1、小學奧數(shù)難題匯編50道精選 (二) （11-20）11.特殊值有些數(shù)學題，按一般思路不易求解，若從給出的特殊值入手，緊扣條件和問題之間的聯(lián)系，將會優(yōu)化解題思路，很快找到解題捷徑。例1 如圖，梯形abcd被它的一條對角線bd分為兩部分，sdbc比sabd大10cm2。bc與ad的和為5cm，差為5cm，求s梯?一般是借助“輔助線”解。其實只要仔細分析題意，利用給出的特殊條件可簡捷求解。底，它們等高，由bc=2ad，知bdc=2abd。所以s梯=10(2+1)=30(cm)。例2 設直角三角形的兩條直角邊分別為6厘米和8厘米，用四個這樣的直角三角形拼成如圖所示正方形，求大正方形的邊長。此題用勾股定

2、理求解10。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，大正方形和陰影部分小正方形的面積是條件和問題的聯(lián)系紐帶。小正方形的邊長為直角三角形兩條直角邊之差8-6=2(cm)，大正方形面積為四個直角三角形的面積和小正方形面積的和。1/2864+(8-6)2=100(cm2)。這個面積是一個特殊值100=1010，所以大正方形的邊長為10cm。例3 四個一樣的長方形和一個小的正方形拼成了一個大正方形(如圖)大正方形的面積是49平方米，小正方形面積是4平方米。問長方形的短邊長度是幾米?(第一屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學邀請賽復賽題)因為 4=22， 49=77，所以小正方形邊長2cm，大正方形邊長7cm。長方形長寬之和為7cm，差

3、為2cm，即從而可求得，寬為2.5cm。例4 1992年奧林匹克決賽題：一個正方形(如圖)，被分成四個長方形，他們的面積分別是圖中陰影部分是一個正方形，那么它的面積是多少平方米。大正方形邊長為1米。仔細觀察還可發(fā)現(xiàn)小正方形的邊長與長方形、的長和寬有關。只要求出的長和的寬即可求得小正方形的邊長了。12.特殊結論有些題目按照一般的思考方法解答，或者較麻煩，或者不能獲得正確答案。用特殊結論解題，思路清楚，方法簡便。例1 周長為28cm的長方形，如果長和寬都增加1cm，這個長方形的面積增加多少?增加部分的面積=(半周長+增加數(shù))增加數(shù)。分析示意圖，不難發(fā)現(xiàn)。(282+1)1=15(cm2)例2 周長為

4、28cm的長方形，長增加1cm，寬增加2cm，面積增加24cm2，求原長方形的面積。思路一：假設長和寬都增加1cm，根據(jù)以上結論，這個長方形的面積增加：(282+1)1=15(cm2)，因實際寬比假設多增加1cm，而面積多增加24-15=9(cm2)如圖，所以原長方形的長為91-1=8(cm)。寬為 282-8=6(cm)。面積是86=48(cm2)思路二：假設長和寬都增加2cm，根據(jù)以上結論，面積增加：與題給條件24cm2相差8cm2這是因為長沒增加2cm，只增加1cm，假設比實際多的部分的面積如圖中陰影部分的面積。所以，原長方形的寬為81-2=26(cm)，長為282-6=8(cm)。面積

5、為86=48(cm2)例3 如圖，已知s陰影=6.28cm2，求空白部分的圓面積。s圓=6.282=12.56(cm)根據(jù)：結論任意一個圓心角為90的扇形面積，等于以這個扇形的半徑為直徑的圓的面積。證明：設有一圓心角為90，半徑為r的扇形。則它的面積為直徑為r的圓的面積為結論，得證。13.特殊數(shù)題1(1)21-12當被減數(shù)和減數(shù)個位和十位上的數(shù)字(零除外)交叉相等時，其差為被減數(shù)與減數(shù)十位數(shù)字的差乘以9。因為這樣的兩位數(shù)減法，最低起點是21-12，差為9，即(2-1)9。減數(shù)增加1，其差也就相應地增加了一個9，故31-13=(3-1)9=18。減數(shù)從1289，都可類推。被減數(shù)和減數(shù)同時擴大(或

