1、會計學1高三數學專題十空間角與距離的計算與高三數學專題十空間角與距離的計算與證明證明第一課時：第一課時：空間角 課前導引課前導引 第1頁/共81頁 1. 四面體四面體ABCD中，中，AB、CD所所成的角為成的角為60，E、F、G分別為分別為BC、AC、AD中點，若中點，若AB=CD=2，則，則EG=_.第一課時：第一課時：空間角 課前導引課前導引 第2頁/共81頁 1. 四面體四面體ABCD中，中，AB、CD所所成的角為成的角為60，E、F、G分別為分別為BC、AC、AD中點，若中點，若AB=CD=2，則，則EG=_. 解析解析 EFG中，中，EFG=60或或120，則，則EG=2或或 .32

2、第一課時：第一課時：空間角 課前導引課前導引 第3頁/共81頁2. 兩異面直線兩異面直線a, b所成角為所成角為60，過空間一點過空間一點P作與作與a、b都成都成25（或（或30或或40或或60或或80或或90）的）的直線，分別可作直線，分別可作_條條.第4頁/共81頁2. 兩異面直線兩異面直線a, b所成角為所成角為60，過空間一點過空間一點P作與作與a、b都成都成25（或（或30或或40或或60或或80或或90）的）的直線，分別可作直線，分別可作_條條.答案：0、1、2、3、4、1.第5頁/共81頁 考點搜索考點搜索 第6頁/共81頁1. 掌握空間兩異面直線所成的角、掌握空間兩異面直線所成

3、的角、直線與平面所成的角、二面角等概念；直線與平面所成的角、二面角等概念；2. 能熟練地在圖形中找出相關的角能熟練地在圖形中找出相關的角并證明；并證明；3. 能用向量方法和非向量方法進行能用向量方法和非向量方法進行計算；計算； 考點搜索考點搜索 第7頁/共81頁 鏈接高鏈接高考考 第8頁/共81頁 例例11（2004全國卷）已知球全國卷）已知球O的半的半徑為徑為1，A、B、C三點都在球面上，且三點都在球面上，且每兩點間的球面距離均為每兩點間的球面距離均為 ，則球心，則球心O到平面到平面ABC的距離為的距離為 ( )2 36.D 32.C 33.B 31.A 鏈接高鏈接高考考 第9頁/共81頁

4、例例11（2004全國卷）已知球全國卷）已知球O的半的半徑為徑為1，A、B、C三點都在球面上，且三點都在球面上，且每兩點間的球面距離均為每兩點間的球面距離均為 ，則球心，則球心O到平面到平面ABC的距離為的距離為 ( )2 36.D 32.C 33.B 31.AB 鏈接高鏈接高考考 第10頁/共81頁 例例11（2004年天津卷）在棱長為年天津卷）在棱長為2的正方體中中，的正方體中中，O是是底面底面ABCD的中心，的中心，E、F分別是、分別是、AD的中點的中點. 那么異面直線那么異面直線OE和和 所所成的角的余弦值等于成的角的余弦值等于 ( )1111DCBAABCD 1CC1FDD1C1A1

5、B1ABCDOFE32.D 54.C515.B 510.A第11頁/共81頁 例例11（2004年天津卷）在棱長為年天津卷）在棱長為2的正方體中中，的正方體中中，O是是底面底面ABCD的中心，的中心，E、F分別是、分別是、AD的中點的中點. 那么異面直線那么異面直線OE和和 所所成的角的余弦值等于成的角的余弦值等于 ( )1111DCBAABCD 1CC1FDD1C1A1B1ABCDOFE32.D 54.C515.B 510.A 解析解析 利用空利用空間向量求解較簡便間向量求解較簡便.第12頁/共81頁 例例11（2004年天津卷）在棱長為年天津卷）在棱長為2的正方體中中，的正方體中中，O是是

6、底面底面ABCD的中心，的中心，E、F分別是、分別是、AD的中點的中點. 那么異面直線那么異面直線OE和和 所所成的角的余弦值等于成的角的余弦值等于 ( )1111DCBAABCD 1CC1FDD1C1A1B1ABCDOFE32.D 54.C515.B 510.A 解析解析 利用空利用空間向量求解較簡便間向量求解較簡便.B第13頁/共81頁 例例2 2 （2005湖南卷）已知湖南卷）已知ABCD是上、下底邊長分別為是上、下底邊長分別為2和和6，高為，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸的等腰梯形，將它沿對稱軸OO1折成直折成直二面角，二面角，3() 證明：ACBO1；() 求二面角OACO1的大小.第

