1、金融風險管理第5章利率風險和管理下第第2頁頁第五章第五章 利率風險和管理利率風險和管理（下）（下）第1頁/共40頁第第3頁頁主要內容第一節 久期概述第二節 運用久期模型進行免疫第2頁/共40頁復習 重定價缺口（敏感型資金缺口）管理 到期日期限缺口管理第3頁/共40頁第第5頁頁第一節第一節 久期概述久期概述第4頁/共40頁第第6頁頁久期的概念 久期（duration）也稱為持續期，是美國經濟學家Frederick Macaulay于1936年首先提出的。與到期期限比，久期是一種更準確地測定資產和負債敏感度的方法。因為它不僅考慮了資產（或負債）的到期期限問題，還考慮到了每筆現金流的情況。第5頁/共

2、40頁例 銀行發放一筆金額為1000元的1年期貸款。假設貸款利率為12%，年初發放貸款，要求在6月底時償還一半本金，另外一半在年底時付清。利息每6個月支付一次。 在6月底和年底銀行從貸款中收到的現金流。 哪一筆現金流更重要？如何體現這種相對重要性呢？第第7頁頁CF1/2=560CF1=53001/2年1年圖圖5.1 1年期貸款應收到的現金流年期貸款應收到的現金流第6頁/共40頁現值分析 CF1/2=560 PV1/2=560/(1+0.06)=528.30(元) CF1=530 PV1 =530/（1+0.06）2 =471.70（元） CF1/2 +CF1 =1090 PV1/2 + PV1

3、 =1000(元) 信用風險，期限溢價等第第8頁頁第7頁/共40頁第第9頁頁久期是利用現金流的相對現值作為權重的加權平均到期期限。久期與到期日期限之間的區別？在貨幣時間價值的基礎上，久期測定了金融機構要收回貸款初始投資所需要的時間。在久期內所收到的現金流反映了對初始貸款投資的收回，而從久期未到到期日之間所收到的現金流才是金融機構賺取的利潤。到期日期限=投資收回時間（久期）+利潤時間久期第8頁/共40頁第第10頁頁時間（時間（t t） 權重（權重（w w）T=1/2年 T=1年 1.0 100%1/21/21/21528.300.528352.83%1000PVWPVPV111/21471.70

4、0.471747.17%1000PVWPVPV例（續）l金融機構分別在半年末和一年末的時候收到了兩筆現金流。久期分金融機構分別在半年末和一年末的時候收到了兩筆現金流。久期分析的是根據每一個時點上現金流現值的重要性來確定每筆現金流的權析的是根據每一個時點上現金流現值的重要性來確定每筆現金流的權重。重。l從現值的角度看，從現值的角度看，t=1/2年和年和t=1年的現金流的相對重要性如表年的現金流的相對重要性如表5.1所示。所示。t=1/2年和年和t=1的現金流的重要性的現金流的重要性第9頁/共40頁例（續） 以W1/2和W1作為權數，來計算久期，或者說是計算貸款的平均到期期限：=0.52831/2

5、+0.47171=0.7359(年) 盡管貸款的期限是一年，但是它的久期僅為0.7359年，這是因為有52.83%的現金流是在半年末的時候就收到了，久期也就小于到期期限。第第11頁頁1/211/ 21LDWW第10頁/共40頁到期日期限缺口管理無法完全規避利率風險 一筆利率為12%的1000元1年期定期存款。 假設金融機構應在年底向存款人一次性支付本金1000元和利息120元，即CF1=1120元。 1=1120/1.12=1000元，W1=PV1/PV1=1。 DD=W11=11=1年 到期日期限缺口為零，ML-MD=1-1=0。 但久期缺口仍然存在：DL-DD=0.7359-1=-0.26

6、41。第第12頁頁第11頁/共40頁久期的定義久期的一般公式 D為久期（以年為單位） 為證券在t期期末收到的現金流N為證券的年限 為貼現因子，等于 ，其中R為債券的年收益率或者說是當前市場的利率水平 為從時期t=1到t=N的求和符號 是在t時期期末的現金流的現值，等于第第13頁頁1111NNttttNNttttCFDFtPVtDCFDFPVtCF1/(1)tRtDF1Nt tPVttCFDF第12頁/共40頁每年付2次利息 對每半年支付一次利息的債券來說，久期公式變為： t=1/2,1,11/2,N 注意：久期公式的分母是在該證券持有期內所有現金流現值的和，而分子是每筆現金流的現值與收到該筆現

7、金流所需時間的乘積的和。第第14頁頁21/221/2(1/2)(1/2)NtttNtttCFtRDCFR第13頁/共40頁息票債券的久期 【例1】假設投資者持有面值為100元，票面利率為10%，期限為3年，每年付息一次的息票債券。該債券的到期收益率（或目前的市場利率）為8%。 表5.2 票面利率為10%的3年期息票債券的久期第第15頁頁 t t CF CFt t DF DFt t CF CFt tDFDFt tCFCFt tDFDFt tt t 1 10 0.9259 9.26 9.26 2 10 0.8573 8.57 17.14 3 110 0.7938 87.32 261.96 105.

