1、1數(shù)學(xué)方法論與解題研究數(shù)學(xué)方法論與解題研究韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系 歐慧謀2數(shù)學(xué)方法論主要研究什么數(shù)學(xué)方法論主要研究什么?方法論：方法論： 就是人們認(rèn)識世界、改造世界的一般方法，就是人們認(rèn)識世界、改造世界的一般方法，是人們用什么樣的方式、方法來觀察事物和是人們用什么樣的方式、方法來觀察事物和處理問題。概括地說，世界觀主要解決世界處理問題。概括地說，世界觀主要解決世界“是什么是什么”的問題，方法論主要解決的問題，方法論主要解決“怎么怎么辦辦”的問題。的問題。數(shù)學(xué)方法論：數(shù)學(xué)方法論： 主要是研究和討論數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律，數(shù)學(xué)的主要是研究和討論數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律，數(shù)學(xué)的思想方法以及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)

2、新等思想方法以及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新等法則的一門學(xué)問。法則的一門學(xué)問。3 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法論有什么意義？學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法論有什么意義？1.1.作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者，自覺地用數(shù)學(xué)方法論來指導(dǎo)學(xué)作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者，自覺地用數(shù)學(xué)方法論來指導(dǎo)學(xué) 習(xí)，能促進(jìn)對合理方法的應(yīng)用的轉(zhuǎn)化，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，能促進(jìn)對合理方法的應(yīng)用的轉(zhuǎn)化，提高數(shù)學(xué)學(xué) 習(xí)效果習(xí)效果 。 （學(xué)知識學(xué)知識+ +學(xué)方法學(xué)方法）2.2.作為數(shù)學(xué)教師，數(shù)學(xué)方法論與數(shù)學(xué)教學(xué)的有機(jī)結(jié)作為數(shù)學(xué)教師，數(shù)學(xué)方法論與數(shù)學(xué)教學(xué)的有機(jī)結(jié) 合能提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量合能提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量 。（。（講活、講懂、講深講活、講懂、講深）4數(shù)學(xué)方法論涉及哪些內(nèi)容？數(shù)學(xué)方法論涉及哪些內(nèi)容？實(shí)驗(yàn)嘗

3、試、實(shí)驗(yàn)嘗試、類比聯(lián)想、類比聯(lián)想、分析綜合、分析綜合、歸納演繹歸納演繹化歸、化歸、抽象、抽象、公理化、公理化、關(guān)系映射反演等。關(guān)系映射反演等。強(qiáng)調(diào)心理學(xué)的意義：強(qiáng)調(diào)心理學(xué)的意義：數(shù)學(xué)元認(rèn)知、數(shù)學(xué)直覺等數(shù)學(xué)元認(rèn)知、數(shù)學(xué)直覺等567第二章第二章 數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本方法數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本方法 數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是以提出問題和解決問題為主要標(biāo)志的，這方面的能力又是衡量一個人數(shù)學(xué)水平的重要標(biāo)志。 提高發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力，已經(jīng)成為老師教好數(shù)學(xué)，學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的重要環(huán)節(jié)，也是研究數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)必不可少的技能。81.1.觀察法觀察法u為什么發(fā)現(xiàn)“萬有引力”的人是牛頓？u假如穿越時空，你能發(fā)現(xiàn)“勾股定理”嗎？u為什么費(fèi)馬能提

4、出“費(fèi)馬大定理”，而證明這定理的人是維爾斯？91.1.觀察法觀察法 觀察，即仔細(xì)看，在心理學(xué)上，觀察被看成是一種有目的、有計劃、有步驟的感知活動，是一種主動的，對思維有積極作用的感知活動。10多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家歐拉：1.1.觀察法觀察法11多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家歐拉： 在被稱為純粹數(shù)學(xué)的那部分?jǐn)?shù)學(xué)中，觀察無疑占有極重要的地位1.1.觀察法觀察法12例子：1.1.觀察法觀察法13例子：1.1.觀察法觀察法142.2.聯(lián)想聯(lián)想152.2.聯(lián)想聯(lián)想聯(lián)想思維的三個主場部分聯(lián)想思維的三個主場部分某種概念相關(guān)概念2相關(guān)概念1聯(lián)想因素聯(lián)想效應(yīng)聯(lián)想線路16聯(lián)想的方法聯(lián)想的方法l接近聯(lián)想（形似聯(lián)想） 主要有概念、原來、法則的接