6、縮小)十倍、百倍、千倍，常數(shù)9也相應地擴大(或縮小)相同的倍數(shù)，其差不變。如210-120=(2-1)90=90，0.65-0.56=(6-5)0.09=0.09。(2)3151個位數(shù)字都是1，十位數(shù)字的和小于10的兩位數(shù)相乘，其積的前兩位是十位數(shù)字的積，后兩位是十位數(shù)字的和同1連在一起的數(shù)。若十位數(shù)字的和滿10，進1。如證明：(10a+1)(10b+1)=100ab+10a+10b+1=100ab+10(a+b)+1(3)2686 4262個位數(shù)字相同，十位數(shù)字和是10的兩位數(shù)相乘，十位數(shù)字的積與個位數(shù)字的和為積的前兩位數(shù)，后兩位是個位數(shù)的積。若個位數(shù)的積是一位數(shù)，前面補0。證明：(10a+

7、c)(10b+c)=100ab+10c(a+b)+cc=100(ab+c)+cc (a+b=10)。(4)1719十幾乘以十幾，任意一乘數(shù)與另一乘數(shù)的個位數(shù)之和乘以10，加個位數(shù)的積。原式=(17+9)10+79=323證明：(10+a)(10+b)=100+10a+10b+ab=(10+a)+b10+ab。(5)6369十位數(shù)字相同，個位數(shù)字不同的兩位數(shù)相乘，用一個乘數(shù)與另個乘數(shù)的個位數(shù)之和乘以十位數(shù)字，再乘以10，加個位數(shù)的積。原式=(63+9)610+39=7260+27=4347。證明：(10a+c)(10a+d)=100aa+10ac+10ad+cd=10a(10a+c)+d+cd。

8、(6)8387十位數(shù)字相同，個位數(shù)字的和為10，用十位數(shù)字加1的和乘以十位數(shù)字的積為前兩位數(shù)，后兩位是個位數(shù)的積。如證明：(10a+c)(10a+d)=100aa+10a(c+d)+cd=100a(a+1)+cd(c+d=10)。(7)3822十位數(shù)字的差是1，個位數(shù)字的和是10且乘數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字相同的兩位數(shù)相乘，積為被乘數(shù)的十位數(shù)與個位數(shù)的平方差。原式=(30+8)(30-8)=302-82=836。(8)8837被乘數(shù)首尾相同，乘數(shù)首尾的和是10的兩位數(shù)相乘，乘數(shù)十位數(shù)字與1的和乘以被乘數(shù)的相同數(shù)字，是積的前兩位數(shù)，后兩位是個位數(shù)的積。(9)3615乘數(shù)是15的兩位數(shù)相乘。被乘數(shù)是

9、偶數(shù)時，積為被乘數(shù)與其一半的和乘以10;是奇數(shù)時，積為被乘數(shù)加上它本身減去1后的一半，和的后面添個5。(10)125101三位數(shù)乘以101，積為被乘數(shù)與它的百位數(shù)字的和，接寫它的后兩位數(shù)。125+1=126。原式=12625。再如348101，因為348+3=351，原式=35148。(11)8449一個數(shù)乘以49，把這個數(shù)乘以100，除以2，再減去這個數(shù)。原式=84002-84=4200-84=4116。14.特殊數(shù)題2(12)8599兩位數(shù)乘以9、99、999、。在被乘數(shù)的后面添上和乘數(shù)中9的個數(shù)一樣多的0、再減去被乘數(shù)。原式=8500-85=8415不難看出這類題的積：最高位上的兩位數(shù)(

10、或一位數(shù))，是被乘數(shù)與1的差;最低位上的兩位數(shù)，是100與被乘數(shù)的差;中間數(shù)字是9，其個數(shù)是乘數(shù)中9的個數(shù)與2的差。證明：設任意兩位數(shù)的個位數(shù)字為b、十位數(shù)字為a(a0)，則如果被乘數(shù)的個位數(shù)是1，例如31999在999前面添30為30999，再減去30，結果為30969。719999=709999-70=709929。這是因為任何一個末位為1的兩位自然數(shù)都可表示為(10a+1)的形式，由9組成的自然數(shù)可表示為(10n-1)的形式，其積為(13)119這是一道頗為繁復的計算題。原式=0.052631578947368421。根據(jù)“如果被除數(shù)不變，除數(shù)擴大(或縮小)若干倍，商反而縮小(或擴大)相

