1、首席教授：鄒謀炎首席教授：鄒謀炎 主講教師：劉主講教師：劉 艷艷 1課程內(nèi)容：預(yù)備知識： 信號分析基礎(chǔ)信號分析基礎(chǔ)維納濾波、卡爾曼濾波、自適應(yīng)濾波維納濾波、卡爾曼濾波、自適應(yīng)濾波功率譜估計功率譜估計時頻分析時頻分析概率論和隨機過程概率論和隨機過程信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)數(shù)字信號處理基礎(chǔ)數(shù)字信號處理基礎(chǔ)課程目標： 強化專業(yè)基礎(chǔ)強化專業(yè)基礎(chǔ)引導(dǎo)研究引導(dǎo)研究特別建議：學(xué)生應(yīng)掌握 MATLAB 使用方法2平時作業(yè) 15%上機作業(yè) 25% 閉卷考試 60%課件下載：課程網(wǎng)站Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, S.Hamid Nawab,信號與系統(tǒng), (第2版)（英文版）

2、，電子工業(yè)出版社，北京，2015。Alan V. Oppenheim, Ronald W.Schafer,離散時間信號處理, (第 3版)(英文版） ，電子工業(yè)出版社，北京，2011。Roberto Cristi, Modern Digital Signal Processing, Thomson- Brooks/Cole，2004。 參考書3傅里葉級數(shù)（FS）傅里葉變換（FT）離散時間傅里葉變換（DTFT）離散傅里葉變換（DFT）Z變換系統(tǒng)特性 基本關(guān)注點： 變換的基本性質(zhì) 適應(yīng)范圍 應(yīng)用方法、限制4傅里葉級數(shù)（FS） 周期為 T 的時間函數(shù) x(t)，如果滿足Dirichlet條件，則可以

3、展成正弦和余弦函數(shù)的代數(shù)和：Ttnbtnaatxnnn2 ,sincos2)(10或 .)(1ntjnnectx 擴展概念： 1、正交基 概念 2、時域周期函數(shù) 頻域離散譜 3、收斂性：當(dāng) 是連續(xù)可微周期函數(shù)，級數(shù)一致收斂。 當(dāng) 在周期T上平方可積，級數(shù)均方收斂。 )(tx )(tx5傅里葉變換（傅里葉積分）（FT） 如果（非周期）函數(shù) x(t) 在 上絕對可積，則有傅里葉變換：),(dtetxXtj)()(deXtxtj)(21)(重要事實： 時域函數(shù): 非周期 連續(xù) 頻域譜: 連續(xù) 非周期6傅里葉變換：幾個重要基本性質(zhì)dYXdttytx)()(21)()(*Parseval 定理dXdtt

4、x22| )(|21| )(|卷積定理)()()()()(YXdtyxtyx自相關(guān)定理2*| )(|)()()(: )(XRdtxxtr7 離散時間傅里葉變換（DTFT） 離散非周期序列 x(n) 如果絕對可和，則有離散時間傅里葉變換nnjjenxeX)()(deeXnxnjj)(21)( 重要事實： （1）描述和分析物理事實的最重要工具。 （2）承襲了（連續(xù)時間）傅里葉變換的重要基本性質(zhì)。 （3）DTIFT 不方便計算。 （4）時域函數(shù): 非周期 離散 頻域譜: 連續(xù) 周期典型應(yīng)用：采樣數(shù)據(jù)分析、處理和應(yīng)用 采樣數(shù)據(jù)控制系統(tǒng)，雷達跟蹤系統(tǒng)8 離散傅里葉變換（DFT） 周期為 N 的離散序列