7、14頁/共81頁:,., ,: (1) 111如圖如圖直角坐標系直角坐標系軸建立空間軸建立空間軸、軸、軸、軸、在直線分別為在直線分別為所所、為原點為原點故可以故可以即即角的平面角角的平面角是所折成的直二面是所折成的直二面由題設知由題設知證明證明zyxOOOBOAOOBOAAOBOOOBOOOA 法一法一 第15頁/共81頁、則相關各點的坐標是則相關各點的坐標是)0 , 0 , 3(: A)3, 0 , 0(),3, 1 , 0(),0 , 3 , 0(1OCB., 0333)3, 3, 0()3, 1 , 3(111BOACBOACBOAC 所以所以從而從而第16頁/共81頁 00),( .,

8、)( .0333 )( 1111111OCnACnACOzyxnOACBOOACBOBOACIOCBOOCBOII由由的一個法向量的一個法向量是平面是平面設設的一個法向量的一個法向量是平面是平面平面平面由由第17頁/共81頁 111,: ,BOnBOnOACO 可知可知的方向的方向、由由的大小為的大小為設二面角設二面角)3, 0 , 1(:3,0033 nzyzyx得得取取第18頁/共81頁.43arccos43,coscos1111的大小是的大小是即二面角即二面角OACOBOnBOnBOn 第19頁/共81頁3tan.,.,: ) I ( 111111 OOOBBOOOBCOACOCOBCO

9、AOOBOAAOBOOOBOOO內的射影內的射影在面在面是是平面平面從而從而即即直二面角的平面角直二面角的平面角是所折成的是所折成的所以所以由題設知由題設知證明證明 法二法二 第20頁/共81頁.:,30,601111BOACBOOCOCOBOO 由三垂線定理得由三垂線定理得從而從而33tan111 OOCOOCO第21頁/共81頁.:,),(,.:,) I ( )II( 1111111ACFOAOCFOEFFOFACEFEEBOOCAOCBOBOOCBOAC 由三垂線定理得由三垂線定理得內的射影內的射影面面在平在平是是則則如圖如圖連結連結于于作作過點過點設設平面平面知知由由第22頁/共81頁

10、1,3, 3:.1111 COOOOAOACOFEO由題設知由題設知的平面角的平面角是二面角是二面角所以所以322121 OOOAAO第23頁/共81頁.413sin,2330sin133211111111 FOEOFEOOOEOACCOAOFO又又從而從而132121 COAOAC.43arcsin1的大小是的大小是即二面角即二面角OACO 第24頁/共81頁 例例33（2005全國卷一）已知四棱錐全國卷一）已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，的底面為直角梯形，ABDC， 底面底面ABCD，且，且PA=AD=DC= AB=1，M是是PB的中點的中點. () 證明：證明：面面PAD面面PC

11、D； () 求求AC與與PB所成的角；所成的角； PADAB,9021第25頁/共81頁 () 求面求面AMC與面與面BMC所成二面所成二面角的大小角的大小.第26頁/共81頁 () 求面求面AMC與面與面BMC所成二面所成二面角的大小角的大小., .: : ) I ( PADCDPDADPADCDPDCD面面都垂直都垂直、兩條相交直線兩條相交直線內內與面與面因而因而由三垂線定理得由三垂線定理得證明證明 法一法一 .,PCDPADPCDCD面面面面面面又又 第27頁/共81頁5,2:,90:, 2,2:,/ )II( PBBEPEBRtPEBABCDPAACBEABAEBECBACAEPBAC

12、PBECABECABEB中中在在得得面面由由為正方形為正方形所以四邊形所以四邊形又又可知可知連結連結所成的角所成的角與與是是則則且且作作過點過點第28頁/共81頁.510arccos,510cos所成的角為所成的角為與與PBACPBBEPBE 第29頁/共81頁.510arccos,510cos所成的角為所成的角為與與PBACPBBEPBE :., )III( 中中在等腰三角形在等腰三角形求二面角的平面角求二面角的平面角為所為所垂足為垂足為作作AMCANBNCMAN 第30頁/共81頁, 2.56 25223,222 ABANACACCMMCAN第31頁/共81頁).32arccos(322c