11、同倍”和“商不變”性質(zhì)，可很方便算出結果。原式轉化為0.11.9，把1.9看作2，計算程序：(1)先用0.12=0.05。(2)把商向右移動一位，寫到被除數(shù)里，繼續(xù)除如此除到循環(huán)為止。仔細分析這個算式：加號前面的0.05是0.12的商，后面的0.050.11.9中0.050.1=0.005，就是把商向右移動一位寫到被除數(shù)里，除以1.9。這樣我們又可把除數(shù)看作2繼續(xù)除，依此類推。除數(shù)末位是9，都可用此法計算。例如129，用0.13計算。1399，用0.140計算。15.順推例1 永明在去農(nóng)安時速45千米的客車上發(fā)現(xiàn)第一塊里程碑上的數(shù)是ab;過了1小時見第二塊里程碑上的數(shù)是ba;又過了1小時，見第

12、三塊里程碑上的數(shù)是a0b。經(jīng)研究很快明白了，這三塊里程碑上的數(shù)分別是16、61、106。試說明算理?思路一 ba與ab的差，只能是兩位數(shù)或一位數(shù)。車勻速前進，b必大于a。a0b與ba的差必等于ba與ab的差，不會是三位數(shù)。a只能是1，若是2以上的數(shù)，則a0b與ba的差肯定是三位數(shù)了。由下表知：思路二：由速度一定知ba-ab=a0b-ba。寫成十進數(shù)，化簡(10b+a)-(10a + b)=(100a + b)-(10b+a)10b+a-10a-b=100a+b-10b-a9b-9a=99a-9bb=6ab是一位數(shù)，且只能是一位數(shù)。故a=1，b=6。a和b的數(shù)字確定了，其它隨之出現(xiàn)。例2 美國小

13、學數(shù)學奧林匹克(19821983)第二次 2題：1個面包和6個雞蛋價值1.80元，同樣價格下，2個面包和4個雞蛋價值2.40元。問1個面包多少錢。由2個面包和4個雞蛋價值2.40元，可知，1個面包和2個雞蛋價值 2.402=1.20(元)。又由1個面包和6個雞蛋價值1.80元，知4個雞蛋價值1.80-1.20=0.60(元)。所以1個面包價值(2.40-0.60)2=0.90(元)。16.數(shù)字的雙重作用例 美國小學數(shù)學奧林匹克，第一次(1980年11月)題2：時鐘1點鐘敲1下，2點鐘敲2下，3點鐘敲3下，依次類推。從1點至12點這12小時共敲了( )下。由“首尾之和”知例2 第二次(1980年

14、12月)2題：如果全體自然數(shù)如下表排列，數(shù)到1000應在哪個字母的下面。( )a b c d e f g1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 1415 16 171、2、3、4、5、6既是列的序數(shù)，又是對應列以下各數(shù)除以7的余數(shù);而7既是列的序數(shù)，本列除以7余數(shù)為0。10007=142余6所以1000與6位于同一列，即在字母f的下面。17.豎式填空之巧填除法例題1奧數(shù)難題：豎式填空之巧填除法例題1例1 一個三位數(shù)，其十位數(shù)字是0，且能被一個一位數(shù)整除；如果被另一個一位數(shù)除則余3。請?zhí)钌纤羞m合的情況。根據(jù)所有條件，全面分析，有序思考：式(1)中，由除數(shù)與商的首位數(shù)之積是一個

15、數(shù)字，知被除數(shù)的百位數(shù)字為1；式(2)中，由余數(shù)是3，且除數(shù)與商的末位數(shù)的積是一位數(shù)和“余數(shù)必小于除數(shù)”，知除數(shù)只能為4、5、6，被除數(shù)的前兩位數(shù)為10，除數(shù)只能為5，被除數(shù)的末位數(shù)字為8，這個數(shù)為108；因為108能被2、3、4、6、9整除，但除數(shù)為2不符合式(1)的書寫形式。答案為：18.豎式填空之巧填除法例題2例2由第一乘積和第一余數(shù)，知除數(shù)是35;商的十位數(shù)字可能是6或4。商是62不合題意，則除數(shù)是35，商為42。例3 下式可整除，請在中填進適當?shù)臄?shù)。對比聯(lián)想，逆向思考轉除為乘。顯然，a位只能為7。b=5，是一定的。c只能是2，到此整個算式解開。19.豎式填空之巧填除法例題3例4 第五冊數(shù)學思考題：首尾觀察：觀察式(1)，知商的百位上