1、王進明 初等數(shù)論 習(xí)題及作業(yè)解答P17 習(xí)題1-1 1，2(2)(3), 3，7，11，12為作業(yè)。1已知兩整數(shù)相除，得商12，余數(shù)26，又知被除數(shù)、除數(shù)、商及余數(shù)之和為454求被除數(shù).解：b=30, 被除數(shù)a=12b+26=360.這題的后面部分是小學(xué)數(shù)學(xué)的典型問題之一“和倍” 問題：商為12,表明被除數(shù)減去余數(shù)后是除數(shù)的12倍，被除數(shù)減去余數(shù)后與除數(shù)相加的和是除數(shù)的（12+1）倍，即是除數(shù)的13倍.2證明：(1)當(dāng)nZ且時，r只可能是0,1,8;證：把n按被9除的余數(shù)分類，即：若n=3k, kZ，則, r=0；若n=3k +1, kZ，則,r=1；若n=3k1, kZ，則,r=8.(2)

2、當(dāng) nZ時，的值是整數(shù)。證因為=，只需證明分子是6的倍數(shù)。=.由k!必整除k個連續(xù)整數(shù)知：6 ,6 |.或證：2!|, 必為偶數(shù).故只需證3|.若3|n, 顯然3|；若n為3k +1, kZ，則n1是3的倍數(shù)，得知為3的倍數(shù)；若n為3k1, kZ，則2n1=2(3k1)1=6k-3, 2n1是3的倍數(shù).綜上所述，必是6的倍數(shù),故命題得證。又證：=02+12+22+(n-1)2,整數(shù)的平方和必為整數(shù)。當(dāng) nZ時，-nZ+, 從而同樣推得為整數(shù)，故命題得證。(3)若n為非負整數(shù)，則133|(11n+2+122n+1)證明：利用11n+2+122n+1=12111n +12144 n =13311n

3、 +12(144 n11 n)及例5的結(jié)論(4)當(dāng)m，n，lN+時，的值總是整數(shù)證明：=由k!必整除k個連續(xù)整數(shù)知：, n! |，從而由和的整除性即證得命題。(5)當(dāng)a，bZ且a b，n是雙數(shù)時，；(6)當(dāng)a，bZ且a b，n是單數(shù)時，解：利用例5結(jié)論：若a b，則令b=b*, 即得。或解：a = (a+b)b， (5)當(dāng)n為雙數(shù)時，由二項式展開，證得。(6) 當(dāng)n為單數(shù)時類似可得。3已知a1，a2，a3，a4，a5，bZ,且，說明這六個數(shù)不能都是奇數(shù)解：若這六個數(shù)都是奇數(shù)，設(shè)，則，因為，所以8 | 4,而，即等式左邊被8除余5,而右邊被8除余1, 故不可能這六個數(shù)都是奇數(shù)。4能否在下式的各內(nèi)

4、填入加號或減號，使下式成立；能的話給出一種填法，否則，說明理由。123456789=10 不能，因為等式左邊有單數(shù)個單數(shù)，它們的和差只能是奇數(shù)，而等式右邊10為偶數(shù)。或解：無論各內(nèi)填入加號或減號，123456789+1+2+3+4+5+6+7+8+9總是偶數(shù)，而1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,因此的結(jié)果123456789一定是奇數(shù)。 5已知：a，b，c均為奇數(shù)證明無有理根。證：若有有理根，記為互質(zhì)，代入方程有即，這是不可能的，因為p,q互質(zhì)，二者不可能同時為偶數(shù)。若p為偶數(shù)，則為偶數(shù)，但是奇數(shù)，它們的和不可能為0;若q為偶數(shù)，則為偶數(shù)，但是奇數(shù)，它們的和也不可能為0。6在黑板上寫出三

5、個整數(shù)，然后擦去一個，換成其他兩數(shù)之和加1，繼續(xù)這樣操作下去，最后得到三個數(shù)為35，47，83問原來所寫的三個數(shù)能否是2，4，6? 解：不能因為原來所寫的三個數(shù)若是2，4，6，每次操作后剩下的三個數(shù)是兩偶一奇7將1-99這99個自然數(shù)依次寫成一排，得一多位數(shù)A1 2 3 4 5 6 7 8 9 101197 98 99，求A除以2或5、4或25、8或125、3或9、11的余數(shù)分別是多少?解：由數(shù)的整除特征，2和5 看末位， A除以2余1，A除以5余4；4和25 看末兩位， A除以4余3，A除以25余24；8和125看末三位， A除以8余3，且除以125余24；3和9看各位數(shù)字的和，123456

6、789=45，A所有數(shù)字的和等于450, A除以3和9都余0，A除以11的余數(shù)利用定理1. 4, 計算奇數(shù)位數(shù)字之和A 的偶數(shù)位數(shù)字之和奇數(shù)位數(shù)字之和1+3+5+7+9+(0+1+9) 9，偶數(shù)位數(shù)字之和2+4+6+8+(1+2+9) 10，兩者之差為40，原數(shù)除以11的余數(shù)就是40除以11的余數(shù)：4.8四位數(shù)7x2y能同時被2，3，5整除，求這樣的四位數(shù)解：同時被2，5整除，個位為0，再考慮被3整除，有4個：7020，7320，7620，79209從5, 6, 7, 8, 9這五個數(shù)字中選出四個不同的數(shù)字組成一個四位數(shù)，它能同時被3, 5, 7整除，那么這些四位數(shù)中最大的一個是多少？被5整除