13、os222 為為故所求的二面角故所求的二面角BNANABBNANANB第32頁/共81頁 法二法二 如圖建立空間直角坐標系如圖建立空間直角坐標系,.,.,),0 , 1 , 0(),1 , 0 , 0( ) I ( PCDPADPCDDCPADDCPADADAPDCAPDCAP面面故面故面上上在面在面又又面面由此得：由此得：內的兩條相交直線內的兩條相交直線是平面是平面與與且且所以所以證明：因證明：因 第33頁/共81頁.510|,cos, 2,5,2),1, 2 , 0(),0 , 1 , 1( II)( PBACPBACPBACPBACPBACPBAC故故第34頁/共81頁 (III) 在在

14、MC上取一點上取一點N(x，y，z), 則則存在存在 R使使,MCNC .21, 1,1),21, 0 , 1( zyxMC),1 ,1(zyxNC 第35頁/共81頁.54, 0210, 解得解得即即只需只需zxMCANMCAN. 0),52, 1 ,51(,54 MCANN能使能使點坐標為點坐標為時時可知當可知當 第36頁/共81頁0),52, 1,51(),52, 1 ,51(, MCBNBNAN有有此時此時.,:0, 0為所求二面角的平面角為所求二面角的平面角所以所以得得由由ANBMCBNMCANMCBNMCAN 第37頁/共81頁).32arccos(.32|),cos(.54,53

15、0| ,530| 故所求的二面角為故所求的二面角為BNANBNANBNANBNANBNAN第38頁/共81頁 方法論壇方法論壇 第39頁/共81頁 1. 兩條異面直線所成的角：兩條異面直線所成的角：平移其中一條直線或者兩條直線，平移其中一條直線或者兩條直線，找出兩異面直線所成的角，然后解三角找出兩異面直線所成的角，然后解三角形；如果求出的是鈍角，則取其補角；形；如果求出的是鈍角，則取其補角；先求兩條異面直線的方向向量所先求兩條異面直線的方向向量所成的角，但如果求出的是鈍角，要注意成的角，但如果求出的是鈍角，要注意轉化成相應的銳角轉化成相應的銳角. 或者說，若或者說，若cos x，則這兩條異面直

16、線所成的角為則這兩條異面直線所成的角為 arccos|x|. 方法論壇方法論壇 第40頁/共81頁 2. 直線和平面所成的角：直線和平面所成的角：“一找二證三求一找二證三求”，三步都必須，三步都必須要清楚地寫出來要清楚地寫出來.向量法，先求直線的方向向量與向量法，先求直線的方向向量與平面的法向量所成的角平面的法向量所成的角 ，而所要求的，而所要求的角為角為.22 或或第41頁/共81頁 3. 平面與平面所成的角平面與平面所成的角:“一找二證三求一找二證三求”. 一找：找出一找：找出這個二面角的平面角；二證：證明所找這個二面角的平面角；二證：證明所找角即為二面角的平面角；三求：解三角角即為二面角

17、的平面角；三求：解三角形求角形求角. 射影面積法：射影面積法：要注意所求角為要注意所求角為 或或 ；.cos原原射影射影SS 第42頁/共81頁 向量法向量法: 先求兩個平面的法向量先求兩個平面的法向量所成的角為所成的角為 ，那么這兩個平面所成的，那么這兩個平面所成的二面角的平面角為二面角的平面角為 或或 . 或者先求出或者先求出二面角的平面角的兩邊的方向向量所成二面角的平面角的兩邊的方向向量所成的角的角 ，而二面角的大小為，而二面角的大小為 或或 .第43頁/共81頁 注意：注意：(1) 在求角時，若比較容易在求角時，若比較容易建立坐標系，找出各點的坐標，則用向建立坐標系，找出各點的坐標，則

18、用向量方法比較好；否則，用非向量方法比量方法比較好；否則，用非向量方法比較簡便較簡便.(2) 用非向量方法求角時，要做到用非向量方法求角時，要做到“一找二證三求一找二證三求”，在解題過程中一定，在解題過程中一定要出現形如要出現形如“ 就是所要求的角就是所要求的角”的的句子句子.第44頁/共81頁 長郡演練長郡演練 B組組第45頁/共81頁.,60,45,. 5 111111的大小的大小求二面角求二面角三角形三角形底面是正底面是正中中三棱柱三棱柱CAABACAABACBAABC 長郡演練長郡演練 B組組第46頁/共81頁222246 2442,2,22. 2 ., 111 ikEBjkFCikE