8、15 288.36 第14頁/共40頁288.362.742()105.15D 年第15頁/共40頁 【例2】假設投資者持有面值為100元，票面利率為10%，期限為2年，每半年付一次息的息票債券。當前市場利率為12%。 表5.3 票面利率為10%，到期收益率為12%的兩年期息票債券的久期第第17頁頁 t t CF CFt t DF DFt tCFCFt tDFDFt tCFCFt tDFDFt tt t 1/2 5 0.9434 4.72 2.36 1 5 0.8900 4.45 4.45 3/2 5 0.8396 4.20 6.30 2 105 0.7921 83.17 166.34 96.

9、54 179.45第16頁/共40頁179.451.859()96.54D 年第17頁/共40頁零息債券的久期 零息債券是指以低于面值的價格發行的，在到期時按照面值支付的債券。這些債券在發行日和到期日之間不會產生現金流，即不會產生支付。假設每年利率為復利，投資者愿意購買該債券的當前價格將會等于該債券的現值。第第19頁頁(1)NFPR第18頁/共40頁 R-要求的復利利率，N-期限年數，P-價格，F為票面面值 由于證券的所有現金流只發生在到期日，所以DB=MB,即零息債券的久期一定等于到期期限第19頁/共40頁 【例三】假設投資者持有面值為100元的零息債券，期限為5年，市場利率為10%。由于該

10、債券不付息，在整個債券期限中，只會在第5年底產生現金流，如表5.4所示。 表5.4 期限為5年底零息債券的久期第第21頁頁 t CFt DFt CFtDFtCFtDFtt 5 100 0.6209 62.09 310.45第20頁/共40頁310.455()62.09D 年第21頁/共40頁永久性公債的久期 永久性公債是指每年支付固定利息而永遠不會到期的債券，其到期期限（MC）為無窮大 雖然永久性公債是沒有到期日的，但其久期（DC）是有期限的。 數學推導第第23頁頁11CDR 第22頁/共40頁例子 面值為100元，票面利率為10%，期限為年，每年付一次利息的永久性債券，市場利率為12%，債券

11、的久期為9.09年。第23頁/共40頁債券票面利率、到期收益率、到期期限的變化對久期的影響 （一）久期與票面利率 例2中，息票率為10%，期限為2年，每半年支付利息一次，市場利率為12%，久期為1.859。 在其他情況不變的條件下，如果票面利率減少到8%，債券的久期的計算如表5.5所示。第第25頁頁第24頁/共40頁第第26頁頁 t CFt DFtCFtDFtCFtDFtt 1/2 4 0.9434 3.77 1.89 1 4 0.8900 3.56 3.56 3/2 4 0.8396 3.36 5.04 2 104 0.7921 82.38 164.764 93.07 175.25175.2

12、51.883()93.07D 年l 因此可得出這樣的結論，在其他條件不變時，證券的票面利率或承諾的利率越高，久期越小,用數學的表達式如下l經濟直覺0DC0DC第25頁/共40頁(二)久期與到期收益率 在其他情況不變的條件下，如果債券的到期收益率增加到16%，債券的久期計算如表5.6所示。 表5.6 票面利率為10%，到期收益率為16%的兩年期息票債券的久期 對比表5.3和表5.6，可以得出這樣的結論：在其他條件不變時，債券到期收益率增加，則久期越小，即 第第27頁頁 t t CF CFt t DF DFt tCFCFt tDFDFt tCFCFt tDFDFt tt t 1/2 5 0.925

13、9 4.63 2.32 1 5 0.8573 4.29 4.29 3/2 5 0.7938 3.97 5.96 2 105 0.7350 77.18 154.35 90.07 166.92166.921.853()90.07D 年0DR第26頁/共40頁(三)久期與到期期限 在其他情況不變的條件下，我們分別計算債券到期期限在兩年的基礎上縮短一年和增加一年時債券的久期，如表5.7和表5.8所示。 表5.7票面利率為10%，到期收益率為12%的1年期息票債券的久期第第28頁頁 t t CF CFt t DF DFt tCFCFt tDFDFt tCFCFt tDFDFt tt t 1/2 5 0.

