1、會計學1簡單曲線的極坐標方程簡單曲線的極坐標方程3、極坐標與直角坐標的互化公式1、極坐標系的四要素2、點與其極坐標一一對應的條件極點；極軸；長度單位；角度單位及它的正方向。)0(tan,222 xxyyx sin,cos yx)2 , 0, 0 第1頁/共31頁在平面直角坐標系中，平面曲線C可以用f(x,y)=0表示。曲線與方程滿足：（1）曲線C上點的坐標都是方程f(x,y)=0的解；（2）以方程f(x,y)=0的解為坐標的點都在曲線C上。思考：在極坐標系中，平面曲線是否可以用方程 表示？ 0),(f第2頁/共31頁xC(a,0)OMA(,)探究：)1 ()0 ,2(),2, 0()1.(.c

2、os2cos),(,2的坐標滿足等式可以驗證，點即中。在以外的任意一點，那么，為圓上除點設，那么是交點。設圓與極軸的另一個解：圓經過極點aAOaMOAOAOMAMORtAMOMAOMaOAAO第3頁/共31頁的點都在這個圓上。等式，可以驗證，坐標適合滿足的條件，另一方面坐標就是圓上任意一點的極所以，等式) 1 (),() 1 () 1 ()0 ,2(),2, 0() 1.(.cos2cos),(,2的坐標滿足等式可以驗證，點即中。在以外的任意一點，那么，為圓上除點設，那么是交點。設圓與極軸的另一個解：圓經過極點aAOaMOAOAOMAMORtAMOMAOMaOAAO第4頁/共31頁的極坐標方程

3、。叫做曲線那么方程上，的點都在曲線并且坐標適合方程一個滿足方程一點的極坐標中至少有上任意，如果平面曲線一般地，在極坐標系中CfCffC0),(0),(0),(的圓的極坐標方程。為半徑就是圓心在所以，aaaCa),0)(0 ,(cos2第5頁/共31頁與直角坐標系里的情況一樣建系 （適當的極坐標系）設點 （設M（ ，)為要求方程的曲線上任意一點）列等式（構造，利用三角形邊角關系的定理列關于M的等式） 將等式坐標化化簡 （此方程f(,)=0即為曲線的方程）第6頁/共31頁例1.已知圓O的半徑為r，建立怎樣的極坐標系，可以使圓的極坐標方程簡單？xO rM簡單。上比式合時的極坐標方程在形顯然，使極點與

4、圓心重即為圓上任意一點，則設都等于半徑何特征就是它們的極徑幾圖），那么圓上各點的為極軸建立坐標系（如出發的一條射線為極點，從解：如果以圓心) 1 (,),(.rrOMMrOO簡單。上比式合時的極坐標方程在形顯然，使極點與圓心重即為圓上任意一點，則設都等于半徑何特征就是它們的極徑幾圖），那么圓上各點的為極軸建立坐標系（如出發的一條射線為極點，從解：如果以圓心) 1 (,),(.rrOMMrOO第7頁/共31頁簡單。上比式合時的極坐標方程在形顯然，使極點與圓心重即為圓上任意一點，則設都等于半徑何特征就是它們的極徑幾圖），那么圓上各點的為極軸建立坐標系（如出發的一條射線為極點，從解：如果以圓心) 1

5、 (,),(.rrOMMrOO第8頁/共31頁的的極極坐坐標標方方程程最最簡簡單單？使使圓圓，怎怎樣樣建建立立極極坐坐標標系系，的的半半徑徑為為：圓圓問問題題rO1xrO )( Pr.)(,(極極坐坐標標方方程程的的圓圓的的，圓圓心心坐坐標標為為：求求半半徑徑為為問問題題002aaaOx),(0aM)( P cosa2.)(),(的的圓圓的的極極坐坐標標方方程程，圓圓心心坐坐標標為為：求求半半徑徑為為問問題題023aaa sina2Ox),(2 aM)( P 第9頁/共31頁)( Pr 0 0 )(00 M2002022r)cos( raaraar 時，時，時，時，時，時，0032222010