7、，個位必為5. 5+6+7+8=26, 5+6+7+9=27 ,5+6+8+9=28,5+7+8+9=29中唯27能被3整除，故選出的四個不同的數(shù)字是5, 6, 7,9,但不同排序有9765,9675,7965,7695,6975,6795,從最大的開始試除，得9765=71395，那么要求的就是9765了。10 111至1001各數(shù)按以下的格式排列成表，像表中所示的那樣用個正方形框住其中的9個數(shù)，要使9個數(shù)的和等于(1)2001，(2)2529，(3)1989，能否辦到?如能辦到，寫出框里的最小數(shù)與最大數(shù)如辦不到，說明理由解：設(shè)框里居中心的數(shù)為x,則9個數(shù)的和等于9x. (1) 9不能整除2

8、001，和等于2001辦不到；(2) 9x=2529，x=281，是所在行第一個數(shù)，和等于2529辦不到；(3) 9x=1989，x=221，和等于1989能辦到，框里的最大數(shù)為x+8=229，最小數(shù)為x8=21312證明：7(或11或13) 的特征是：7(或11或13) 整除解答：因為71113=1001。（諧“一千零一夜”）而=711131000或附）廣西師范大學(xué)趙繼源主編的初等數(shù)論習(xí)題11中的部分題目(與上面相同或相似的題目不列，以下各章節(jié)同)3已知a，b，c中，有一個是2001，有一個是2002，有一個是2003，試判斷(a1)(b2)(c3)的奇偶性，并說明理由69. 是否存在自然數(shù)

9、a和b，使a2b2 = 2002成立?11證明：當(dāng)nZ時，6 | n(n1)(2n1)12已知：，f (0)，f (1)，f (1)，x均為整數(shù)證明：解答：3偶數(shù)因為a，b，c中，有三個奇數(shù)，所以a1，c3中至少有一個是偶數(shù)6只需，即，先考慮有5組解 9不存在利用a2b2 =(ab)(a + b)，而ab，a + b的奇偶性相同而2002=21001.11用數(shù)學(xué)歸納法或n(n+1)(2n+1)= n(n+1)(n+2)+(n1)n(n+1)，利用整除的基本性質(zhì)(13)12由f (0)，f (1)，f (1)，x均為整數(shù)可得c, a+b, ab均為整數(shù). 進而知2a，2b為整數(shù). 分類討論(kZ

10、): x=2k時，由2a，2b為整數(shù)f (x)顯然為整數(shù); x=2k+1時，f (2k+1) = 4ak(k+1) + 2bk + a + b + c, 可知f (x)仍然為整數(shù)。習(xí)題1-21. 用試除法確定下列各數(shù)中哪些是質(zhì)數(shù)？哪些是合數(shù)？1987，2027，2461，17357解：, 45.022, 用質(zhì)數(shù)試除到43，可知兩者是質(zhì)數(shù)， 49.61, 用質(zhì)數(shù)順次試除，試除時，用數(shù)的整除特征考慮：2，3，5顯然不能整除它，由上節(jié)第12題結(jié)論，35717= 340，340不能被7，11，13整除，再用17，23考慮，246123=107, 2461是合數(shù)。用類似思路順次試除17357，到17，得

11、分解式17357=171021，17357是合數(shù)。2. 當(dāng) n 是什么正整數(shù)時，+8n2+4n +1, = n418n2+45, = n4+ n2+1, 的值是質(zhì)數(shù)？是合數(shù)？解：，當(dāng)n =1時，是質(zhì)數(shù)；當(dāng)n 1時，是合數(shù)。+ =( n +1)2(n3+3n2+2n +1)。n 無論是什么正整數(shù)時，n +11，總是合數(shù)。=令n23=1或n215=1知僅當(dāng) n=2或 n= 4時，為質(zhì)數(shù)， n為其它正整數(shù)時，是合數(shù)。n4+ n2+1 = n4+ 2n2+1n2 = (n2+ n+ 1)(n2n+ 1)，令n2+ n+ 1=1或n2n+ 1=1知僅當(dāng) n= 1時，=n4+ n2+1為質(zhì)數(shù)， n 1時，

12、是合數(shù)。，當(dāng)n=2時為質(zhì)數(shù)，n為其它正整數(shù)時是合數(shù)。3. 試證：(1) 一切大于3的質(zhì)數(shù)，不是形如6n +1就是6n1的數(shù)(nN)；(2) 任意多個形如6n +1的數(shù)的乘積仍是形如6n +1的數(shù)；(3) 形如 6n1的數(shù)中含有無限多個質(zhì)數(shù).證：(1)因為形如6n或6n2或6n+3為合數(shù)；所以結(jié)論成立；(2)先證明兩個形如6n +1的數(shù)的乘積仍是形如6n +1的數(shù)：，顯然，結(jié)論成立。然后用數(shù)學(xué)歸納法可得一般性結(jié)論。(3) 若形如 6n1的數(shù)中只有k個質(zhì)數(shù)：p1, p2, , pk。令N = 6 p1 p2 pk1，N為形如 6n1的數(shù)，由假設(shè)N必為合數(shù)，且必有一個形如 6n1的質(zhì)因數(shù)p（否則就全

