1、概率的運算法則概率的運算法則2. 條件概率條件概率3. 乘法公式乘法公式5. 全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式內容提要內容提要4. 事件的獨立性事件的獨立性 1. 概率的加法概率的加法。)()()()(ABPBPAPBAPSAB返回主目錄對任意的兩個事件對任意的兩個事件A，B概率的加法公式概率的加法公式()( )( )( )P ABCP AP BP C推論2）若）若A,B,C為兩兩互不相容的事件，則為兩兩互不相容的事件，則1）當事件）當事件A，B互不相容時互不相容時()( )( )P ABP AP B3）若）若A1，A2,An為兩兩互不相容的事件，則為兩兩互不相容的事件，則1212

2、(.)()().()nnP AAAP AP AP A4）事件）事件 為互相對立事件為互相對立事件( )1( )P AP A 3）若）若A1，A2,An為完備事件組，則為完備事件組，則1212()().()(.)1nnP AP AP AP AAA,A A5) 若事件若事件A B,則則P(A-B)=P(A)-P(B) 例例1n盒中有盒中有32只紅球只紅球, 4只白球只白球,從中任取從中任取2支支,求求: 至少有至少有1只白球的概率只白球的概率.n解：解：P(恰好恰好1只白球只白球)=P(A) =2032. 0/23613214CCC0095. 023624CCP(恰好恰好2只白球只白球)=P(B)

3、 =P(至少至少1只白球只白球)=P(A+B) =P(A)+P(B) =0.2032+0.0095 =0.2127解法解法2:2:2127.01)(1)(236232CCDPDP例例2 2 小王參加小王參加“智力大沖浪智力大沖浪”游戲游戲, , 他能答他能答出甲、乙二類問題的概率分別為出甲、乙二類問題的概率分別為0.70.7和和0.2,0.2, 兩類問題都能答出的概率為兩類問題都能答出的概率為0.1. 0.1. 求小王求小王解解 事件事件A,BA,B分別表示分別表示“能答出甲能答出甲, ,乙類問題乙類問題”(1)6 . 01 . 07 . 0)()()(ABPAPBAP(1) (1) 答出甲類

4、而答不出乙類問題的概率答出甲類而答不出乙類問題的概率 (2) (2) 至少有一類問題能答出的概率至少有一類問題能答出的概率 (3) (3) 兩類問題都答不出的概率兩類問題都答不出的概率(2)8 . 0)()()()(ABPBPAPBAP(3)2 . 0)()(BAPBAP 在解決許多概率問題時，往往需要在在解決許多概率問題時，往往需要在某些附加信息某些附加信息(條件條件)下求事件的概率下求事件的概率.如在事件如在事件發生的條件下求事件發生的條件下求事件發發生的概率，將此概率記作生的概率，將此概率記作P(|). 一般一般 P(|) P() ， 那么那么 P(|) ？ 條件概率條件概率 光明玩具廠

5、光明玩具廠-有職工有職工500人，男女各半，人，男女各半，男女職工中非熟練工人分別為男女職工中非熟練工人分別為40人與人與10人，現人，現從該廠任取一人，問：從該廠任取一人，問：1）改職工時非熟練工人的概率是多少？）改職工時非熟練工人的概率是多少？2）若已知選出的是女職工，）若已知選出的是女職工， 她是非熟練工人她是非熟練工人的概率是多少？的概率是多少？ A B=設選出的工人是非熟練工人選出的工人是女職工例例 1501) ( )0.1,500102(|0.04250P AP A B）解：解： 將一枚硬幣拋擲兩次將一枚硬幣拋擲兩次 ,觀察其正反面發生觀察其正反面發生情況。情況。設設 A= “至少