5、近而產(chǎn)生的聯(lián)想。它是由命題的已知條件與結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到相關(guān)的定義、定理、公式或圖形等。zxyzyyxxz2, 0)(4. 12證明）若（例2.2.聯(lián)想聯(lián)想.3,. 2222nnncbancbacba的自然數(shù)，求證：為不小于又式均為正數(shù)，且滿足關(guān)系已知例17聯(lián)想的方法聯(lián)想的方法l類比聯(lián)想（對比聯(lián)想） 主要根據(jù)問題的具體情況，從具有類似或相似特點(diǎn)的數(shù)、式、圖形以及相近的內(nèi)容和性質(zhì)等進(jìn)行聯(lián)想。2.2.聯(lián)想聯(lián)想18聯(lián)想的方法聯(lián)想的方法l關(guān)系聯(lián)想 是根據(jù)知識之間的從屬關(guān)系、一般關(guān)系、因果關(guān)系以及其內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行的一種聯(lián)想。 例如，看到一個問題，聯(lián)想到它屬于什么類型和一般用什么方法來求解，有一個一般問題聯(lián)想

6、到特殊情形，有一個題設(shè)條件聯(lián)想到它的推論等等。2.2.聯(lián)想聯(lián)想19聯(lián)想的方法聯(lián)想的方法l關(guān)系聯(lián)想2.2.聯(lián)想聯(lián)想204.逆向聯(lián)想 逆向聯(lián)想是指從問題的正面想到問題的反面。在解題方法上表現(xiàn)為反面解法、倒推法等間接方法，在證明上表現(xiàn)為反證法、同一法等間接證法。214.逆向聯(lián)想.14,10,. 5pppp是素數(shù)，求已知例22. 6，則兩三角形相等分線和對應(yīng)邊對應(yīng)相等角對應(yīng)相等，該角的平如果兩個三角形有一個例4.逆向聯(lián)想235.橫向聯(lián)想：是指數(shù)學(xué)各分支之間，乃至數(shù)學(xué)與物理、化學(xué)等學(xué)科之間的聯(lián)想，各種知識之間有著一定的聯(lián)想和相互滲透，這就為橫向聯(lián)想提供了可能條件。. 7這點(diǎn)稱為三角形的重心于一點(diǎn)，證明三

7、角形三條中線交例245.橫向聯(lián)想. 7心一點(diǎn)，稱為三角形的重證三角形三條中線交于例證明:用平面幾何和解析幾何的方法證較繁雜，故考慮用重心原理來證明。25三、聯(lián)想能力的培養(yǎng)三、聯(lián)想能力的培養(yǎng)1.重視基礎(chǔ)知識，注意知識系統(tǒng)化 掌握知識越豐富，理解知識間的縱橫關(guān)系越多，聯(lián)想就能在更廣闊的領(lǐng)域中展開。回憶到或搜索到的有關(guān)知識就越多，對已經(jīng)學(xué)過的概念、定理、公式、法則以及數(shù)學(xué)思想方法理解得越透，掌握得越牢固，越系統(tǒng)，解題經(jīng)驗(yàn)越豐富，聯(lián)想就越暢通，越有效。262.“控制聯(lián)想”和“自由聯(lián)想”要雙管齊下 控制聯(lián)想：指有目的、有方向且受一定條件限制的聯(lián)想。 自由聯(lián)想：指從多方向、多角度、多層次進(jìn)行的聯(lián)想，有助于