13、是形如 6n + 1的數(shù)，由(2)中結(jié)論，乘積必為形如 6n+1的數(shù)，與N的形式不符）, 因此p為 p1, p2, , pk中的某一個，于是，p | 1, 矛盾。4. 設(shè)m1，當(dāng)m |時，m必為質(zhì)數(shù).證：若m為合數(shù)，m最小的大于1的約數(shù)必為質(zhì)數(shù)，設(shè)為p, p是2,3, ,m1中一個數(shù)。顯然p | (m1)!且p | (m1)!+1，于是，p | 1, 矛盾。5. 是否有1999 個連續(xù)的自然數(shù), 它們之中恰好只有一個是質(zhì)數(shù)？證：顯然存在1998個連續(xù)的自然數(shù)都是合數(shù),比如1999!+2, 1999!+3, , 1999!+1999.現(xiàn)在設(shè)a1,a2,，a1998是任意1998個連續(xù)的合數(shù),若比

14、a1小的最大的質(zhì)數(shù)是 p， 則p,p+1,p+2,，p+1998 就是題目所要求的1999 個連續(xù)的自然數(shù)。這里的p可以如下確定：比a1小1的不是質(zhì)數(shù), 就考慮比a1小2的，還不是，就考慮小3的,，直到是質(zhì)數(shù)為止，這個質(zhì)數(shù)即為p。事實上，p后面的合數(shù)不少于1998個， 所以可從p后面選1998個都是合數(shù)。附）廣西師范大學(xué)趙繼源主編的初等數(shù)論習(xí)題12中的部分題目(與以上相同的不列)1. 判斷下列各數(shù)中哪些是質(zhì)數(shù)？109，20032. 求證：對任意 nZ+，必有 n 個連續(xù)的自然數(shù)都是合數(shù).4. 求證：當(dāng) nZ+時，4n3+6n2+4n +1是合數(shù).5. 求 a，使 a，a +4，a +14都是質(zhì)

15、數(shù).6. 已知兩個質(zhì)數(shù) p和 q滿足關(guān)系式 3p+5q=31.求p/(3q+1)的值.7. 已知 p3，且 p和 2p+1都是質(zhì)數(shù)，問 4p+1是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？8. 由超級計算機運算得到的結(jié)果（28594331）是一個質(zhì)數(shù)，試問：（2859433+1）是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？請說明理由.9. 已知：質(zhì)數(shù) p、q使得表達式（2p+1）/q及(2q-3)/p都是自然數(shù)，求 p、q的值 .10. 試證：形如 4n -1的數(shù)中包含有無窮多個質(zhì)數(shù).（此題在王進明教材中為例題）11.（1）若 n 是合數(shù)，證明：2n-1也是合數(shù)；（2）有人認為下列各和數(shù)：1+2+4，1+2+4+8，1+2+4+8+16，交替為質(zhì)數(shù)

16、與合數(shù)，你認為對嗎？12. 已知：質(zhì)數(shù) p 5，且是質(zhì)數(shù)，證明：4p+1必是合數(shù) .習(xí)題1-2解答1., 109用質(zhì)數(shù)試除到7, ,2003用質(zhì)數(shù)試除到43，可知兩者是質(zhì)數(shù)，17357=171021是合數(shù). 試除時，用數(shù)的整除特征考慮：2，3，5顯然不能整除它，由上節(jié)第8題結(jié)論，35717= 340，340不能被7，11，13整除，再用17考慮，得分解式。2. 為作一般性證明，可如下構(gòu)造 n 個連續(xù)自然數(shù)：（n + 1）！+ 2，（n + 1）！+ 3，（n+ 1）！+ n + 1顯然它們每個都是合數(shù).4. 利用4n3+ 6n2+4n+1= (2n+1)(2n2+ 2n+ 1) ,nZ+, n

17、1,2n+1和2n2+ 2n+ 1皆為大于1的數(shù).5. a=3. 思路：分類討論(kZ): a=3k+1時，a + 14是3的倍數(shù)，a=3k+2時，a + 4是3的倍數(shù)。 必有a =3k，即a為3的倍數(shù)。而a是質(zhì)數(shù), 只有a =3時，三個數(shù)全是質(zhì)數(shù)。6. 條件為一個不定方程, 可知1 3得 p不是 3的倍數(shù)，p= 3k+ 1，3 | 2p+1，所以，p=3k+2，3 | 4p+1. 或解：4p，4p+1，4p+2是三個連續(xù)整數(shù)，必有一個被3整除，由題設(shè)，只有3 | 4p+1.8. 合數(shù) . 2859433不可能是3的倍數(shù)，連續(xù)三個自然數(shù)中必有一個是 3的倍數(shù). 即（2859433+1）。另一種

18、解法：由習(xí)題11第1題（2）的結(jié)論，（2+1）|（2859433+1）9. 設(shè)，h、 k 必為奇數(shù), ，而k不能為3, 故只有k =1, 這樣2q3=p , 代入，同時質(zhì)數(shù) p、q 大于 3. 所以, 只能有h =3, 因而得 q =5, p=7.10. 先證：一切大于 2的質(zhì)數(shù)，不是形如 4n + 1就是形如 4n1的數(shù)；再證任意多個形如 4n+1的數(shù)仍是形如4n +1的數(shù)；最后用數(shù)學(xué)歸納法驗證. 若形如 4n1的質(zhì)數(shù)只有有限個：p1, p2, , pk。令N = 4 p1 p2 pk1，N為形如 4n1的數(shù)，由假設(shè)N必為合數(shù)，且必有一個形如 4n1的質(zhì)因數(shù)p（否則就全是形如 4n + 1的