6、有一次為正面至少有一次為正面”, B=“兩次擲出同一面兩次擲出同一面”. 現在來求已知事件現在來求已知事件A 已經發生的條件下事已經發生的條件下事件件 B 發生的概率發生的概率.分析分析 , , , .HH HT TH TT( )21( ).( )42N BP BN. , 為反面為反面為正面為正面設設TH例例 2,TTHHBTHHTHHA ( )3( ),( )4N AP AN易知易知,)(？考考慮慮 ABP )(ABP).(BP )()(ANABN 在已知在已知發生的條件下考慮發生的條件下考慮，樣本空間減縮為，樣本空間減縮為,AHH HT TH 而而 中只有一個樣本點中只有一個樣本點,BHH

7、 故故()()N ABN31 ()( )(|)( )( )N ABNP B AN A N.)()(APABP . 1)( ABN即即易知易知)()()(BPABPBAP 同理可得同理可得為事件為事件 B 發生的條件下事件發生的條件下事件 A 發生的條件概率發生的條件概率.)()()(, 0)(,條件概率條件概率發生的發生的發生的條件下事件發生的條件下事件為在事件為在事件稱稱且且是兩個事件是兩個事件設設BAAPABPABPAPBA (2) 定義定義,0)(時時 BP例例 某種動物由出生算起活某種動物由出生算起活20歲以上的概率為歲以上的概率為0.8, 活到活到25歲以上的概率為歲以上的概率為0.

8、4, 如果現在有一個如果現在有一個20歲的這種動物歲的這種動物, 問它能活到問它能活到25歲以上的概率是歲以上的概率是多少多少? 設設 A =“ 能活能活 20 歲以上歲以上 ” 的事件，的事件， B= “ 能活能活 25 歲以上歲以上”的事件的事件,則所求概率為則所求概率為, 8 . 0)( AP因為因為.)()()(APABPABP , 4 . 0)( BP),()(BPABP .218 . 04 . 0 )()()(APABPABP 所以所以解解).()(.)()()()(12122112112121 nnnnnAAAAPAAAAPAAAPAAPAPAAAP則有則有且且, 0)(121

9、nAAAP, 2,:221 nnAAAn個事件個事件為為設設推廣推廣則有則有且且為事件為事件設設推廣推廣, 0)(,:121321 AAPAAA).()()()(213121321AAAPAAPAPAAAP ).()()(, 0)(BPBAPABPBP 則有則有設設乘法公式乘法公式例例3 設某光學儀器廠制造的透鏡設某光學儀器廠制造的透鏡, 第一次落下時第一次落下時打破的概率為打破的概率為1/2,若第一次落下未打破若第一次落下未打破, 第二次落第二次落下打破的概率為下打破的概率為7/10 , 若前兩次落下未打破若前兩次落下未打破, 第三第三次落下打破的概率為次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落

10、下三次而未試求透鏡落下三次而未打破的概率打破的概率.解解以以B 表示事件表示事件“透鏡落下三次而未打破透鏡落下三次而未打破”.,321AAAB 因為因為)()(321AAAPBP 所以所以)()()(213121AAAPAAPAP )1091)(1071)(211( .2003 ,)3 , 2 , 1(次次落落下下打打破破透透鏡鏡第第表表示示事事件件以以iiAi n引例：華夏保安公司有行政管理人員引例：華夏保安公司有行政管理人員100名，其中年輕名，其中年輕人人40名，該公司規定每天從所有行政人員中隨機挑選名，該公司規定每天從所有行政人員中隨機挑選一人為當天值班人員，且不論其是否前一天剛好值過

11、一人為當天值班人員，且不論其是否前一天剛好值過班，現計算下列兩個事件的概率。班，現計算下列兩個事件的概率。n1）已知第一天選出的是年輕人，）已知第一天選出的是年輕人， 第二天選出的也是第二天選出的也是年輕人的概率；年輕人的概率；n2）第二天選出的是年輕人的概率。）第二天選出的是年輕人的概率。解解: 設設A=第一天選出的是年輕人第一天選出的是年輕人 B=第二天選出的是年輕人第二天選出的是年輕人事件的相互獨立性事件的相互獨立性4040(|), ( ) (|)( )100100P A BP BP A BP B.,)()()(,獨立獨立簡稱簡稱相互獨立相互獨立則稱事件則稱事件如果滿足等式如果滿足等式是