5、x(n) 可以表達為 N 點離散傅里葉變換10/2)()(NnNknjenxkX10/2)()(NnNknjekXnx 不可忘記的基本事實： 1、DFT是“離散周期序列”的變換。 2、物理上的“有限序列”或“離散非周期序列”適合用 DTFT來分析。 對“有限序列”使用 DFT，必隱含著將有限序列延拓成周期序列。 3、因此，對“有限序列”使用 DFT 進行計算時，必須注意它和 DTFT 的差別，仔細檢查結(jié)果的合理性，并對誤差進行分析和處理。 正、反變換都有快速有效算法 研究和工程中最常用的計算工具9 Z 變換 離散非周期序列 x(n) 如果絕對可和，則有 Z 變換nnznxzX)()(zzzXj

6、nxnd)(21)(1 )()()()(zYzXnynx) *1 (*)()(*)(zXzXnxnx卷積: 自相關(guān): Z 變換DTFTnnznxzX)()(nnjjenxeX)()()(zej從單位圓解析延拓到 z z平面 Z變換是描述和分析離散系統(tǒng)（采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)）最方便的工具 DTFT最方便于計算和分析離散系統(tǒng)的頻域特性10)(nh-系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系（差分方程）：)()()(knxkhnyk因果因果系統(tǒng)：0)( , 0 nhnif有界輸入有界輸出穩(wěn)定穩(wěn)定系統(tǒng)：kkh| )(|因果性和有界輸入有界輸出穩(wěn)定性是線性系統(tǒng)合理性的基本條件。11有限脈沖響應(yīng)（FIRFIR）系統(tǒng)：h(n

7、) 是一個有限長序列。系統(tǒng)差分方程：)()()(10knxkhnyMk 典型應(yīng)用系統(tǒng)：雷達信號橫向濾波器、數(shù)字波束形成和掃描 通訊信號自適應(yīng)均衡器有限離散卷積12無限脈沖響應(yīng)（IIRIIR）系統(tǒng)：h(n) 是一個無限長序列。系統(tǒng)差分方程：piqjjijnxbinyany10)()()(系統(tǒng)函數(shù)ppqqzazazbzbbzAzBzHzXzY111101)()(:)(:)()(h(n) 是系統(tǒng)函數(shù) 展成 Laurent 級數(shù)的各個系數(shù)。)(zH差分方程描述的典型系統(tǒng)稱為 ARMA（p，q）系統(tǒng)。典型應(yīng)用系統(tǒng)：雷達（距離、角度）跟蹤系統(tǒng) 采樣數(shù)據(jù)自適應(yīng)控制系統(tǒng)13ppqqzazazbzbbzAzBz

8、HzXzY111101)()(:)(:)()(系統(tǒng)函數(shù)能夠?qū)懗梢蚴椒纸庑问剑簆jjqiizpzzzH1111)1 ()1 ()()(zH因果、穩(wěn)定（因果、穩(wěn)定（BIBO穩(wěn)定）系統(tǒng)：穩(wěn)定）系統(tǒng)： 的全部極點的全部極點 pj j 落在單位圓內(nèi)。落在單位圓內(nèi)。 )(zH最小相位系統(tǒng)：全部極點最小相位系統(tǒng)：全部極點 pj j 和全部零點和全部零點 zi 落在單位圓內(nèi)。落在單位圓內(nèi)。最小相位信號：信號能量延時最小或信號群延時最小。最小相位信號：信號能量延時最小或信號群延時最小。逆系統(tǒng)：以逆系統(tǒng)：以 的逆的逆 作為系統(tǒng)函數(shù)。作為系統(tǒng)函數(shù)。)(zH)(1zH最小相位系統(tǒng)：最小相位系統(tǒng)： 和和 都是因果、穩(wěn)定

9、系統(tǒng)。都是因果、穩(wěn)定系統(tǒng)。)(1zH14一、概率論的某些經(jīng)典結(jié)果 隨機變量的統(tǒng)計特征： 假定：概率分布函數(shù)絕對連續(xù)，可以用分布密度表達。xdefdxxxpXE)(期望值（均值、系綜平均）： dxxpxgXgE)()()(X 的函數(shù) g(X)的期望值： ndefnndxxpxXE)(n 階矩： 222)()()(defdxxpxXE方差： dxdyyxxypXYE),(（互）相關(guān)： dxdyyxpyxYXEyxyx),()()(（互）協(xié)方差：15YEXEXYEX 和和 Y 獨立獨立（互不相關(guān)（互不相關(guān)):):0)(yxYXE或X 和和 Y 正交正交: :0XYE隨機變量的特征函數(shù)dxxpeeEj