19、數(shù)，乘積必為形如 4n+1的數(shù)）, 因此p為 p1, p2, , pk中在某一個，于是，p | 1, 矛盾。11.（1）n是合數(shù), 設(shè)n=st, 2n-1=2st-1=（2s-1）（2s）t-1+ （2s）t-2+ + 2s+ 1.（2）1+2+22+ +2n-1=2n-1. 當(dāng) n=14，15時，214-1，215-1均為合數(shù)， 不對 .12.取模為6分類討論 p，即設(shè) p=6q+ r（r=0，1，2，3，4，5）.由質(zhì)數(shù) p 5，若p=6q, 6q+2, 6q+3或6q+4, p皆為合數(shù), 不可能. 若p=6q+ 1, 則2p +1=12q+ 3也是合數(shù), 故在題設(shè)條件下, 只有p=6q+

20、5, 此時4p+1=24q+21, 是合數(shù). 實際上，這題與第7題完全相同。質(zhì)數(shù)p 3質(zhì)數(shù)p 5，可用前面的方法簡單求解。習(xí)題 1-31.求：（1）（30，45，84），30，45，84；（2）（21n +4，14n +3）（其中 nN）；解：（1）(30，45，84)=( 30，15，24)=( 0，15，9)=3, 30，45，84=90，84=615，14=61514=1260.（2）-2（21n +4）+(14n +3）=1, 故（21n +4，14n +3）=12.當(dāng)nN時，求證：證：n=2k時，kZ,(n-1,n+1）=(2k-1,2k+1)=(-2 ,2k+1)=1; 即2 |

21、n時, (n-1,n+1)=1；n=2k+1時，kZ, (n-1,n+1）= (n-1,2）= (2k,2)=2.3.用輾轉(zhuǎn)相除法求（4 453, 5 767）,并寫出相應(yīng)的裴蜀等式。解： 豎式： 01234q1322P114922Q0137174 45322 +5767(17)= 73，5767174 45322 =73或由推得4已知24|,求a, b. 解：6274200=26142524,故只需24|，即=0, 24, 36, 48, 72, 96.又解：24=38，3,8互質(zhì)，故只需3 |,8 |，即3 |（a+b）；又8 |，8 |200,故只需8|，從而必為8的倍數(shù)，3,8 同時考

22、慮，故答案是00，24，48，72, 96.5求證：lg2，是無理數(shù)證 0=lg1 lg2 lg10=1， lg2 不是整數(shù)若lg2是有理數(shù)，可令，則, (2，5) = 1, (2q，5pq) = 1, 所以 2q5pq . lg2不是有理數(shù)。綜上所述，lg2是無理數(shù).34, 顯然不是整數(shù)設(shè)，則15= （1）. , (p2，q2)=1,（1）式不可能成立。不是有理數(shù)。綜上所述，是無理數(shù).6. 已知a + b=60，(a, b)+ a, b=84, 求a, b.解: 則有。d是a + b=60，(a, b)+ a, b =84的公約數(shù)，而(60,84)=12, (a, b)=12，6，4，3，2

23、，1令 (a, b)=12，有t1+ t2=5, t1 t2=6，解得t1, t2為2,3或3,2。令 (a, b)=6， t1+ t2=10, t1 t2=13,無整數(shù)解；令 (a, b)=4， t1+ t2=15, t1 t2=20,無整數(shù)解；類似知(a, b)= 3，2，1皆無整數(shù)解。a, b為24, 36或36, 24. (若考慮負數(shù)還有-12、72) ，一般的，有以下結(jié)論：則7求證：證：由教材例5, 8.自然數(shù) A =10x+ y（x是非負整數(shù)，y是 N 的個位數(shù)字），求證：(10n+1) |A的充要條件是 (10n+1) | (xny) nN.利用這一結(jié)論（稱作割（尾）減法）判斷下

24、列各數(shù)能否被 31，41，51整除：26691，1076537，1361241證明：A=10x+ y= 10（xny）+(10n+1)y.必要性：(10n+1) |A, (10n+1) |(10n+1)y推得(10n+1) |10（xny）而（1+10n）與10互質(zhì)，因此有(10n+1) | (xny)。充分性：由和與積的整除性顯然可得。 31| 26691，41|26691，5126691；31|1076537，41|1076537，511076537；31|1361241，41|1361241，51|1361241. 以51為例，512669151 (266915)；又512664 51

25、(26645)；顯然51246 。51|136124151|(13612415)，又51|13611951|(1361195)，又51|1356651|(135665)，又51|132651|(13265)，而51|102。9.寫出所有的小于20的三個自然數(shù)，使它們的最大公約數(shù)是1但兩兩均不互質(zhì)解：設(shè)所求的三個自然數(shù)為a，b ，c. 由于兩兩都不互質(zhì)所以a，b，c 都是合數(shù)由于a，b，c 都小于20，而最小三個質(zhì)數(shù)的乘積 23 5 = 30 已大于20,因此a，b，c 這三合數(shù)中的每一個只能有兩個不同質(zhì)因數(shù), 而相互之間又不能完全相同.這樣， a236， b3515， c2510是滿足題意的一

26、組解.由于題目未限定每個數(shù)的質(zhì)因數(shù)不能重復(fù)，這樣 a22312 或233=18，而 b，c 仍分別為15, 10 (因為再大就超過20了）.由此所得的兩組數(shù)：12，15，10 與18，15，10 也是滿足題意的解10.有 15 位同學(xué)，每位同學(xué)都有編號，他們是 1 號到 15 號 .1 號同學(xué)寫了一個自然數(shù)，2號說“這個數(shù)能被 2整除”，3號說“這個數(shù)能被 3整除”依此下去，每位同學(xué)都說這個數(shù)能被他的編號整除 .1 號做了一一驗證，只有編號連續(xù)的兩位同學(xué)說的不對，其余同學(xué)都對 .問：（1）說得不對的兩位同學(xué)的編號是什么數(shù)？（2）如果 1號寫的數(shù)是 5位數(shù)，這個 5位數(shù)是多少？解：（1）這兩個連