12、兩事件是兩事件設設BABABPAPABPBA 事件事件 A 與與 事件事件 B 相互獨立相互獨立,是指事件是指事件 A 的的發生與事件發生與事件 B 發生的概率無關發生的概率無關.說明說明 （2）定義定義事件的相互獨立性事件的相互獨立性兩事件相互獨立兩事件相互獨立)()()(BPAPABP 兩事件互斥兩事件互斥 AB,21)(AP若例如例如兩事件相互獨立與兩事件互斥的關系兩事件相互獨立與兩事件互斥的關系.請同學們思考請同學們思考二者之間沒二者之間沒有必然聯系有必然聯系A兩事件相互獨立兩事件相互獨立)()()(BPAPABP 兩事件互斥兩事件互斥 ABAB例如例如兩事件相互獨立與兩事件互斥的關系

13、兩事件相互獨立與兩事件互斥的關系.請同學們思考請同學們思考二者之間沒二者之間沒有必然聯系有必然聯系,21)(,21)( BPAP若若兩事件相互獨立兩事件相互獨立)()()(BPAPABP 兩事件互斥兩事件互斥 ABA,21)(,21)( BPAP若若B).()()(BPAPABP 則則例如例如由此可見由此可見兩事件兩事件相互獨立，相互獨立，但兩事件但兩事件不互斥不互斥.兩事件相互獨立與兩事件互斥的關系兩事件相互獨立與兩事件互斥的關系.請同學們思考請同學們思考二者之間沒二者之間沒有必然聯系有必然聯系ABAB21)(,21)( BPAP若若. )()()(BPAPABP 故故由此可見由此可見兩事件

14、兩事件互斥互斥但但不獨立不獨立., 0)( ABP則則,41)()( BPAPA，B互斥互斥（3）三事件兩兩相互獨立的概念）三事件兩兩相互獨立的概念.,),()()(),()()(),()()(,兩兩相互獨立兩兩相互獨立則稱事件則稱事件如果滿足等式如果滿足等式是三個事件是三個事件設設定義定義CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 注意注意三個事件相互獨立三個事件相互獨立三個事件兩兩相互獨立三個事件兩兩相互獨立（4）三事件相互獨立的概念）三事件相互獨立的概念.,),()()()(),()()(),()()(),()()(,相互獨立相互獨立則稱事件則稱事件如果滿足等式如果滿足等式是

15、三個事件是三個事件設設定義定義CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA ),()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP .,21為相互獨立的事件為相互獨立的事件則稱則稱nAAAn 個事件相互獨立個事件相互獨立n個事件兩兩相互獨立個事件兩兩相互獨立具有等式具有等式任意任意如果對于任意如果對于任意個事件個事件是是設設,1),1(,2121niiinkknAAAkn 推廣推廣12,(2),(2).nA AAnkkn注意： 若事件相互獨立 則其中任意個事件也是相互獨立證明證明)()()(APABPABP )()()()(BPAPBPAP ).()(BP

16、ABP .).()(,. 0)(,反之亦然反之亦然則則互獨立互獨立相相若若且且是兩事件是兩事件設設BPABPBAAPBA 定理定理必要性必要性充分性充分性)()()(BPAPABP 由由).()(BPABP 由由)()()|()(BPAPABPAP )()()(BPAPABP .,也相互獨立也相互獨立與與與與與與則下列各對事件則下列各對事件相互獨立相互獨立若若BABABABA 定理定理例例 觀察表明，觀察表明， 一家醫院的掛號處，新到者是一一家醫院的掛號處，新到者是一急診病人的概率是急診病人的概率是1/6.求第求第 r 個到達的病人為首個到達的病人為首例急診病人的概率例急診病人的概率.設各到達

