1、三、其他未定式三、其他未定式 二、二、 型未定式型未定式一、一、 型未定式型未定式00第二節洛必達法那么 第三章 )()(limxgxf微分中值定理函數的性態導數的性態函數之商的極限導數之商的極限 轉化00( 或 型)()(limxgxf本節研討本節研討:一、一、0)(lim)(lim) 1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax存在 (或為 )()(lim)()(limxFxfxFxfaxax,)()()()2內可導在與aUxFxf0)( xF且定理定理 1.型未定式型未定式00(洛必達法那么) ( 在 x , a 之間)證證: 無妨假設, 0)()(aFaf在指出的鄰域內任取,ax

2、那么)(, )(xFxf在以 x, a 為端點的區間上滿足柯0)(lim)(lim) 1xFxfaxax故)()()()()()(aFxFafxfxFxf)()(Ff)()(limxFxfax)()(limFfax)()(limxFxfax)3定理條件定理條件: 西定理條件,)()(lim)3xFxfax存在 (或為 ),)()()()2內可導在與aUxFxf0)( xF且推論推論1. 定理 1 中ax 換為以下過程之一:, ax, ax,xx推論推論 2. 假假設設)()(limxFxf滿足定且型仍屬)(, )(,00 xFxf理1條件, 那么)()(lim)()(limxFxfxFxf)(

3、)(limxFxf 條件 2) 作相應的修正 , 定理 1 依然成立.,x)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax洛必達法那么例例1. 求求.123lim2331xxxxxx解解: 原式型0023留意留意: 不是未定式不能用洛必達法那么不是未定式不能用洛必達法那么 !266lim1xxx166lim1x332x1232 xx lim1x洛洛266lim1xxx洛洛例例2. 求求.arctanlim12xxx解解: 原式原式 xlim型00221limxxx1211x21x11lim21xx型洛洛二、二、型未定式型未定式)(lim)(lim) 1xFxfaxax)()(lim)3xF

4、xfax存在 (或為)()(limxFxfax定理定理 2.)()(limxFxfax(洛必達法那么),)()()()2內可導在與aUxFxf0)( xF且闡明闡明: 定理中定理中ax 換為之一, 條件 2) 作相應的修正 , 定理依然成立., ax, ax,xx,x例例3. 求求. )0(lnlimnxxnx解解:原式11limnxxxnnxxn1lim0例例4. 求求解解: (1) n 為正整數的情形為正整數的情形.原式0 xnxxnelim1xnxxnne) 1(lim22. )0(elim, 0nxxnx型型洛洛xnxne!lim洛洛洛洛例例4. 求求. )0(elim, 0nxxnx

5、(2) n 不為正整數的情形.nx從而xnxexkxexkxe1由(1)0elimelim1xkxxkxxx0elimxnxx用夾逼準那么kx1kx存在正整數 k , 使當 x 1 時,例4. )0(0elim, 0nxxnx. )0(0lnlimnxxnx例3. 闡明闡明:1) 例3 , 例4 闡明x時,lnx后者比前者趨于更快 .例如,xxx21lim21limxxxxxx21lim現實上xxx21lim11lim2xx1)0(ex, )0( nxn用洛必達法那么2) 在滿足定理條件的某些情況下洛必達法那么不能處理 計算問題 . 3) 假設,)()()(lim時不存在xFxf.)()(li

6、m)()(limxFxfxFxf例如例如,xxxxsinlim1cos1limxx)sin1 (limxxx1極限不存在不能用洛必達法那么 ! 即 三、其他未定式三、其他未定式:,0 ,00,1型0處理方法處理方法:通分轉化轉化000取倒數轉化轉化0010取對數轉化轉化例例5. 求求).0(lnlim0nxxnx型0解解: 原式原式nxxxlnlim0110limnxxxn0)(lim0nxnx洛洛型. )tan(seclim2xxx解解: 原式原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim20例例6. 求求通分轉化轉化000取倒數轉化轉化00

7、10取對數轉化轉化洛洛例例7. 求求.lim0 xxx型00解解: xxx0limxxxln0elim0e1通分轉化轉化000取倒數轉化轉化0010取對數轉化轉化例例8. 求求.sintanlim20 xxxxx解解: 留意到留意到xx sin原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31型00洛洛nn1nnln1e1例例9. 求求. ) 1(limnnnn2111limxxxx原式法法1. 直接用洛必達法那直接用洛必達法那么么.型0下一步計算很繁 ! 21 limnn法法2. 利用例利用例3結果結果.) 1(lim121nnnn1

8、eln1nn21limnnnnln121lnlimnnn0uu1e 原式內容小結內容小結洛必達法那么洛必達法那么型00,1 ,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111fggflne思索與練習思索與練習1. 設設)()(limxgxf是未定式極限 , 假設)()(xgxf能否)()(xgxf的極限也不存在 ? 舉例闡明 .極限不存在 , )1ln()cos1 (cossin3lim. 2120 xxxxxx原式xxxxx120cossin3lim21xxx)1ln(0時，)03(2123分析分析:2cos1x分析分析:203cos1limxxx30 limxx3.xxxx1sin1cotl

9、im0原式xsinx1coslim0 xxxxsin222103limxxxxcos1221x6161xxxxxx20sin)sin(coslim洛洛,1xt 那么2011221limtttt4. 求求xxxxx122lim23解解: 令令原式tt2lim0 21)21 ( t21)1 (t2)1 ()21 (lim2323210ttt41洛洛洛洛作業作業 P 1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16), *4洛必達洛必達(1661 1704)法國數學家, 他著有(1696), 并在該書中提出了求未定式極限的方法, 后人將其命名為“ 洛必達法的擺線難題 , 以后又解出了伯努利提出

10、的“ 最速降 線 問題 , 在他去世后的1720 年出版了他的關于圓錐曲線的書 .那么 .他在15歲時就處理了帕斯卡提出求以下極限 :;)11ln(lim) 12xxxx解解:tttt1)1ln(1lim2020)1ln(limtttt.cossec)1ln()1ln(lim)3220 xxxxxxx;e1lim)2211000 xxx)11ln(lim) 12xxxx)1 (2lim0ttttttt21lim11021)1(xt 令洛洛,12xt 那么tttelim50原式 =50limettt0ttte50lim49211000e1lim)2xxx解解: 令令tte!50lim(用洛必達法那么)(繼續用洛必達法那么)xx