8、提高聯(lián)想的廣度和深度。 只有雙管齊下，才能使解題思路開闊，巧法頻生，醞釀出多種不同的解題策略和思路。272.“控制聯(lián)想”和“自由聯(lián)想”要雙管齊下.,. 922222znmnymxzyxnmzyx求證：均為正實(shí)數(shù)，且、已知例28.,. 922222znmnymxzyxnmzyx求證：均為正實(shí)數(shù)，且、已知例29.,. 922222znmnymxzyxnmzyx求證：均為正實(shí)數(shù)，且、已知例303.運(yùn)用聯(lián)想把問題引申推廣313.運(yùn)用聯(lián)想把問題引申推廣323.運(yùn)用聯(lián)想把問題引申推廣333 3嘗試嘗試 嘗試：就是將初步意向付諸實(shí)施，試探是否可行，是否有進(jìn)展，是否可以接近目標(biāo)，是否能縮小解答所在的范圍等等。

9、 通過對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行觀察、聯(lián)想，從整體上把握問題，形成初步的策略（解決問題的想法、方向以及解答范圍等）。341.從簡單入手：首先考慮符合題意的最簡單情形，嘗試找出這種情形的解法，然后過渡到一般情形。一、簡單化，化難為易線上。所表示的曲線系每一曲于方程上找出這樣的點(diǎn)，它位為任意實(shí)數(shù)，試在平面、例0)2(422. 122nmnymxyxnm35線上。所表示的曲線系每一曲于方程上找出這樣的點(diǎn)，它位為任意實(shí)數(shù)，試在平面、例0)2(422. 122nmnymxyxnm1.從簡單入手362.將復(fù)雜的問題分解成幾個簡單問題. 0)(1)(. 22510afaaaaaaf都有，求對于一切實(shí)數(shù)設(shè)例 復(fù)雜綜合的問

10、題，往往由一些比較簡單的問題巧妙地糅合而成，要善于觀察，分解成幾個小問題，各個擊破后再綜合起來。37. 0)(1)(. 22510afaaaaaaf，都有，求對于一切實(shí)數(shù)設(shè)例381.分析特例，尋找啟示二、特殊化，尋找突破口392.利用特例奠定基礎(chǔ).21. 4AHOMMBCHOABC，求證：中心為，垂心為外心為如圖，設(shè)例403.使用特例，完善解題., 0)sin61 ()sin1 (2)sin1 (2. 522222經(jīng)過定點(diǎn)坐標(biāo)證明：圓系例yxyx411.變易論題三、變換角度，選擇主攻方向422.數(shù)形轉(zhuǎn)換(數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休-華羅庚)三、變換角度，選擇主

11、攻方向., 412. 7baxbaxx求的解集是已知不等式例433.橫向求索：采用那些看來與題目不“相關(guān)”的其他數(shù)學(xué)分支內(nèi)容進(jìn)行“旁敲側(cè)擊”。三、變換角度，選擇主攻方向（相對于縱向追溯而言：按照知識系統(tǒng)，回顧和使用題意所涉及范圍的內(nèi)容）443.橫向求索453.橫向求索461.倒推法：問題發(fā)生順序倒置，逆推還原。四、逆反轉(zhuǎn)換，靈活解題逆反轉(zhuǎn)換：順推不行，考慮逆推；直接解決不易，考慮間接解決；正面困難，考慮反面。例9.（歐洲古代數(shù)學(xué)趣題）有一籃李子不知其數(shù)，分給甲一半又一個，分給乙剩下的一半又一個，分給丙剩下的一半又三個，李子剛好分完，問原有李子多少個？471.倒推法例9.（歐洲古代數(shù)學(xué)趣題）有一籃李子不知其數(shù)，分給甲一半又一個，分給乙剩下的一半又一個，分給丙剩下的一半又3個，李子剛好分完，問原有李子多少個？48四、逆反轉(zhuǎn)換，靈活解題2.反客為主：問題元素主次倒置。. 013332.1023xxx解方程例494.4.實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)p實(shí)驗(yàn)：是人們根據(jù)科學(xué)研究的目的，運(yùn)用一定的研究手段（器具、儀器或科研設(shè)備），在人為控制、變革或模擬客觀對象的條件下，通過觀察獲得感性經(jīng)驗(yàn)和科學(xué)