1、第二部分一、一、 變力沿直線所作的功變力沿直線所作的功二、二、 液體的側壓力液體的側壓力三、三、 引力問題引力問題四、四、 轉動慣量轉動慣量定積分在物理學上的應用 一、一、 變力沿直線所作的功變力沿直線所作的功設物體在連續變力 f(x) 作用下沿 x 軸從 xa 移動到,bx 力的方向與運動方向平行, 求變力所做的功 .xabxxxd，上任取子區間在d,xxxba在其上所作的功元素為xxfwd)(d因此變力f(x) 在區間 ,ba上所作的功為baxxfwd)(例例1.一個單求電場力所作的功 . qorabrrdr 11解解: 當單位正電荷距離原點 r 時,由庫侖定律庫侖定律電場力為2rqkf

2、則功的元素為rrqkwdd2所求功為barrqkwd2rqk1ab)11(baqk說明說明:處的電勢為電場在ar arrqkd2aqk位正電荷沿直線從距離點電荷 a 處移動到 b 處 (a b) , 在一個帶 +q 電荷所產生的電場作用下, s例例2.體, 求移動過程中氣體壓力所ox解解:由于氣體的膨脹, 把容器中的一個面積為s 的活塞從點 a 處移動到點 b 處 (如圖), 作的功 .ab建立坐標系如圖.xxdx 由波義耳馬略特定律知壓強 p 與體積 v 成反比 , 即,sxkvkp 功元素為wdxfdxxkd故作用在活塞上的spfxk所求功為baxxkwdbaxk lnabkln力為在底面

3、積為 s 的圓柱形容器中盛有一定量的氣 例例3.試問要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解解: 建立坐標系如圖.oxm3xxxdm5在任一小區間d,xxx上的一薄層水的重力為gxd32這薄層水吸出桶外所作的功(功元素功元素)為wdxxdg9故所求功為50wxxdg9g922xg5 .112( kj )設水的密度為05(kn)一蓄滿水的圓柱形水桶高為 5 m, 底圓半徑為3m, 面積為 a 的平板二、液體側壓力二、液體側壓力設液體密度為 深為 h 處的壓強: hpgh當平板與水面平行時, app 當平板不與水面平行時,所受側壓力問題就需用積分解決 .平板一側所受的壓力為小窄條上各點的壓強xpg3

4、3g2r例例4. 的液體 , 求桶的一個端面所受的側壓力. 解解: 建立坐標系如圖. 所論半圓的22xry)0(rx 利用對稱性 , 側壓力元素rp0 xxrxdg222oxyrxxxd222xr pdxg端面所受側壓力為xd方程為一水平橫放的半徑為r 的圓桶,內盛半桶密度為 0arcsin22g4222rrxrxrxr,d222xxr 說明說明: 當桶內充滿液體時, )(gxr 小窄條上的壓強為側壓力元素pd故端面所受側壓力為rrxxrxrpd)(g222奇函數奇函數3gr)(gxr rxxrr022dg4trxsin令oxyrxxxd三、三、 引力問題引力問題質量分別為21, mm的質點

5、, 相距 r ,1m2mr二者間的引力 :大小:221rmmkf 方向:沿兩質點的連線若考慮物體物體對質點的引力, 則需用積分解決 .例例5. 設有一長度為 l, 線密度為 的均勻細直棒,其中垂線上距 a 單位處有一質量為 m 的質點 m,m該棒對質點的引力.解解: 建立坐標系如圖.y2l2l,dxxx細棒上小段對質點的引力大小為 dkf xm d22xa 故垂直分力元素為cosddffya22dxaxmk22xaa23)(d22xaxamkaxox在試計算fdxfdyfdxxd利用對稱性利用對稱性223022)(d2lxaxamkfy02222lxaaxamk22412laalmk棒對質點引