6、00000)(sin)(cos)(求圓心在M(0,)，半徑為r圓的極坐標方程。第10頁/共31頁B第11頁/共31頁負極徑“負”的意義是什么？標準之下3攝氏度與-3攝氏度.方向相反a與. a與.Ox(, )M ( , ) 13若M的坐標為 則M的坐標也可以是(, ) ( ,). 若0，則規定點(，)與點(，)關于極點對稱第12頁/共31頁負極徑小結：極徑變為負，極角增加 。練習：寫出點 的負極徑的極坐標（6， ）6答：（6， +）6特別強調：一般情況下（若不作特別說明時），認為 0 。因為負極徑只在極少數情況用。第13頁/共31頁xo4 l第14頁/共31頁 和前面的直角坐標系里直線方程的表示

7、形式比較起來，極坐標系里的直線表示起來很不方便，要用兩條射線組合而成。原因在哪？0 為了彌補這個不足，可以考慮允許極徑可以取全體實數。則上面的直線的極坐標方程可以表示為()4R 或5()4R 第15頁/共31頁例2.求過點A(a,0)(a0)，且垂直于極軸的直線L的極坐標方程。解：如圖，設點( , )M 為直線L上除點A外的任意一點，連接OMox AM在 中有 Rt MOA cosOMMOAOA即cosa 可以驗證，點A的坐標也滿足上式。第16頁/共31頁求直線的極坐標方程步驟1、根據題意畫出草圖；2、設點 是直線上任意一點；( , )M 3、連接MO；4、根據幾何條件建立關于 的方 程，并化

8、簡；, 5、檢驗并確認所得的方程即為所求。第17頁/共31頁.)(,(的直線的極坐標方程的直線的極坐標方程且與極軸垂直且與極軸垂直：求過點：求過點問題問題004aaAOx AMcosa .)(,(的直線的極坐標方程的直線的極坐標方程且與極軸平行且與極軸平行：求過點：求過點問題問題025aaA Ox AMa sin.)(,(的的直直線線的的極極坐坐標標方方程程且且傾傾斜斜角角為為：求求過過點點問問題題 006aaA OMx Asin()sina第18頁/共31頁例3. 設點P的極坐標為 ，直線 過點P且與極軸所成的角為 ,求直線 的極坐標方程。 11(,) lloxMP 1 1 第19頁/共31

9、頁解：如圖，設點( , )M 點P外的任意一點，連接OM為直線上除則 由點P的極坐標知 ,OMxOM1OP 1xOP 設直線L與極軸交于點A。則在MOP 1,()OMPOPM 由正弦定理得11sin()sin() 11sin()sin()顯然點P的坐標也是它的解。第20頁/共31頁方程互化)0( ,tan,sincos222xxyyxyx第21頁/共31頁 例4.圓O1和圓O2的極坐標方程分別為4cos，4sin.(1)把圓O1和圓O2的極坐標方程化為直角坐標方程； (2)求經過圓O1，圓O2交點的直線的直角坐標方程.第22頁/共31頁【解】以極點為原點，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標系，

10、兩坐標系中取相同的長度單位.(1)xcos，ysin，由4cos得24cos.所以x2y24x.即x2y24x0為圓O1的直角坐標方程同理x2y24y0為圓O2的直角坐標方程第23頁/共31頁【名師點評】掌握極坐標方程與直角坐標方程之間的互化是解決本題的關鍵第24頁/共31頁第25頁/共31頁第26頁/共31頁 2.設點P的極坐標為A ，直線 過點P且與極軸所成的角為 ,求直線 的極坐標方程。 ( ,0)a ll解：如圖，設點( , )M 為直線 上異于的點l連接OM， oMx p在 中有 MOA sin()sin()a 即sin()sina顯然A點也滿足上方程。第27頁/共31頁3.(2,)4A求過點平行于極軸的直線。OHMA)4, 2( , )(2,)42 sin24sin ,sin2(2,)4sin2lMAMHRt OMHMHOMA 解：在直線 上任意取點在中，即所以，過點平行于極軸的直線方程為第28頁/共31頁1.在極坐標系中，過圓6cos的圓心，且垂直于極軸的直線的極坐標方程為_.解析：由題意可知圓的標準方程為(x3)2y29，圓心是(3