1、1.4 三角函數的圖象和性質教學目的：（一）1.理解并掌握作正弦函數和余弦函數圖象的方法;2.理解并熟練掌握用五點法作正弦函數和余弦函數簡圖的方法;3.理解并掌握用正弦函數和余弦函數的圖象解最簡單的三角不等式的方法.（二）1.理解正、余弦函數的定義域、值域、最值、周期性、奇偶性的意義;2.會求簡單函數的定義域、值域、最小正周期和單調區間;3.會求簡單函數的奇偶性.（三）1.理解并掌握作正切函數和余切函數圖像的方法;2.理解并掌握用正切函數和余切函數的圖像解最簡三角不等式的方法;3.掌握正切函數的性質和性質的簡單應用;4.會解決一些實際問題.教學重點：1.用單位圓中的正弦線作正弦、正切函數的圖象

2、;2.正、余弦和正切函數的性質.教學難點：1.用單位圓中的余弦線作余弦、正切函數的圖象;2.正、余弦和正切函數性質的理解與應用.教學過程：一、復習引入：1.弧度定義：長度等于半徑長的弧所對的圓心角稱為弧度的角.2.正、余弦函數定義：設是一個任意角,在的終邊上任取(異于原點的)一點,與原點的距離()則 比值叫做的正弦 記作比值叫做的余弦 記作比值叫做的正切 記作3.三角函數線: 根據正弦,余弦,正切的定義,則有 ,這三條與單位圓有關的有向線段分別叫做角的正弦線,余弦線,正切線. 當角的終邊落在軸上時,與重合,與重合,此時正弦線,正切線分別變成一個點;當角的終邊在軸上時,與重合,余弦線變成一個點,

3、過的切線平行于軸,不能與角的終邊相交,所以正切線不存在,此時角的正切值不存在.二、講解新課：(一)正弦函數、余弦函數的圖象1.用單位圓中的正弦線、余弦線作正弦函數、余弦函數的圖象(幾何法):為了作三角函數的圖象,三角函數的自變量要用弧度制來度量,使自變量與函數值都為實數.在一般情況下,兩個坐標軸上所取的單位長度應該相同,否則所作曲線的形狀各不相同,從而影響初學者對曲線形狀的正確認識.正弦函數的圖象第一步,在直角坐標系的軸上任取一點,以為圓心作單位圓,從這個圓與軸的交點起把圓分成(這里)等份.把軸上從到這一段分成(這里)等份.(預備：取自變量值弧度制下角與實數的對應).第二步,在單位圓中畫出對應

4、于角,的正弦線正弦線(等價于“列表”).把角的正弦線向右平行移動,使得正弦線的起點與軸上相應的點重合,則正弦線的終點就是正弦函數圖象上的點(等價于“描點”).第三步,連線.用光滑曲線把這些正弦線的終點連結起來,就得到正弦函數,的圖象.根據終邊相同的同名三角函數值相等,把上述圖象沿著軸向右和向左連續地平行移動,每次移動的距離為,就得到,的圖象. 把角的正弦線平行移動,使得正弦線的起點與軸上相應的點重合,則正弦線的終點的軌跡就是正弦函數的圖象.余弦函數的圖象用幾何法作余弦函數的圖象,可以用“反射法”將角的余弦線“豎立”.把坐標軸向下平移,過作與軸的正半軸成角的直線,又過余弦線的終點作軸的垂線,它與

5、前面所作的直線交于,那么與長度相等且方向同時為正,我們就把余弦線“豎立”起來成為,用同樣的方法,將其它的余弦線也都“豎立”起來,再將它們平移,使起點與軸上相應的點重合,則終點就是余弦函數圖象上的點.也可以用“旋轉法”把角的余弦線“豎立”(把角的余弦線按逆時針方向旋轉到位置,則與長度相等,方向相同.)根據誘導公式,還可以把正弦函數的圖象向左平移單位即得余弦函數的圖象.正弦函數的圖象和余弦函數的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線.2.用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖(描點法):正弦函數,的圖象中,五個關鍵點是:余弦函數,的圖像中,五個關鍵點是:只要這五個點描出后,圖象的形狀就基本確定了.因此在精確度

6、不太高時,常采用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖,要求熟練掌握.(二)正弦函數、余弦函數的性質1.定義域正弦函數、余弦函數的定義域都是實數集(或).2.值域(1)值域因為正弦線、余弦線的長度不大于單位圓的半徑的長度,所以,即也就是說,正弦函數、余弦函數的值域都是.(2)最值正弦函數當且僅當時,取得最大值當且僅當時,取得最小值余弦函數當且僅當時,取得最大值當且僅當時,取得最小值3.周期性由知:正弦函數值、余弦函數值是按照一定規律不斷重復地取得的.定義：對于函數,如果存在一個非零常數,使得當取定義域內的每一個值時,都有,那么函數就叫做周期函數,非零常數叫做這個函數的周期.由此可知,都是這兩個函數的