19、BFAACFEAABEkjiAAACAB則則則則設底面邊長為設底面邊長為于于于于并作并作、截取單位向量截取單位向量上分別上分別、在射線在射線 解析解析 第47頁/共81頁.336arccos3363222,cos,222222 222423254411 的大小為的大小為所以二面角所以二面角所以所以CAABFCEBjkkijiFCEBjkFC第48頁/共81頁第二課時：第二課時：空間距離第49頁/共81頁 課前導引課前導引 第二課時：第二課時：空間距離第50頁/共81頁 1. RtABC兩直角邊兩直角邊BC=3，AC=4，PC面面ABC，且，且PC= ，則點，則點P到斜邊到斜邊AB的距離為的距離

20、為_.59 課前導引課前導引 第二課時：第二課時：空間距離第51頁/共81頁 1. RtABC兩直角邊兩直角邊BC=3，AC=4，PC面面ABC，且，且PC= ，則點，則點P到斜邊到斜邊AB的距離為的距離為_. 簡評簡評 先利用三垂線定理找出點先利用三垂線定理找出點P到到AB的垂線段的垂線段.59 課前導引課前導引 第二課時：第二課時：空間距離第52頁/共81頁 1. RtABC兩直角邊兩直角邊BC=3，AC=4，PC面面ABC，且，且PC= ，則點，則點P到斜邊到斜邊AB的距離為的距離為_. 簡評簡評 先利用三垂線定理找出點先利用三垂線定理找出點P到到AB的垂線段的垂線段.593 課前導引課

21、前導引 第二課時：第二課時：空間距離第53頁/共81頁 2. 正四面體正四面體ABCD棱長為棱長為a，動點，動點P、Q分別在線段分別在線段AB、CD上，則上，則|PQ|的的最小值是最小值是_.第54頁/共81頁 2. 正四面體正四面體ABCD棱長為棱長為a，動點，動點P、Q分別在線段分別在線段AB、CD上，則上，則|PQ|的的最小值是最小值是_. 簡評簡評 線段線段AB、CD的中點連線即的中點連線即為其公垂線段，而為其公垂線段，而|PQ|的最小值就是異的最小值就是異面直線面直線AB、CD的距離的距離.第55頁/共81頁 2. 正四面體正四面體ABCD棱長為棱長為a，動點，動點P、Q分別在線段分

22、別在線段AB、CD上，則上，則|PQ|的的最小值是最小值是_.a22 簡評簡評 線段線段AB、CD的中點連線即的中點連線即為其公垂線段，而為其公垂線段，而|PQ|的最小值就是異的最小值就是異面直線面直線AB、CD的距離的距離.第56頁/共81頁 鏈接高鏈接高考考 第57頁/共81頁 例例11（2004年全國卷）已知球年全國卷）已知球O的半徑為的半徑為1，A、B、C三點都在球面上三點都在球面上,且每兩點間的球面距離均為且每兩點間的球面距離均為 ，則球，則球心心O到平面到平面ABC的距離為的距離為( )2 36D. 32C. 33B. 31A. 鏈接高鏈接高考考 第58頁/共81頁 例例11（20

23、04年全國卷）已知球年全國卷）已知球O的半徑為的半徑為1，A、B、C三點都在球面上三點都在球面上,且每兩點間的球面距離均為且每兩點間的球面距離均為 ，則球，則球心心O到平面到平面ABC的距離為的距離為( )2 36D. 32C. 33B. 31A.B 鏈接高鏈接高考考 第59頁/共81頁 例例22（2005全國卷二）不共面的全國卷二）不共面的四個定點到平面的距離都相等，這樣的四個定點到平面的距離都相等，這樣的平面共有平面共有 ( ) A. 3個個 B. 4個個 C. 6個個 D. 7個個第60頁/共81頁 例例22（2005全國卷二）不共面的全國卷二）不共面的四個定點到平面的距離都相等，這樣的

24、四個定點到平面的距離都相等，這樣的平面共有平面共有 ( ) A. 3個個 B. 4個個 C. 6個個 D. 7個個D第61頁/共81頁 例例22（2004年江蘇卷）年江蘇卷） 在棱長為在棱長為4的正方體的正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，O是正是正方方A1B1C1D1的中心，點的中心，點P在棱在棱CC1上，上，且且CC1=4CP. (I) 求直線求直線AP與與平面平面BCC1B1所成的所成的角的大小角的大小(結果用反結果用反三角函數值表示三角函數值表示)； (II) 設設O點在平面點在平面D1AP上的射影是上的射影是H,求證：求證：D1HAP； (III) 求點求點P到平面到平面ABD1