27、續(xù)的編號的倍數(shù)應(yīng)該大于15, 否則編號是它們的倍數(shù)的同學(xué)說的也不對； 而且是這兩個連續(xù)的編號的質(zhì)因數(shù)的次數(shù)應(yīng)該高于比它小的數(shù)，否則編號是它們的質(zhì)因數(shù)的同學(xué)中至少也有一個說的也不對。因此它們是8，9. （2）60060；因為1號寫的數(shù)是2到15除8，9之外的整數(shù)的公倍數(shù)，也就是3，4，5，7，11，13的公倍數(shù)，找公倍數(shù)先找最小公倍數(shù)，3，4，5，7，11，13兩兩互質(zhì)，它們的最小公倍數(shù)60060就是5位數(shù)。60060的2倍就是6位數(shù),故答案唯一。11.用某一個數(shù)去除701, 1 059, 1 417, 2 312這四個數(shù)，所得余數(shù)都相同，滿足要求的所有除數(shù)中最大的那個數(shù)是多少？解：701, 1

28、 059, 1 417, 2 312兩兩相減，差的最大公約數(shù)就是所求的所有除數(shù)中最大的那個數(shù)。1 059-701=358, 14171 059=358，23121417=895， (895, 358)=(179 , 358)= 179.故所求為179,且可知所得的相同余數(shù)是164.12. 請?zhí)畛鱿旅尜徫锉砀裰袃?nèi)的數(shù)字：品名數(shù)量單價（元）總價（元）課桌72.7.7課椅77.3.合計金額（元）3.55解：72=89,8,9互質(zhì)，故總價必為8，9的倍數(shù)，可推得為 707.76元，因而知課桌的單價為9.83元；課椅的總價為 3.79元，由77=711推得另兩個數(shù)字,即課椅總價為 328.79元，再得課

29、椅單價為 4.27 元；合計金額為 1036.55元 .13.（略）14.某位同學(xué)沒有注意寫在兩個七位數(shù)之間的乘號，將其誤認為是一個14位數(shù)，有趣的是此14位數(shù)正好是原來兩個七位數(shù)乘積的三倍，試求出這三個數(shù)。解：設(shè)兩個七位數(shù)分別是a，b，則由題設(shè)14位數(shù)a107+b=3ab，即b=3aba107= a (3b107)，令k=3b107，b=ka（k10）, 得a107+ ka=3ka2，即107+ k=3ka(*),107 =(3a1)k, k | 107，107只有2m5n（m，n至少一個為正整數(shù)）形式的約數(shù), 即k=2,4,5,8.又由(*)，107+ k為3 的倍數(shù)，可排除4, 而若k=

30、5, 8, 則107+ k=3ka15a, 107+ k 大于1.5107，這是不可能的。因此只有k=2，即107+ 2=6a， a=1666667，b=3333334.或解：由a107+b=3ab，得，a與b同為七位整數(shù)，3b107只能是一位整數(shù)，且3b是3的倍數(shù)且大于107，故3b為107+2或107+5或107+8等,于是b=3333334或3333335等，但b3333335時，b1075，此時已經(jīng)是六位數(shù)了，故只有b=3333334。以上兩種方法基本相同，只不過前者考慮b為主，后者考慮a為主。附）廣西師范大學(xué)趙繼源主編的初等數(shù)論習(xí)題13中的部分題目(與以上相同的不列)2.求證：an，

31、bn= a，bn（a，b，nZ+）.7. 狐貍和黃鼠狼進行跳躍比賽，狐貍每次跳 4 12 米，黃鼠狼每次跳 2 34米，它們每秒鐘都只跳一次，比賽途中，從起點開始，每隔 12 38米設(shè)有一個陷阱，當(dāng)它們之中有一個掉進陷阱時，另一個跳了多少米？8. 大雪后的一天，大亮和爸爸共同步測一個圓形花圃的周長，他倆的起點和走的方向完全相同，大亮每步長 54厘米，爸爸每步長 72厘米 .由于兩人腳印有重合，所以雪地上只留下 60 個腳印，求花圃的周長 .9. 設(shè) a，b是自然數(shù)，a + b=33，a，b=90，求（a，b）.10. 一公路由 A 經(jīng) B 到 C，已知 A、B 相距 280 米，B、C 相距

32、315米，現(xiàn)在路邊植樹，要求相鄰兩樹間的距離相等，并要求在 B 點、AB、BC 的中點上都要植上一棵樹，那么兩樹間的距離最多有多少米？11. 一袋糖不足 60 塊，如果把它平均分給幾個孩子，則每人恰好分得 6塊；如果只分給這幾個孩子中的男孩，則每個男孩恰好分得 10塊 .這幾個孩子中有幾個女孩？12. 爺爺對小明說：“我現(xiàn)在的年齡是你的 7 倍，過幾年是你的 6倍，再過若干年就分別是你的 5 倍、4 倍、3 倍、2 倍 .”你知道爺爺和小明現(xiàn)在的年齡嗎？習(xí)題 1-3解答2. 證： ，而由定理1.13, ，從而由定理1.21推論3，=1。（an，bn）=（a，b）n，再由定理1.19,a，b（a

