1、面積問題【知識精講】1、求不規則圖形或難以同時求出底和高的三角形的面積，一般的思路是割補法：有一邊“水平”或“豎直”的多邊形，作垂線分割成直角三角形或直角梯形；“斜”的三角形一般不易找到它的底和高，通常過頂點作鉛垂線和水平線“補”成矩形，再減去各角上的直角三角形面積2、對于“斜”三角形可用“鉛垂法”求面積3、如果底邊與坐標軸的夾角是特殊角，把過頂點的垂線段平移到端點在坐標軸上，則圍成一個直角三角形，可求得頂點到該底邊的距離，即求得高4、已知拋物線的一條弦，在拋物線的閉合部分上找一點使與該弦組成的三角形面積最大，即把弦所在直線平移至與拋物線只有一個交點的情況，解平移后直線與拋物線的解析式聯立所得

2、的方程組，此時判別式等于05、底或高不明顯，但已知邊的關系，可用由面積比為相似比的平方，間接求得6、運動過程中所求圖形要分情況討論【典型例題】例題1：2009年蕪湖市第24題 如圖，在平面直角坐標系中放置一直角三角板，其頂點為，將此三角板繞原點順時針旋轉，得到（1）如圖，一拋物線經過點，求該拋物線解析式；32112aobxy（2）設點是在第一象限內拋物線上一動點，求使四邊形的面積達到最大時點的坐標及面積的最大值例題2：2010年廣州市第25題如圖所示，四邊形oabc是矩形，點a、c的坐標分別為（3，0），（0，1），點d是線段bc上的動點（與端點b、c不重合），過點d作直線交折線oab于點e（

3、1）記ode的面積為s，求s與的函數關系式；cdbaeo（2）當點e在線段oa上時，若矩形oabc關于直線de的對稱圖形為四邊形oa1b1c1，試探究oa1b1c1與矩形oabc的重疊部分的面積是否發生變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由變式練習2：2009年益陽市第25題閱讀材料：如圖1，過abc的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫abc的“水平寬”(a)，中間的這條直線在abc內部線段的長度叫abc的“鉛垂高”(h).我們可得出一種計算三角形面積的新方法：sabcah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.解答下列問題：如圖2，拋物線頂點

4、坐標為點c(1，4)，交x軸于點a(3，0)，交y軸于點b.（1）求拋物線和直線ab的解析式；（2）求cab的鉛垂高cd及scab ；xcoyabd11圖2（3）設點p是拋物線（在第一象限內）上的一個動點，是否存在一點p，使spabscab，若存在，求出p點的坐標；若不存在，請說明理由.bc鉛垂高水平寬ha圖1a例題3：2009年大連市第24題debpacq如圖，矩形abcd中，ab = 6，ad = 3，點e在邊dc上，且de = 4動點p從點a開始沿著abce的路線以2單位/s的速度移動，動點q從點a開始沿著ae以1單位/s的速度移動，當點q移動到點e時，點p停止移動若點p、q從點a同時出

5、發，設點q移動時間為t（s），p、q兩點運動路線與線段pq圍成的圖形面積為s，求s與t的函數關系式例題4：2008年廣州市第25題如圖，在梯形中， ab = ad = dc =2，bc = 4在等腰中，底邊qr = 6點、在同一條直線上，且、兩點重合如果等腰以1單位長度 / 秒的速度沿直線按箭頭所示方向勻速運動，秒時梯形與等腰重合部分的面積記為s（1）當時，求的值；（2）當時，求與的函數關系式，并求出的最大值【真題演練】12009年恩施自治州第24題acbdea如圖，在abc中，a90，bc10，abc的面積為25，點d為ab邊上的任意一點（d不與a、b重合），過點d作debc，交ac于點e設

6、dex，以de為折線將ade翻折（使ade落在四邊形dbce所在的平面內），所得的a de與梯形dbce重疊部分的面積記為y（1）用x表示ade的面積；（2）求出0 x 5時y與x的函數關系式；（3）求出5 x 10時y與x的函數關系式；（4）當x取何值時，y的值最大？最大值是多少？22008年麗水市第24題如圖，在平面直角坐標系中，已知點坐標為（2，4），直線與軸相交于點，連結，拋物線從點沿方向平移，與直線交于點，頂點到點時停止移動（1）求線段所在直線的函數解析式；（2）設拋物線頂點的橫坐標為，用的代數式表示點的坐標；當為何值時，線段最短？（3）當線段最短時，相應的拋物線上是否存在點，使的面