25、的距離的距離.第62頁/共81頁.17174arctan,17174arctan,17174tan, 1, 4,4,)1( 11111111所成角為所成角為與平面與平面即直線即直線為直角為直角中中在在所成角就是所成角就是與平面與平面平面平面連結連結BBCCAPAPBBPAPAPBABPPBCRtCPCCCPCCAPBBBCCAPBBCCABBP 解析解析 第63頁/共81頁., )2( 11111111111111111111111111111111APHDHDODAPDAPODAPCAAPAPCAODACAAAODAADCBAAACAODDCBADBCA 在這個平面內的射影是在這個平面內的射

26、影是斜線斜線的的又平面又平面面面平平由于由于平面平面平面平面又又是正方形是正方形四邊形四邊形連結連結第64頁/共81頁.223,223, 3,45,90, )3( 1111111111111111距離為距離為的的到平面到平面即點即點中中在在的距離的距離到平面到平面就是點就是點平面平面平面平面平面平面于點于點作作過點過點中中在平面在平面連結連結ABDPPQPCQPCQPCPQCRtABDPPQDABCPQABPQBBCCPQBBCCABQBCPQPBBCCBC 第65頁/共81頁 在線探究在線探究 第66頁/共81頁 1. (高中數學教材第二冊下高中數學教材第二冊下B第第51頁頁) 已知正方體已

27、知正方體ABCD-ABCD的棱長為的棱長為1，求直線求直線DA與與AC的距離的距離. 在線探究在線探究 第67頁/共81頁 1. (高中數學教材第二冊下高中數學教材第二冊下B第第51頁頁) 已知正方體已知正方體ABCD-ABCD的棱長為的棱長為1，求直線求直線DA與與AC的距離的距離. 在線探究在線探究 分析：如果能找到DA與AC的公垂線段，則用非向量方法也可，只需解直角三角形. 下面提供向量的兩種解法.第68頁/共81頁 法一法一 設設PQ為為AC與與DA的公垂線段的公垂線段,且且AP=x，AQ=y，則，則 ABCDABCDPQ2/2)(QAAAPAPQ yxyyx2122 1243)2(2

28、2 yyyx31)322(43)2(22 yyx第69頁/共81頁.33,33| ,31,322min的距離為的距離為與與即直線即直線時時當當ACDAPQxy ABCDABCDPQ第70頁/共81頁 法二法二 如圖建立如圖建立直角坐標系直角坐標系. 設設PQ為為AC與與DA的公垂線段，的公垂線段，點點P和和Q坐標分別為，坐標分別為，則則 12)1(222212212 xxxxPQ31)31(23)21(222221 xxxABCDABCD(O)PQyxz.33,32,31min12 PQxx時時所以當所以當第71頁/共81頁 方法論壇方法論壇 第72頁/共81頁 重點是點到平面的距離，直線到重

29、點是點到平面的距離，直線到平面的距離和兩個平面的距離可以轉平面的距離和兩個平面的距離可以轉化成點到平面的距離，一個點到平面化成點到平面的距離，一個點到平面的距離也可以轉化成另外一個點到這的距離也可以轉化成另外一個點到這個平面的距離個平面的距離. 1. 兩點的距離： (1) 通常構造直角三角形解決； 方法論壇方法論壇 第73頁/共81頁.)(,:)2( 22兩點的距離兩點的距離、求求則可利用則可利用和每兩個向量所成的角和每兩個向量所成的角的模的模若知道若知道向量法向量法BANBMNAMAB，NBMNAM .cos2,:)3( 2222公式則由此變形而來公式則由此變形而來離離而異面直線上兩點的距而

30、異面直線上兩點的距則則且且、上的射影分別為上的射影分別為在棱在棱、大小為大小為若二面角若二面角距離公式距離公式二面角兩個面內兩點的二面角兩個面內兩點的mabbaABmCDbBDaACDClBABAl 第74頁/共81頁 2. 兩條異面直線的距離兩條異面直線的距離: (1) 如果已經找到或者容易找到兩如果已經找到或者容易找到兩條異面直線的公垂線，則轉化成求公條異面直線的公垂線，則轉化成求公垂線段的長度；垂線段的長度； (2) 向量法：利用公式向量法：利用公式(其中其中A、B分別為兩條異面直線上的分別為兩條異面直線上的一點，一點， 為這兩條異面直線的法向量）為這兩條異面直線的法向量）|nnABd n第75頁/共81頁 3. 點到平面的距離點到平面的距