17、的病人是否為急診設各到達的病人是否為急診病人相互獨立病人相互獨立. 1,2, irDiiAr解記為“第 個到達者為急診病人”，為“第 個到達者為首例急診病人”，rrrDDDDA121 則則.61)611()()()()()(1121 rrrrDPDPDPDPAP例題講解例題講解例例 某一治療方法對一個病人有效的概率為某一治療方法對一個病人有效的概率為0.9 ，今對今對3個病人進行了治療，求對個病人進行了治療，求對3個病人的治療個病人的治療中，至少有一人是有效的概率中，至少有一人是有效的概率.設對各個病人的設對各個病人的治療效果是相互獨立的治療效果是相互獨立的.“3,1,iAAi解設對 個病人治

18、療中 至少 人有效的“對第 個人有效”則)(1)(APAP 31 (1 0.9)0.999 )(1321AAAP )(1)(1)(1(1321APAPAP )(321AAAP ,(1 2),.p p 甲、乙兩人進行乒乓球比賽 每局甲勝的概率為問對甲而言 采用三局二勝制有利 還是采用五局三勝制有利 設各局勝負相互獨立例例解解,甲最終獲勝甲最終獲勝采用三局二勝制采用三局二勝制:勝局情況可能是勝局情況可能是“甲甲甲甲”, “乙乙甲甲甲甲”,“甲甲乙乙甲甲”;,容容由于這三種情況互不相由于這三種情況互不相:獲勝的概率為獲勝的概率為于是由獨立性得甲最終于是由獨立性得甲最終).1(2221pppp ,3,

19、局局至至少少需需比比賽賽甲甲最最終終獲獲勝勝采采用用五五局局三三勝勝制制.,局局而而前前面面甲甲需需勝勝二二且且最最后后一一局局必必需需是是甲甲勝勝,比比賽賽四四局局例例如如:則則甲甲的的勝勝局局情情況況可可能能是是“甲甲乙乙甲甲甲甲”,“乙乙甲甲甲甲甲甲”,“甲甲甲甲乙乙甲甲”;,容容由于這三種情況互不相由于這三種情況互不相:,甲甲最最終終獲獲勝勝的的概概率率為為在在五五局局三三勝勝制制下下.)1(24)1(2323332pppppp :且由獨立性得)312156(23212 pppppp由于由于).12()1(322 ppp;,2112ppp 時時當當.21,2112 ppp時時當當. ,

20、21制有利制有利對甲來說采用五局三勝對甲來說采用五局三勝時時故當故當 p. 21,21都都是是相相同同的的概概率率是是兩兩種種賽賽制制甲甲最最終終獲獲勝勝的的時時當當 p121212,(i), ,1,2, ;(ii).,.nijnnEB BBEB Bij i jnBBBB BB 定義設為試驗 的樣本空間為的一組事件 若則稱為樣本空間的一個劃分(1) 完備事件組（完備事件組（樣本空間的劃分）樣本空間的劃分）1B2B3B1 nBnB全概率公式全概率公式21 有三個罐子有三個罐子,1號裝有號裝有 2 紅紅 1 黑球黑球 , 2號裝有號裝有 3 紅紅 1 黑球，黑球，3號裝有號裝有 2 紅紅 2 黑球

21、黑球. 某人從中隨機取某人從中隨機取一罐，再從中任意取出一球，一罐，再從中任意取出一球，求取得紅球的概率求取得紅球的概率.3引例：引例： 如何求取得紅球的概率？如何求取得紅球的概率？(2) 全概率公式全概率公式全概率公式全概率公式121122,()0(1, 2, ),( )() ()() ()() ()ninnEAEB BBP BinP AP A B P BP A BP BP A BP B定理設試驗的樣本空間為為的事件為的一個劃分 且則 jiBB由由 )(jiABAB)()()()(21nABPABPABPAP 圖示圖示A1B2B3B1 nBnB證明證明12()nAAABBB .21nABAB

22、AB ).()()()()()(2211nnBPBAPBPBAPBPBAP 化整為零各個擊破它可以將一個復雜它可以將一個復雜事件的概率計算問事件的概率計算問題題,分解為若干個分解為若干個簡單事件的概率計簡單事件的概率計算問題算問題,最后應用最后應用概率的可加性求出概率的可加性求出最終結果最終結果.21解解 記記 Bi = 球取自球取自 i 號罐號罐 i=1, 2, 3; A = 取得紅球取得紅球 有三個罐子有三個罐子,1號裝有號裝有 2 紅紅 1 黑球黑球 , 2號裝有號裝有 3 紅紅 1 黑球，黑球，3號裝有號裝有 2 紅紅 2 黑球黑球. 某人從中隨某人從中隨機取一罐，再從中任意取出一球，