33、，b）= a b，等式兩邊同時n次方，得a，bn（a，b）n = a n b n， 同樣由定理1.19， an，bn（an，bn）= an bn， a，bn（a，b）n =an，bn（an，bn）； a，bn =an，bn。7. 黃鼠狼在第9跳掉進陷阱，此時狐貍跳了4.59 = 40.5米 .8. 54，72=216，每216厘米有腳印6個，故花圃的周長2160厘米 .9. 此題應(yīng)該先討論a + b，a，b與（a，b）的關(guān)系。 ( 33, 90 ) = 3, 所以 ( a, b ) = 3.10. 因為AB、BC 的中點上都要植上一棵樹，3152=157.5因此應(yīng)考慮1400和1575的最大公

34、約數(shù)175。最后答案：兩樹間的距離最多有17.5米 .11. 2個 .12. 設(shè)小明 x歲，則爺爺 7x歲，7x +h =6(x+h) , x=5h; 7x +k =5(x+k) , x=2k; 7x +i =4(x+i) , x=i; 7x +j =2(x+j) , 5x=j; 知小明年齡是2, 5的倍數(shù)。因此小明 10歲，爺爺 70歲.習(xí)題 1-41.把下列各數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：2001，26840，111111，999 999 999 999解： 2001= 323 29， 26840= 5112361， 111 111= 3 71113 37. 999 999 999 999=111 111

35、9 000 009=33 71113 371 000 001，而1 000 001=1019901，999 999 999 999=33 71113 371019901。2.用分解質(zhì)因數(shù)法求：（1）（4712，4978，5890，6327）；（2）4712，4978，5890.解：4712=41178=23589=231931, 4978=22489=219131 5890=10589=2531, 6327=9703=321937(1)19， (2)3086360937=10277578803. 將 85，87，102，111，124，148，154，230，341，354，413，667分成

36、兩組（每組 6個數(shù)），怎么分才能使每組各數(shù)的乘積相等？解：組為：85，111，124，154，354，667；另一組為：87102，148，230，341，4134某校師生為貧困捐款1995元，這個學(xué)校共有教職工35人，14個教學(xué)班，各班學(xué)生人數(shù)相同，并且多于30人但又不超過45人，如果師生平均每人捐款的錢數(shù)都是整數(shù)元，那么平均每人捐款多少元？解：1995=3665=5399=7285=5757=35719, 每人捐款的錢數(shù)只能是1、3、5、15、19、21或57。57不可能，否則教師捐款就夠了; 19,15和1元也不行，與學(xué)生數(shù)顯然不符; 平均每人捐款5元的話，每班人數(shù)為(399-35)=3

37、6414=26, 仍少于30; 所以平均每人捐款3元。此時每班人數(shù)為(665-35)=63014=45符合假定人數(shù)范圍。5. 甲、乙兩人各射五箭，每射一箭得到環(huán)數(shù)或者是“0”(脫靶)，或者是不超過10的自然數(shù)。兩人五箭所得環(huán)數(shù)的乘積都是1764，但甲的總環(huán)數(shù)比乙的少4環(huán)求甲、乙兩人的總環(huán)數(shù)各是多少？解：1764=4441=4212=223272, 由441-1=440=2220,220=111026證明：（1） (a，b，c) = (a，b)，(a，c)（2）.此題1-3已證明，在此要求用分解質(zhì)因數(shù)方法證明。（采用教材p成分的說法，可使證明敘述起來簡捷一些：設(shè)p為質(zhì)數(shù)，a，rN+,如果pr |

38、 a，且 pr+1 | a，這時稱 pr 為 a 的 p 成分，用 p(a) 表示a的p成分的冪指數(shù)，即p(a) =r. ）證明：設(shè)p(a) =l，p(b) = m，p(c) =n，且不妨設(shè)lmn。（1）p (a，b，c) =min p(a),max p(b), p(c) = minl, m=m， p (a，b)，(a，c)= max min p(a), p(b) , min p(a), p(c)= maxm,n= mr.由于p是任意質(zhì)數(shù)，所以(a，b，c) = (a，b)，(a，c)。（2）。由于p是任意質(zhì)數(shù)，所以題設(shè)等式成立。7.自然數(shù)555 555的約數(shù)中，最大的三位數(shù)是多少？解：555

39、 555=5111 111= 3571113 37. 約數(shù)最小的三個相乘已經(jīng)是三位數(shù)，那么在種取法中， 3537=555顯然太小，故3,5只能取一個：51113=5513=715，再調(diào)大如71113=1001就超出了；3737=777，調(diào)大如311 37=1 111,已經(jīng)超出，故777即為所求。8.若 2836，4582，5164，6522 四個數(shù)被同一個自然數(shù)相除，所得余數(shù)相同，求除數(shù)和余數(shù)各是多少？解：4582-2836=1746=2873=2997, 5164-4582=582=2291=2397, 6522-5164=1358=2679=2797, （1746，582，1358）=29

