1、第四節(jié)第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第 158 頁(yè)基礎(chǔ)梳理1直線與圓的位置關(guān)系與判斷方法(1)幾何法：利用圓心到直線的距離 d 與半徑 r 的大小關(guān)系dr直線與圓相離(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程，消去 x(或 y)得一元二次方程，計(jì)算b24ac.0直線與圓相交；0直線與圓相切；0)，圓 o2：(xa2)2(yb2)2r22(r20)方法位置關(guān)系幾何法：圓心距 d 與 r1，r2的關(guān)系代數(shù)法： 兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離dr1r2無(wú)解外切dr1r2一組實(shí)數(shù)解續(xù)表相交|r1r2|dr1r2兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d|r1r2|(r1r2)一組實(shí)數(shù)解

2、內(nèi)含0d0)的直線 l 被圓 c：x2y22x4y40 截得弦 ab 長(zhǎng)為 4，若直線 l唯一，則該直線的方程為_(kāi)解析將圓 c 的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x1)2(y2)29，圓心 c(1，2)，半徑 r3.又由題意可知，圓心 c 到直線 l 的距離為 3222 5，所有滿足題意的直線 l 為圓 d： (x1)2(y2)25 的切線 又直線 l 唯一， 點(diǎn) p 在圓 d 上 (t1)245.t2 或 t0(舍去) 該切線方程為(21)(x1)(y2)(02)5， 即直線 l 的方程為 x2y20.答案x2y20(4)在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，a 為直線 l：y2x 上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，b(5，0

3、)，以 ab 為直徑的圓 c 與直線 l 交于另一點(diǎn) d.若abcd0，則點(diǎn) a 的橫坐標(biāo)為_(kāi)解析因?yàn)閍bcd0，所以 abcd，又點(diǎn) c 為 ab 的中點(diǎn)，所以bad45.設(shè)直線 l 的傾斜角為，直線 ab 的斜率為 k，則 tan 2，ktan4 3，又 b(5，0)，所以直線 ab的方程為 y3(x5)，又 a 為直線 l：y2x 上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，聯(lián)立直線 ab 與直線 l 的方程，得y3（x5） ，y2x，解得x3，y6，所以點(diǎn) a 的橫坐標(biāo)為 3.答案3破題技法直線與圓位置關(guān)系的求解方法問(wèn)題解題技巧圖例直線與圓位置關(guān)系判斷利用圓心到直線的距離 d 與半徑 r 比較進(jìn)行判斷求弦長(zhǎng)巧

4、借垂徑定理，利用|ab|2 r2d2(d 為弦心距，r 為圓的半徑)求解直線與圓相交所得弦長(zhǎng)求切線方程(1)若點(diǎn)(x0，y0)在圓上，斜率存在時(shí)，先求點(diǎn)與圓心連線的斜率 k，由切線與過(guò)切點(diǎn)、圓心的直線垂直的關(guān)系知切線的斜率為1k，由點(diǎn)斜式方程可求出切線方程(2)若點(diǎn)(x0，y0)在圓外，當(dāng)斜率 k 存在時(shí)，設(shè)直線方程為yy0k(xx0)， 由圓心到直線的距離等于半徑求出斜率，即可得出切線方程考點(diǎn)二圓與圓的位置關(guān)系挖掘利用圓與圓的關(guān)系求解/ 自主練透例(1)若圓 c1：x2y21 與圓 c2：x2y26x8ym0 相切，則 m()a11b9c19d.9 或11解析依題意可得 c1(0，0)，c2

5、(3，4)，則|c1c2| 32425.又 r11，r2 25m，25m0，當(dāng)兩圓外切時(shí)，r1r2 25m15，解得 m9，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，|r2r1|5，即| 25m1|5，得 25m6，解得 m11.答案d(2)若圓 o1：x2y25 與圓 o2：(xm)2y220 相交于 a，b 兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn) a 處的切線互相垂直，則線段 ab 的長(zhǎng)度是()a3b4c2 3d.8解析如圖，連接 o1a、o2a，由于o1與o2在點(diǎn) a 處的切線互相垂直，因此 o1ao2a，所以 o1o22o1a2o2a2， 即 m252025， 設(shè) ab 交 x 軸于點(diǎn) c.在 rto1ao2中， sinao2o155