10、Cxjxj)()(特征函數(shù)又稱為矩生成函數(shù)16二、確定性信號和隨機信號 確定性信號：或稱為可預(yù)測信號，根據(jù)一定的起始條件或若干過去及當(dāng)前的觀測，能夠用數(shù)學(xué)和物理模型來準確預(yù)測尚未出現(xiàn)的數(shù)據(jù)。 通常將非確定性或非可預(yù)測的信號稱為隨機信號。三、隨機過程的數(shù)學(xué)定義 隨機過程：指隨時間推移而演化的隨機現(xiàn)象。 關(guān)于隨機過程的公理化定義：主要由 A.H.A.H. 推動，得到數(shù)學(xué)研究者的廣泛接受和發(fā)展。公理化定義中引入了“概率空間”的概念：包涵隨機事件全體的基本空間 ，全體事件所構(gòu)成的集類，全體事件所構(gòu)成的集類 J, ,事件或事件集合出現(xiàn)的概率測度P，（，J, , P）構(gòu)成概率空間，是更一般測度空間的一種特

11、例。設(shè) T 是指標（時間）t 的集合，如果對每個tT，有定義在 上的隨機變量X(t)，就稱隨機變量族 X = X(t)，tT為一個隨機過程。17四、隨機過程的某些知識 對隨機過程可以從兩個方面進行統(tǒng)計研究：系綜統(tǒng)計系綜統(tǒng)計（Ensemble statistics): 基于觀測值分布特性假定的統(tǒng)計。在任何一個時刻一個時刻，觀測量可能隨機地取不同數(shù)值，系綜統(tǒng)計是對取值的概率特征進行統(tǒng)計。對大量數(shù)據(jù)，系綜統(tǒng)計強調(diào)每個數(shù)據(jù)都是獨立試驗結(jié)果，不看重時間順序。 系綜統(tǒng)計符合概率論嚴格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。時間統(tǒng)計時間統(tǒng)計（Time statistics） 基于觀測量的時間記錄（連續(xù)過程或采樣序列)，對觀測量的數(shù)值分

12、布特征進行統(tǒng)計。時間統(tǒng)計符合人們的觀測習(xí)慣。 18四、隨機過程的某些知識平穩(wěn)性平穩(wěn)性 （Stationary） 一個隨機過程 X(t) 需要用一組時刻 t1,t2,tN 觀測的一組隨機變量 X1,X2,XN 的聯(lián)合統(tǒng)計分布 P(x1,x2,xN) 來描述。對固定的 N，如果聯(lián)合分布關(guān)于時間軸的任意偏移不變，則該過程是一個平穩(wěn)到 N 階的隨機過程；如果 N 時過程是平穩(wěn)的，則是一個嚴格平穩(wěn)過程。 常見的非平穩(wěn)過程如均值時變或方差時變的過程。 平穩(wěn)到二階的過程稱為廣義平穩(wěn)過程。遍歷性遍歷性 （Ergodicity） 一個隨機過程 X(t) 稱為具有遍歷性的，如果該過程按系綜統(tǒng)計和按時間統(tǒng)計的結(jié)果是