40、7所以，除數(shù)為97時，余數(shù)為23；除數(shù)為194時，余數(shù)為1209. (1) 所有正約數(shù)之和15的最小自然數(shù)是多少？ (2) 所有正約數(shù)之積64的最小自然數(shù)是多少？ (3) 有沒有這樣的自然數(shù)，其所有正的真約數(shù)之積等于它本身？解 (1) 15=115=35，若15=115，a有唯一質(zhì)因數(shù)，即a=，由公式=，p只能是2.令自然數(shù)a=2k，此時，得k=3，即a=8；若=35，即35，無解。故=35為不可能。因此所求最小自然數(shù)就是8.（2）。(2)=212, (4)=36, (64)=72, (8)=4, 因此所求最小自然數(shù)就是8. (3) 自然數(shù)a的所有正約數(shù)之積=，由題設(shè)有，即=22，故分解式或

41、只含1個質(zhì)因數(shù) p，此時 p 的指數(shù)為3, 即, 或 為2 個質(zhì)數(shù)的乘積，即，這樣的自然數(shù)，其所有正的真約數(shù)之積都等于它本身。10. 若a，b，cN+,且 a2= bc，(b，c)=1，則b，c均為平方數(shù)。證明：已知故得結(jié)論成立。11. 975935972（）要使這個乘積的最后 4個數(shù)字都是 0，括號中最小應(yīng)填什么自然數(shù)？解：20四個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后一共應(yīng)該有且只有4個2與4個5，需補充2個2與1個5。12. （1）設(shè)a，b=72，且ab，那么a + b有多少種不同的值？（2）已知（a，b）=12, a，c= b，c=300,滿足上述條件的自然數(shù)共有多少組（a=12, b=c=300與a= c=

42、300, b=12算不同的兩組）？解：（1）72=2332, 由充要條件a，b只含有2,3的質(zhì)因數(shù)且不超過72, 見下表a23=8233=242332=72b3223222323223222321322322232a+b172644334260738190108由于a，b是對稱的，所以一共10種不同的值。（2）300=1225, 因此a，b，c只含有2，3，5的質(zhì)因數(shù)且不超過300, 見下表a12125=601252=300b1212512521212c125212521252同左同左一共5組。13. 求：（1）(180)；（2）(180)；（3）1 (180).解：180=22325, (1

43、)332=18 (2)=546 (3)180914求出最小的正整數(shù)n，使其恰有144個正約數(shù)，并且其中有十個是連續(xù)的整數(shù)。解：144=122=63222,表明n的標(biāo)準(zhǔn)分解式應(yīng)含有五個不同質(zhì)數(shù),并應(yīng)該從2開始取，且使2的次數(shù)為5，3的次數(shù)為2，其他皆為1，故所求即25325711=110880。它不僅有10個甚至有12連續(xù)的約數(shù):1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.附）廣西師范大學(xué)趙繼源主編的初等數(shù)論習(xí)題14中的部分題目(與以上相同的不列)6.200以內(nèi)僅有 10個正約數(shù)的自然數(shù)有幾個？并一一求出 .7.求：（1）(180)；（2）(180)；（3）1 (180).8.已知A，

44、B=42，B，C=66，（A，C）=3，求 A，B，C .9.一個自然數(shù)有 21個正約數(shù)，而另一個自然數(shù)有 10個正約數(shù)，這兩個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式中僅含有不大于 3的質(zhì)因數(shù)，且這兩個數(shù)的最大公約數(shù)是 18，求此兩數(shù)是多少？10.小明有一個三層書架，他的書的五分之一放在第一層，七分之幾（這個幾記不清了）放在第二層，而第三層有書 303本，問小明共有書多少本？11.某班同學(xué)（50人左右）在王老師帶領(lǐng)下去植樹，學(xué)生恰好能分成人數(shù)相等的 3 組，如果老師與學(xué)生每人種樹的棵數(shù)一樣多，共種了884棵，那么每人種多少棵樹？12.少年宮游樂廳內(nèi)懸掛著 200個彩色燈泡，這 200個燈泡按 1耀200編號，它們的亮

45、暗規(guī)則是：第 1秒：全部燈泡變亮；第 2秒：凡編號為 2的倍數(shù)的燈泡由亮變暗；第 3秒：凡編號為 3的倍數(shù)的燈泡改變原來的亮暗狀態(tài)，即亮的變暗，暗的變亮 .一般地，第 n 秒凡編號為 n 的倍數(shù)的燈泡改變原來的亮暗狀態(tài)。這樣繼續(xù)下去，每 4分鐘一個周期，問第 200 秒時，明亮的燈泡有多少個？習(xí)題 1-4解答6有5個，10=25=110因此所求的數(shù)應(yīng)該為或后者即令c=2也已經(jīng)超出200,因此分別令a=2.b=3; a=2.b=5; a=2.b=7; a=3,b=2; a=2.b=11; 得48，80，112，162，1768因為B | , B |, 所以B是66，42的公約數(shù)，因而B是6的約數(shù)

46、。又所以7|A，11|C，從而設(shè) 由因為若B不含2的話，由，A，C就必須同時含2, 與矛盾。于是共得6組解，分別為：（自行寫出）9. 576和162 10.3535本。解：由題目可知小明的書的冊數(shù)是35的倍數(shù), 設(shè)為35k, 可列出方程28k5xk=（285x）k=303=3101知k=101.11. 分解質(zhì)因數(shù)：884=41317=1752=6813，884的因數(shù)中有4, 13, 52都具有3k+1形式，只有52=符合50人左右的題設(shè)，因此學(xué)生51人。12. 燈的一次“改變”對應(yīng)著它的編號的一個因子. 要使燈仍舊亮著需要奇數(shù)次“改變”什么樣的數(shù)有奇數(shù)個因子呢? 由定理1.26公式知只有完全平

