1、第二章 單自由度系統的振動2.1單自由度系統的無阻尼自由振動( )( )0m y tky t 自由振動：是指體系在沒有外來干擾作用下所發生的振動。它是有初始位移或初始速度或兩者共同作用下引起的振動。一、自由振動的解1、無阻尼自由振動方程這是個常系數線性齊次微分方程令 代入（2-1）方程得：km2( )( )0y ty t（2-1）（2-2）2、自由振動方程的解12( )sincosy tCtCt方程（2-2）的通解由數學知識可知為：（2-3）C1、C2為待定系數，可由初始條件確定。設t=0時的初始位移 ，初速度 代入（2-3）0(0)yy0(0)yy可求得： ， 于是20Cy1yC00( )s

2、incosyy ttyt( )sin()y tAt 0220yAy001yytg（2-4）即：（2-5）式中:為單自由度體系振動幅值；為單自由度體系振動的初相位角。由解的表達式可知，該解為簡諧振動。二、單自由度系統的動力特性1）周期T：振動一次所需的時間，由解答可知 單位為秒（s）2T2）頻率f：每秒鐘內振動的次數， 單位為赫茲（Hz）1fT2T3）圓頻率 ： 秒鐘內振動的次數， 21stgggkmmm gWy（2-6）其中 -柔度系數（單位力作用下相應的位移） k 剛度系數（單位位移作用下所需加的力） g 重力加速度 重力 重力引起的位移styWycym1sF2sFyy12312yy2ssE

3、IkFFhyyy( )mckP t624.5 10mEIN12312=2EIkkkh1228.284/kkkrad smm4.5022fHzIfmy dfcy EIl483 ( ( )dIyP tff( ( )yP tmycy3148kEImmmlucum EIh243 1Mu( ( )yP tmycyIfmy dfcy 348lEI ()Pymycy3)(11768ltPEIP Ifmy dfcy efky ( )mycykyP t2.2 單自由度系統的有阻尼自由振動一、有阻尼自由振動的解( )( )( )0m y tc y tky t1、有阻尼自由振動方程km2( )2( )( )0y t

4、y ty t令 阻尼比 代入（2-7）方程得：這是個常系數線性齊次微分方程（2-7）2cm（2-8）2、自由振動方程的解由數學知識方程的解可設為 代入（2-8）可得特征方程( )rty tBe2220rr解此方程得：21,21r 3、討論于是001=DyyC20C =y這時，由于阻尼過大，系統的運動為按指數規律衰減的非周期蠕動。1）臨界阻尼情況（ 或 ）=1=2mc00( )=e(1)ty tyty t（2-9）該系統不發生振動，=1稱為臨界阻尼比2）強阻尼情況（ 或 ）12mc通解：1,20r此時12( )=etDDy tC shtC cht（2-10）式中2=1D 利用初始條件得：利用初始

5、條件得：12( )=(C +C t)ety t通解：此時1,2=-r200C =+yy10=yC3）低阻尼或弱阻尼情況（ 或 ）12mc1,2r此時是兩個復數根， 通解：12( )=esincostDDy tCtCt利用初始條件得：000( )=esincosesintDDDtDyyy ttytAt（2-11）式中22000=DyyAy 000=Dytgyy2=1D特性：這時的自由振動為衰減振動。振幅為Aet周期為：2T =DD設nA為nt時的振幅，1nAnDtT為時的振幅，則()1=nDnDtTntTnAeAeAeA為常數， 故振幅按等比級數遞減。3）低阻尼或弱阻尼情況（ 或 ）12mc是兩

6、個復數根，是兩個復數根，實際結構表明一般鋼筋混凝土桿系結構阻尼比為0.05，最大的阻尼比0.2（堆石壩），這時2=10.96DDy因此，工程結構動力計算中常不計阻尼對自振圓頻率的影響，取阻尼比：拱壩0.030.05，重力壩0.050.1，土壩0.10.2二、阻尼的量測對相鄰幅值比取自然對數，稱為對數遞減率 即：222ln1DTyDDeT222yy由此得：（2-13）為獲得更高精度的 可量測相隔m個周期的兩個幅值比，這時阻尼比為：222yym（2-14）221yDmmT 其中：考慮到實際阻尼一般均小于0.2，可取11ln22ynnAA211則（2-13）和（2-14）可以簡化為：或1ln22yn