7、積與的面積相等，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由boapm圖132112aoxybp專題七參考答案例題1：（1） （2）解法一：如圖1，為第一象限內拋物線上一動點，設則點坐標滿足連接=當時，最大此時，即當動點的坐標為時，最大，最大面積為圖2g32112aopeflxyb解法二：如圖2，連接，p為第一象限內拋物線上一動點，且的面積為定值，最大時，必須最大而長度為定值，最大時點到的距離最大將直線向上平移到與拋物線有唯一交點時，到的距離最大設與直線平行的直線的解析式為聯立，得令解得此時直線的解析式為： 代入解得，直線與拋物線唯一交點坐標為 設與軸交于則過作于 在中，過作于 則到的距離 此

8、時四邊形的面積最大的最大值為：例題2：（1）由題意得b（3，1）圖1若直線過a（3，0）時，b；過b（3，1）時，b；過c（0，1）時，b1若直線與折線oab的交點在oa上時，即1b，如圖1，此時e（2b，0），圖2soeco2b1b若直線與折線oab的交點在ba上時，即b，如圖2此時e（3，），d（2b2，1），ss矩(socdsoae sdbe ) 3(2b1)1(52b)()3()圖3（2）如圖3，設o1a1與cb交于m，oa與c1b1交于n，則矩形oa1b1c1與矩形oabc的重疊部分的面積，即為四邊形dnem的面積由題意知，dmne，dnme，四邊形dnem為平行四邊形根據軸對稱知，

9、medned，又mdened，medmde，mdme，平行四邊形dnem為菱形過點d作dhoa，垂足為h，由題意知，tanden，dh1，he2，設菱形dnem 的邊長為a，則在rtdhm中，由勾股定理知：，s四邊形dnemnedh矩形oa1b1c1與矩形oabc的重疊部分的面積不發生變化，面積始終為變式練習2：（1）；直線ab：（2）c點坐標為（1，4），當x時，y14，y22，即cd4-22（平方單位）（3）假設存在符合條件的點p，設p點的橫坐標為x，pab的鉛垂高為h，則由spab=scab，得：化簡得：，解得，將代入中，解得p點坐標為例題3：rtade中，當03時，過點q作qmab于m

10、，連接qpabcd，qam=dea，又amq=d=90，aqmead， 當3時，過點q作qmab于m， qnbc于n， 連接qb由知aqmead， ，qn=+（） 當5時連接qb、qc，過q分別作qhdc于h，qmab于m，qnbc于n 由題意得qhad，ehqeda， 例題4：（1）如圖1、過點作于點，過點作于點， 則 四邊形aged為矩形，從而ad = ge 在梯形中， 在rtcde中，在等腰中，過點作于點， 在中，即點p在直線ad上 ， 如圖2，當時，點與點重合，點與點重合重合部分為bcd 圖2 圖1 （2）當時，如圖3，則 設與交于點，與交于點在中，可求得， 過點作于點在中， 同理可得

11、， 當時，當時，如圖4，則，設與交于點， 在中，為直角三角形 ， ，當時， 綜上所述，當時，s有最大值圖3圖41（1）debc ，ade=b，aed=cadeabc，即（2）bc=10，bc邊所對的三角形的中位線長為5，當0 時，（3）當10時，點a落在三角形的外部，其重疊部分為梯形sade=sade=de邊上的高ah=ah=由已知求得af=5，af=aaaf=x5由amnade知，（4）在函數中，0x5，當x=5時，y的最大值為在函數中，當時，y的最大值為綜上所述，當時，y的最大值為2（1）設所在直線的函數解析式為，（2，4），即所在直線的函數解析式為.（2）頂點m的橫坐標為，且在線段上移動，（02）.頂點的坐標為(,).拋物線函數解析式為.當時，（02）.點的坐標是（2，）.=， 又02，當時，pb最短.（3）當線段最短時，此時拋物線的解析式為.假設在拋物線上存在點，使.設點的坐標為（，）.當點落在直線的下方時，過作直線/，交軸于點，點的坐標是