6、，在 rtaco2中，acao2sinao2o12 5552，ab2ac4.故選 b.答案b(3)已知圓 c1： (x2a)2y24 和圓 c2： x2(yb)21 只有一條公切線， 若 a， br r 且 ab0，則1a21b2的最小值為()a2b4c8d9解析由題意可知，圓 c1的圓心為(2a，0)，半徑為 2，圓 c2的圓心為(0，b)，半徑為 1，因?yàn)閮蓤A只有一條公切線，所以兩圓內(nèi)切，所以 （2a0）2（0b）221，即 4a2b21.所以1a21b21a21b2(4a2b2)5b2a24a2b252b2a24a2b29，當(dāng)且僅當(dāng)b2a24a2b2，且 4a2b21，即 a216，b2

7、13時(shí)等號(hào)成立，所以1a21b2的最小值為 9.故選 d.答案d破題技法1.判斷兩圓位置關(guān)系的方法幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差的絕對(duì)值的關(guān)系，一般不用代數(shù)法2兩圓公共弦長(zhǎng)的求法求兩圓公共弦長(zhǎng)，先求出公共弦所在直線的方程，在其中一圓中，由弦心距 d，半弦長(zhǎng)l2，半徑 r 所在線段構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解而兩圓公共弦的方程就是將兩圓方程相減，消去 x2，y2后的方程考點(diǎn)三圓的綜合問(wèn)題挖掘 1與圓有關(guān)的最值問(wèn)題/ 自主練透例 1已知實(shí)數(shù) x、y 滿足 x2y24x10.(1)求yx的最大值與最小值；(2)求 yx 的最大值、最小值；(3)求 x2y2的最大值、最小值解析(1)原方程

8、可化為(x2)2y23，表示以(2，0)為圓心， 3為半徑的圓yx的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)yxk，即 ykx.如圖所示，當(dāng)直線 ykx 與圓相切時(shí)，斜率 k 取最大值或最小值，此時(shí)|2k0|k21 3，解得 k 3.所以yx的最大值為 3，最小值為 3.(2)yx 可看作是直線 yxb 在 y 軸上的截距，如圖所示，當(dāng)直線 yxb 與圓相切時(shí)，縱截距 b 取得最大值或最小值，此時(shí)|20b|2 3，解得 b2 6.所以 yx 的最大值為2 6，最小值為2 6.(3)如圖所示，x2y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和

9、最小值又圓心到原點(diǎn)的距離為 （20）2（00）22，所以 x2y2的最大值是(2 3)274 3，x2y2的最小值是(2 3)274 3.破題技法與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的幾何轉(zhuǎn)化法(1)形如ybxa形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題(2)形如 taxby 形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問(wèn)題挖掘 2直線與圓的綜合問(wèn)題/ 互動(dòng)探究例 2已知圓 c 經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，4)，(1，3)，圓心 c 在直線 xy10 上，過(guò)點(diǎn) a(0，1)且斜率為k 的直線 l 與圓 c 相交于 m，n 兩點(diǎn)(1)求圓 c 的

10、方程；(2)請(qǐng)問(wèn)aman是否為定值，若是，請(qǐng)求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若omon12(o 為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線 l 的方程解析(1)設(shè)圓 c 的方程為(xa)2(yb)2r2， 則依題意， 得（2a）2（4b）2r2，（1a）2（3b）2r2，ab10，解得a2，b3，r1，圓 c 的方程為(x2)2(y3)21.(2)aman為定值過(guò)點(diǎn) a(0，1)作直線 at 與圓 c 相切，切點(diǎn)為 t，易得|at|27，aman|am|an|cos 0|at|27，aman為定值，且定值為 7.(3)依題意可知，直線 l 的方程為 ykx1，設(shè) m(x1，y1)，n(x2，y2)，將 ykx1 代入(x2)2(y3)21 并整理，得(1k2)x24(1k)x70，x1x24（1k）1k2，x1x271k2，omonx1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)14k（1k）1k2812，即4k（1k）1k24，解得 k1，又當(dāng) k1 時(shí)0，直線 l 的方程為 yx1.破題技法與圓有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題常見(jiàn)思路(1)直接利用條件，畫(huà)出幾何圖形，結(jié)合圖形用幾何法求參數(shù)的范圍(2)根據(jù)位置關(guān)系列不等式組，用代數(shù)法求參數(shù)范圍(3)構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，借助函數(shù)思想求參數(shù)的范圍挖掘 3點(diǎn)圓的應(yīng)用/ 互動(dòng)探究例 3求經(jīng)過(guò)點(diǎn) m(3，1)且與圓 c：x2