23、機取一罐，再從中任意取出一球，求取得求取得紅球紅球的概率的概率.31)|()()(yiiiBAPBPAP由全概率公式得代入數據計算得：代入數據計算得：P( (A) ) 0.639 . 3再看引例再看引例 依題意依題意: P(A|B1)=2/3, P(A|B2 )=3/4,P(A|B3 )=1/2,3/1)(iBP例： 甲、乙、丙三車間的次品率分別為甲、乙、丙三車間的次品率分別為1%，1.5%，2%，且全廠各車間產品所占比例為，且全廠各車間產品所占比例為25%，35%，40%，求全廠的次品率？，求全廠的次品率？解：設設Ai (I=1,2,3):分別為抽得甲、乙、丙三車間的產品分別為抽得甲、乙、丙

24、三車間的產品 B：表示抽到次品。：表示抽到次品。則：P（B）niiiABPAP1)()(%2%40%5 . 1%35%1%25%6 . 1引例：引例：某人從任一罐中任意摸出一球，發現某人從任一罐中任意摸出一球，發現是紅球，求該球是取自是紅球，求該球是取自 1號罐的概率號罐的概率.213這是這是“已知結果求原已知結果求原因因”的問題是求一個條的問題是求一個條件概率件概率.下面就介紹為解決這類問題而引出的下面就介紹為解決這類問題而引出的 Bayes( (貝葉斯貝葉斯) )公式公式Bayes(貝葉斯貝葉斯)公式公式稱此為稱此為貝葉斯公式貝葉斯公式.121.,( )0,()0,(1,2, ),() (

25、)(),1,2, .() ()niiiinjjjEAEBBBP AP BinP A B P BP B AinP A BP B定理設試驗的樣本空間為為的事件為的一個劃分 且則 (3) 貝葉斯公式貝葉斯公式貝葉斯資料貝葉斯資料證明證明)()()(APABPABPii ,)()()()(1 njjjiiBPBAPBPBAP., 2 , 1ni 該公式于該公式于1763年由貝葉斯年由貝葉斯(Bayes)給出給出. 它是在觀察到事件它是在觀察到事件B已發生的條件下，尋找導已發生的條件下，尋找導致致B發生的每個原因的概率發生的每個原因的概率.某人從任一罐中任意摸出一球，發現某人從任一罐中任意摸出一球，發現

26、是紅球，求該球是取自是紅球，求該球是取自 1號罐的概率號罐的概率.再看引例再看引例 21解解 記記 Bi = 球取自球取自 i 號罐號罐 i=1, 2, 3; A = 取得紅球取得紅球 B1,B2,B3是樣本空間的一個劃分是樣本空間的一個劃分 31)|()()()|()|(iiiBAPBPBPBAPABP由由貝貝葉葉斯斯公公式式得得代入數據計算得：代入數據計算得：3其中其中P(A|B1)=2/3, P(A|B2 )=3/4,P(A|B3 )=1/2,P(Bi)=1/3,i=1,2,3， )|(ABP0.3478;,)1.,05. 080. 015. 003. 001. 002. 0321:.概概率率求求它它是是次次品品的的元元件件在在倉倉庫庫中中隨隨機機地地取取一一只只無無區區別別的的標標志志且且倉倉庫庫中中是是均均勻勻混混合合的的設設這這三三家家工工廠廠的的產產品品在在提提供供元元件件的的份份額額次次品品率率元元件件制制造造廠廠的的數數據據根根據據以以往往的的記記錄錄有有以以下下件件制制造造廠廠提提供供的的的的元元件件是是由由三三家家元元某某電電子子設設備備制制造造廠廠所所用用例例.