14、9439 4.72 2.36 1 105 0.8900 93.45 93.45 98.17 95.8195.810.976()98.17D 年第27頁/共40頁 表5.8 票面利率為10%，到期收益率為12%的3年期息票債券的久期 通過對比表5.7、表5.3、表5.8我們可以知道，當固定收益的證券或資產的到期期限增加時，久期則以一個遞減的速度增加：第第29頁頁 t CFt DFtCFtDFtCFtDFtt 1/2 5 0.9434 4.72 2.36 1 5 0.8900 4.45 4.45 3/2 5 0.8396 4.20 6.30 2 5 0.7921 3.96 7.92 5/2 5 0

15、.7473 3.74 9.34 3 105 0.7050 74.03 222.09 95.10 252.46252.452.655()95.10D 年220,0DDMM第28頁/共40頁久期的特征 1、證券的票面利率越高，它的久期越短； 2、證券的到期收益率越高，它的久期越短； 3、隨著固定收益資產或負債到期期限的增加，久期會以一個遞減的速度增加。第第30頁頁第29頁/共40頁久期的經濟含義 復習：彈性的概念 久期的本質就是彈性。 數學推導。第第31頁頁223112.(1)(1)(1)2()(1)(1)(1)(1)2()(1)(1)(1)(1)(1)1(1)1NNNCCCFPRRRd PCCN

16、CFdRRRRd PCCNCFRDPdRRRRd Pd PDPd RdRR 第30頁/共40頁修正久期 修正的久期第第32頁頁=1+DM DRdPM DdRP ()1dPdRDPR 第31頁/共40頁 久期、修正久期的經濟含義：資產或負債對利率的敏感程度。第32頁/共40頁第二節 運用久期模型進行免疫第第34頁頁第33頁/共40頁久期和遠期支付的免疫 養老基金和人壽保險公司管理者面臨如何進行多種資產的組合選擇，以使他們在將來某個時期能夠獲得足夠的投資收益來向受益人或投保人支付退休金或保險金的問題 假設有一份5年期的保單，保險公司向客戶承諾5年后一次性支付一筆款項。為了簡化，我們假設保險公司應在

17、5年期滿后支付1496元作為退休保險的一次性返還，它恰好等于用1000元投資于票面利率8%的按復利計算的5年期債券。當然，保險公司實際支付的金額可能會更大，但在這個例子中我們假設支付的總額不會發生變化。第第35頁頁第34頁/共40頁 策略一 購買期限為5年期的零息債券 假設面值為1000元，到期收益率為8%的5年期貼現債券的當前價格為680.58元，即P=680.58（元）如果保險公司以1000元的總成本購買了這樣的債券，那么該項投資在5年后將剛好產生1469元的現金流。原因是債券組合的久期與保險公司保費的返還期相匹配。 策略二 購買久期為5年的息票債券 通過計算可以知道面值為1000元，期限

18、為6年，票面利率為8%，到期收益率為8%的債券的久期為4.993年，約為5年。如果公司購買了該債券，無論市場利率如何變化，在5年后保險公司都能獲得1496元的現金流。原因是利率變動帶來的 在投資收入的增加或減少都恰好被出售債券的收入的減少或增加所抵消。第第36頁頁第35頁/共40頁金融機構整個資產負債表的免疫 資產和負債市場價格的變化是如何與久期聯系在一起的第第37頁頁=+,().1/,=(1)(1)(1ALAALEALPRDPRPPAALLDDARRDADAARRLRDLR 資 產 （ A ） 負 債 （ L ） 凈 值 （ 所 有 者 權 益 E ） , 即 （ A = L + E ）或 者由 上 節 久 期 的 經 濟 意 義 可 知 ，如 果 將 任 意 給 定 債 券 價 格 百 分比 變 化替 換 為 整 個 資 產 和 負 債 的 百 分 比 變 化和， 同 時 以 金融 機 構 資 產 和 負 債 組 合 的 久 期、替 代 任 意 給 定 債 券 的 久 期 ， 就 可 以 得 到即 為,=)(1)(1)(1)+(1)A()(1)(k )1LAAALALAAALRLDLRRREALDADARRREDADLRDADLALREDDAAARREDDAR 即 為所 以假 設 利 率 水 平 和 利 率 預 期 的 變 化 對 資 產 和 負 債 都 是 一 樣 的