形式）（積分形式）是矢量式與質點平動對比剛體的角動量守恒

14、定律由剛體所受合外力矩若則即 當剛體所受的合外力矩 等于零時， 剛體的角動量 保持不變。角動量守恒的另一類現象角動量守恒的另一類現象變小則變大，乘積保持不變，變大則變小。收臂大小 用外力矩用外力矩啟動轉盤后啟動轉盤后撤除外力矩撤除外力矩張臂大小花樣滑冰中常見的例子角動量守恒的另一類現象變小則變大，乘積保持不變，變大則變小。收臂大小 用外力矩用外力矩啟動轉盤后啟動轉盤后撤除外力矩撤除外力矩張臂大小花 樣 滑 冰收臂大小張臂大小先使自己轉動起來收臂大小守恒例題一A、B兩輪共軸A以w wA A作慣性轉動 以A、B為系統，忽略軸摩擦，脫離驅動力矩后，系統受合外力矩為零，角動量守恒。初態角動量末態角動量得兩輪嚙合后一起作慣性轉動的角速度w wABAB守恒例題二以彈、棒為系統擊入階段子彈擊入木棒瞬間，系統在鉛直位置，受合外力矩為零，角動量守恒。該瞬間之始該瞬間之末彈棒彈棒彈嵌于棒子彈上擺最大轉角木棒上擺階段彈嵌定于棒內與棒一起上擺，非保守內力的功為零