6、力的水平分力.0 xf22412llmkfaa故棒對質點的引力大小為2lfdxfdyfdmy2laoxxxxd棒對質點的引力的垂直分力為 y2l2laoxxxdx說明說明:amk22) 若考慮質點克服引力沿 y 軸從 a 處1) 當細棒很長時,可視 l 為無窮大 ,此時引力大小為方向與細棒垂直且指向細棒 .移到 b (a b) 處時克服引力作的功,bybalyyylmkw224d222412llmkyywdyd則有loxyacosdfyfd23)(d22xaxamkxfd23)(d22xaxxmklyxaxamkf02223)(dlxxaxxmkf02223)(d引力大小為22yxfff22d

7、dxaxmkfxxxdxfdyfdsindf注意正負號3) 當質點位于棒的左端點垂線上時, 四、轉動慣量四、轉動慣量質量為 m 的質點關于軸 l 的轉動慣量為l2rmi 的質點系),2, 1(,nimrlii質量為的距離為與軸21iniirmi若考慮物體物體的轉動慣量 , 則需用積分解決 .r關于軸 l 的轉動慣量為m例例6. 求圓盤對通過中心與其垂直的軸的轉動慣量 ; 求圓盤對直徑所在軸的轉動慣量 .解解: 建立坐標系如圖.設圓盤面密度為 .的對應于d,xxx小圓環質量xx d2對應于d,xxx的小圓環對軸 l 的轉動慣量為xxid2d3故圓盤對軸 l 的轉動慣量為rxxi03d2421r2

8、21rmlroxxxxd)(2rmo設有一個半徑為 r , 質量為 m 的均勻圓盤 , oxryxxxd平行 y 軸的細條的對應于d,xxx關于 y 軸的轉動慣量元素為yid細條質量:y2xdxxyd22xxrxd2222故圓盤對y 軸的轉動慣量為yixxrxrrd2222xxrxrd42202)sin(trx 令tttrdcossin422402441r)(2rm241rm 取旋轉軸為 y 軸, 建立坐標系如圖.內容小結內容小結(1) 先用微元分析法求出它的微分表達式 dq一般微元的幾何形狀有:扇扇、片片、殼殼 等.(2) 然后用定積分來表示整體量 q , 并計算之. 1.用定積分求一個分布

9、在某區間上的整體量 q 的步驟:2.定積分的物理應用:變力作功 , 側壓力 , 引力, 轉動慣量等.條條、段段、環環、帶帶、(99考研)思考與練習思考與練習提示提示: 作 x 軸如圖.ox30 xxd1.為清除井底污泥, 用纜繩將抓斗放入井底, 泥后提出井口,纜繩每在提升過程中污泥以20n /s 的速度從抓斗縫隙中漏掉,現將抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000n ,提升速度為3m /s , 問克服重力需作多少焦耳( j ) 功?已知井深30 m , 抓斗自重400n , 將抓起污泥的抓斗由抓起污x 提升 dx 所作的功為 米重50n ,提升抓斗中的污泥:井深 30 m, 抓斗自重

10、 400 n, 纜繩每米重50n, 抓斗抓起的污泥重 2000n, 提升速度為3ms, 污泥以 20ns 的速度從抓斗縫隙中漏掉ox30 xxdxwd400d1克服纜繩重:xxwd)30(50d2抓斗升至 x 處所需時間 :) s (3x(j)91500 xxwxd)202000()30(504003300 xwxd)202000(d33321ddddwwww克服抓斗自重: xyoab2. 設星形線taytax33sin,cos上每一點處線密度的大小等于該點到原點距離的立方,提示提示: 如圖.2222d)(d23yxsyxkfsyxkd)(2122cosddffxsyxxyxkd)(222221sxkdsinddffysykd),(yxsd在點o 處有一單 位質點 ,求星形線在第一象限的弧段對這質點的引力.同理takfx203costttattadcossin3)sin(cos32222tttkadsincos32042253ak253akfy故星形線在第一象限的弧段對該質點的2253akf xfd,dsxkyfdsykd;sin,cos33taytaxxyoab),(yxsd引力大小為銳角 取多大時, 薄板所受的壓力 p 最大 .備用題備用題斜邊為定長的直角三角形薄板, 垂直放置于解解: 選取坐標系如圖. 設斜邊長為 l ,水中, 并使一直角邊與水面