7、周期.對于一個周期函數,如果在它所有的周期中存在一個最小的正數,那么這個最小正數就叫做的最小正周期.根據上述定義,可知：正弦函數、余弦函數都是周期函數,都是它的周期,最小正周期是.4.奇偶性由可知:()為奇函數,其圖象關于原點對稱()為偶函數,其圖象關于軸對稱5.對稱性正弦函數的對稱中心是,對稱軸是直線;余弦函數的對稱中心是,對稱軸是直線(正(余)弦型函數的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于軸的直線，對稱中心為圖象與軸(中軸線)的交點).6.單調性從的圖象上可看出:當時,曲線逐漸上升,的值由增大到當時,曲線逐漸下降,的值由減小到結合上述周期性可知:正弦函數在每一個閉區間上都是增函數,其值從增大到

8、;正弦函數在每一個閉區間上都是減函數,其值從減小到.余弦函數在每一個閉區間上都是增函數,其值從增加到;余弦函數在每一個閉區間上都是減函數,其值從減小到.和的圖象和性質(表中)函數圖象定義域值域最值當,當,當,當,奇偶性奇函數偶函數對稱中心對稱軸最小正周期單調性遞增遞減遞增遞減(三)正切函數的圖象和性質1.正切函數的圖像在區間內作出函數圖像,根據正切函數的周期性,把上述圖像向左、右擴展,得到正切函數,且的圖像,稱“正切曲線”.2.正切函數和余切函數的性質(1)定義域:(2)值域:(3)周期: 的周期為(最小正周期) (4)奇偶性:正切函數是奇函數 由誘導公式,我們可以證明正切函數是奇函數,正切函

9、數的圖像關于原點對成. (5)對稱性:對稱中心是,特別提醒：正(余)切型函數的對稱中心有兩類:一類是圖象與軸的交點,另一類是漸近線與軸的交點,但無對稱軸,這是與正弦、余弦函數的不同之處. (6)單調性:由圖像可知,正切函數再區間內都是單調增函數.三、講解范例：(一)圖象問題例1 畫出與兩函數的圖象,觀察兩曲線的平移關系.解: 略例2 作下列函數的簡圖: (1), (2) (3）解: 略例3 用五點法作函數的簡圖,并求其與直線交點個數.解: 略例4 分別利用函數的圖象和三角函數線兩種方法,求滿足下列條件的的集合: (1) (2)解: 略例5 求下列函數的定義域: (1) (2) (3)解: 略補

10、充例題： (1)函數圖象的對稱軸是 _;對稱中心是 _. (2)函數圖象的對稱軸是_ ;對稱中心是 _.(3)函數圖象的對稱軸是_ ;對稱中心是 _.(4)函數與的圖象關于_對稱.(填一種情況即可)(5)方程的根的個數為( ) a. b. c. d. (6)用五點法作函數的圖象時,首先應描出的五個點橫坐標可是( ) a. b. c. d.(二)定義域、值域問題例1 求下列函數的定義域:(1)(2)(3)求下列函數的值域:(1)(2)(3)解: 略例2 求使下列函數取得最大值的自變量()的集合,并說出最大值是什么;若呢？(1); (2)解: 略例3 已知函數的定義域為,值域為.求的值.解: 略例

11、4 求函數的最大值.解: 略例5 (1)已知(),求的最大值和最小值.(2)求的最大值和最小值.(注:,)解: 略(三)周期性、奇偶性問題例1 判斷下列函數的奇偶性:(1)(2)()(3)(4)待添加的隱藏文字內容2解: 略例2 (1)已知,且,求.(2)若為奇函數,且當時,求當時,的解析式.(3)若函數是偶函數,求的值.解: 略例3 求下列三角函數的周期,并探究其結.(1) (2)(3) (4)解: 略點評: 一般地,函數及函數(其中、為常數,且,)的周期.例4 (1)求函數的周期.(2)求函數的周期.解: 略例5 求下列函數的最小正周期: (1) (2) (3)解: 略例6 (1)已知是周

12、期為的周期函數,且,求. (2)已知奇函數是上的函數,且,求.解: 略例7 是定義在上的偶函數,其圖象關于對稱,對任意的, 都有.(1)設,求;(2)證明:是周期函數.解: 略例8 (1)若函數()的圖象關于直線與()都對稱,求證:是周期函數,且是它的一個周期;(2)若函數()滿足(常數),求證:是周期函數,且是它的一個周期.解: 略(四)單調性問題例1 求下列函數()的單調區間:(1) (2) (3) (4) (5) (6)解: 略例2 求下列的單調遞增區間:(1) (2)解: 略例3 不通過求值,比較下列各式的大小:(1), (2),(3), (4),解: 略例4 求函數,的單調增區間.解: 略例5 已知.(1)求的定義域和值域;(2)判斷它的奇偶性、周期性;(3)判斷的單調性.解: 略 (1), (2)奇函數,周期函數 (2)增區間:;減區間:(五)正切函數的圖象和性質例1 討論函數的性質.(定義域,值域,周期性,奇偶性,單調性)解: 略例2 (1)用描點法作函數的圖像. (2)作出函數的圖像,并根據圖像求其單調區間. (3)作出函數且的簡圖.解: 略例3 不通過求值,比較下列各組數的大小.(1),(2),(3),解: 略例4 解不等式.解: 略例5 求下列函數的定義域(1) (2) (3)解: 略例6 求函數的值域.解: 略思考：如果,結果又如何？例