47、方數(shù)! 200以內(nèi)的完全平方數(shù)只有14個。即為答案. 此題也可先考慮10個燈泡。用歸納得出“只有完全平方數(shù)”的結(jié)論。習(xí)題1-6部分習(xí)題解答1. 若集A=,B=,求AB,AB.解：A=1,1, B=Z(全體整數(shù)集合)，AB=A,AB=Z.2.設(shè) ，試求的值。解：, 代入得10。3.求的值。解：顯然，；設(shè)則，即。，繼續(xù)下去有，這顯然是不可能的，因此=1.4. 證明：若（p, q）=1，則。證：對于1kq1,均有q k p，即，故于是=。5. 求的值。解：=12+222+323+929+10=1 (22-2)+2(23-22)+3(24-23)+9(210-29)+10=-2-22-23-29+92

48、10+10=+9210+10=7210+12=7180.6.求使為整數(shù)的最大自然數(shù)k的值。解：即求的標(biāo)準(zhǔn)分解式中7的冪指數(shù)。=1000!100!所以7(1000!100!)= 7(1000!) 7(100!)所以k=142+20+2-14-2=148.7. 解方程：（1）解：故解得代入原方程得3x=20, 或解：由已知得設(shè)其為y，則，解得 （2）原式化為，即，把x當(dāng)作常數(shù)，由一元二次方程求根公式得 ，與相乘的積為整數(shù)，只能是。8. 設(shè)x，y滿足下列方程組，且不是一個整數(shù)，則x+ y在哪兩個整數(shù)之間。解：，可得x=4,4x 5，y=2x+3=1115 x+ y16.9. 試證方程x+2x+4x+

49、8x+16x+32x=12345無實數(shù)解.證:假設(shè)方程有實數(shù)解x=n+a,其中nZ,0a1,于是,，x=n，2x=2n+2a，4x=4n+4a，8x=8n+8a，16x=16n+16a，32x=32n+32a。代入原方程化簡、變形，得2a+4a+8a+16a+32a=12345-63n。由于0a1，因而0kak-1故012345-63n1+3+7+15+31=57，即12288/63n12345/63亦即195.04n195.95，與nZ矛盾，故原方程無實數(shù)解。10. 1到120這120個正整數(shù)中所有質(zhì)數(shù)的和是多少？解：2+3+5+7+11+13+17+19+23+29+31+37+41+43

50、+47+53+59+61+67+71+73+79+83+89+97+101+103+107+109+113=1593.或解：應(yīng)用逐步淘汰原則，所求的和=1到120這120個正整數(shù)的和(120以內(nèi)，下同)2的倍數(shù)的和3的倍數(shù)的和5的倍數(shù)的和7的倍數(shù)的和11的倍數(shù)的和+6的倍數(shù)的和+10的倍數(shù)的和+14的倍數(shù)的和+22的倍數(shù)的和+15的倍數(shù)的和+21的倍數(shù)的和+33的倍數(shù)的和+35的倍數(shù)的和+55的倍數(shù)的和+7730的倍數(shù)的和42的倍數(shù)的和6670110105=+33(1+2+3)+105+165+7730(1+2+3+4)42846670110105=7260616061603412052512

51、717811115+62110+10136+1494+2235+1594+2135+336+105+165+7730042846670110105=1593.11. 求25！的標(biāo)準(zhǔn)分解式。解：25！=222310567311213171923. 由定理1.6.3公式求出各個質(zhì)數(shù)的指數(shù)。12. 2000! 末尾有多少個連續(xù)的零?解：個連續(xù)的零13.某班學(xué)生參加數(shù)、理、化三科測試。數(shù)、理、化成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)依次是30,28,25, 數(shù)理、理化、化數(shù)兩科成績都優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)依為20,16,17。數(shù)理化三科都優(yōu)秀的學(xué)生有10人。問：數(shù)理兩科至少有一科優(yōu)秀的學(xué)生有多少人，數(shù)理化三科至少有一科優(yōu)秀的學(xué)生

52、又有多少人。解：數(shù)理兩科至少有一科優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為30+2820=38;數(shù)理化三科至少有一科優(yōu)秀的學(xué)生30+28+25201617+10=4014.從自然數(shù)列1,2,3,4,中依次劃去3的倍數(shù)和4的倍數(shù)，但是其中凡是5的倍數(shù)的數(shù)均保留，劃完之后的數(shù)依次構(gòu)成一個新的數(shù)列：a1=1,a2=2,a3=5,a4=7,求a2000的值。解：考慮1到3000這3000個數(shù)中這個數(shù)列中的數(shù)的個數(shù)為=30001000-750+250+200+150-50=1800=180=3010-7+2+2+1=18可知3330= a1998, 而3332是4的倍數(shù)，3333是3的倍數(shù),所以a2000=3334.附）廣西師范大學(xué)趙繼源主編的初等數(shù)論習(xí)題16中的部分題目(與以上相同的不列)3. 若證：可見，三種情況都有。7.計算：（1）解： =9312+0+0+19+40+57+76=9504. （2）解：。從而=1.8. 在前2001個自然數(shù)中，既不是5 的倍數(shù)，又不是7的倍數(shù)的數(shù)有多少個？. =2001400285+57=1373個10. 有100盞亮著的燈，各有一個拉線開關(guān)控制著，,現(xiàn)將其按順序編上號碼1,2, ,100,然后將編號為2的倍數(shù)的燈線拉一下，再將編號為3的倍數(shù)的燈線拉一下，最后將編號為5 的倍數(shù)的燈線拉一下