7、n mAmmA（2-16）（2-15）例2-5 結構參數如例1，若使m產生側移25mm，然后突然放開，剛架產生自由振動，振動5周后測得的側移為7.12mm，試求1）考慮阻尼時的自振頻率，2）阻尼比和阻尼系數，3）振動10周后的振幅。解：由y0=25mm和y0+5Td=7.12mm，求阻尼比和阻尼系數。00 51125lnln0.04210107.12dyTymy考慮阻尼影響的自振頻率和工程頻率22 5000 28.284 0.04 11313.6/Cmkg s 22128.28410.0428.281/drads214.498dffHz顯然與 非常接近。f由2dmn mnyey取n=0，m=5

8、,10 有：2 550dyey 2 10100dyey 兩式相除：2 51055000/dyyyeyyy 22510007.122.02825yyymmy2.3單自由度系統簡諧荷載作用下的受迫振動一、無阻尼受迫振動1、無阻尼受迫振動方程的解( )( )sinmy tky tFt設動力荷載為簡諧荷載則無阻尼受迫振動運動方程為：2( )( )sinFy ty ttm即：12( )sincosy tCtCt其解由齊次解與特解組成。設特解為：*( )siny tDt代入方程得22()FDm22*( )sin()Fyttm再由初始條件可確定齊次解中的C1、C2002222( )sincossinsiny

9、FFy ttytttmm222221( )sin=sin(1)FFy tttmm 前三項頻率都為自由振動的頻率，后一項頻率為荷載頻率當考慮阻尼時，前三項的自由振動將會很快衰減掉，之后系統只按干擾力頻率受迫振動。2、動力系數 對于純受迫振動2112kmmkm( )sinsinstFy ttytkmaxmax/ststyy oryy設又則故 振幅（振動的最大值）這里sty為動力荷載振幅值作用于質體所產生的靜位移稱為動力系數也稱振幅放大系數。討論：1）2）11maxstyy則 為正( )y t 與F(t)方向一致11maxstyy它相當于靜荷載作用10( )y t 與F(t)方向相反 為負 0max

10、0y只在平衡位置作微小的振動maxy 共振3）=1 例：圖示無重簡支梁，跨中有重為m的質點，動力荷載為 作用，若 及 試求在荷載F(t)作用下，質體的最大動力位移。( )=sinF tFt1348=0.8EIml2348=1.2EImlL/4L/2L/21F(t）EI2解：用圖乘法求柔度系數，311=48lEI31211=768lEI該梁的自振頻率311148=EImml按疊加原理列質點的運動方程：1112=()( )ym yF t即：21211( )0.6875sinF tFyytmm于是：222(0.6875)sin/(1)Fytm12當荷載按3max=0.0398FlyEI3max=0.

11、0326FlyEI振動時當荷載按振動時例：圖示簡支梁，其上安裝有一臺質量為m=2000Kg的發動機，轉動時的離心力P=1960N,設梁為22b號工字型鋼, 試驗算當發動機轉數為400到500r/min時，應增大還是降低梁的慣性矩43570cmI 42=2.058 10/EN m =120PaI25a號工字型鋼工字型鋼 22b號工字型鋼工字型鋼45023.54cmI 42500cmI 3w250cmPsin ta=2mb=3m解：梁的自振頻率：=stgy2211118232000 9.8 4 933 2.058 103570 1050.0064( )stymgmgEIlm 9.8=39.1/strad sy當12400=400 / min41.9/60rrad s時22500=500 / min52.4/60rrad s自振頻率與1相當接近，放大系數241.939.11=6.741 () 20b號工字型鋼工字型鋼梁上最大應力0max1=()108.