13、一致的。特別地，如果過程的時間自相關(guān)按概率1 收斂于系綜自相關(guān)，則稱該過程具有自相關(guān)遍歷性。 一個具有遍歷性的過程必定是平穩(wěn)的，但一個平穩(wěn)過程不必具有遍歷性。19補充材料：關(guān)于 Riemann-Stieltjes 積分 設(shè) f(x) 和 g(x)是 a,b 上的兩個有界函數(shù)，取 a,b 的一組分點 a = x0 x1 x2 xn = b 在每個區(qū)間 xi xi+1 中任取一點 ci，作和式 101)()()(niiiixgxgcfS 如果當(dāng)最大劃分長度 時，以上和式存在且與分0)(max110iinixxl點 xi 及 ci 的選取無關(guān)，則稱該和式的極限為 f(x)在 a,b 上關(guān)于 g(x)

14、 的 Riemann-Stieltjes 積分，記為badefniiiillxdgxfxgxgcfS)()()()()(limlim10100特例：當(dāng)取 g(x) = x 時，Riemann-Stieltjes 積分變成常規(guī)的 Riemann 積分。如果 g(x) 連續(xù)可微， Riemann-Stieltjes 積分可以寫成常規(guī)積分形式：babadxxgxfxdgxf)( )()()(20補充材料：關(guān)于 Riemann-Stieltjes 積分 最具特色的性質(zhì)：1、若 f(x) 是 a,b 上的連續(xù)函數(shù)， g(x)是 a,b 上的單調(diào)函數(shù)單調(diào)函數(shù)，則積分baxdgxf)()( 存在；若 g(x

15、)是 a,b 上的有界變差函數(shù)有界變差函數(shù)，則積分 2、可以定義函數(shù) f(x) 在一個點一個點 x = a 上上關(guān)于 g(x)的 Riemann-Stieltjes 積 分 。)()0()0()()()(aagagafxdgxf 對概率論的應(yīng)用對概率論的應(yīng)用： 無論隨機變量的概率分布是否適合用密度函數(shù)表達無論隨機變量的概率分布是否適合用密度函數(shù)表達（例如對離散型或離散-連續(xù)混合型隨機變量),它的積分分布函數(shù)總是單調(diào)的有界變差函數(shù)。于是，任何隨機變量及其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望總可以表達為任何隨機變量及其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望總可以表達為 )()()(xdPxfXfEbaxdgxf)()(存在。如果積分分布P(x

16、)連續(xù)可微，則可用分布密度 p(x) 表達：dxxpxfxdPxfXfE)()()()()(21五、廣義平穩(wěn)過程的統(tǒng)計描述 一個隨機過程 x(t) 的（系綜）自相關(guān)函數(shù)，定義為),(),(21*21*2121xxdPxxXXEttRx如果隨機過程的均值是常數(shù)且二階平穩(wěn)，則稱為廣義平穩(wěn)過程。廣義平穩(wěn)過程的自相關(guān)與時間的計算起點無關(guān)，有)(: )(),(1221xxxRttRttR同時，可以定義按時間統(tǒng)計的自相關(guān)：用記號)()(:)()(21lim)(*tXtXdttXtXTTTTx 需要注意的約定：E- 系綜統(tǒng)計系綜統(tǒng)計符號- 時間統(tǒng)計時間統(tǒng)計符號22六、平穩(wěn)隨機序列的統(tǒng)計特征)()(nnxxd

17、PxnxE),()(*knnknnknnxxxxdPxxxxEkr均值：)()()(222nxnxxxdPxnxE方差：自相關(guān)：2*|)()()(xxxxknxnxxkrxxEkc自協(xié)方差：互相關(guān)：),()(*knnknnknnxyyxdPyxyxEkryxxyyknxnxykryxEkc*)()()(互協(xié)方差：23七、平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)和功率譜)(),()()()()()(*txtxdPtxtxtxtxERx設(shè)平穩(wěn)隨機過程 x(t) 的均值為 0。其（系綜）自相關(guān)為 一個絕對可積函數(shù)或有限長序列，自相關(guān)的傅里葉變換等于信號自相關(guān)的傅里葉變換等于信號功率譜，功率譜，這可以直接從卷積定理卷積定

18、理簡單地證明。該事實可見于30年代Wiener 的工作。一個平穩(wěn)隨機過程及其自相關(guān)在（-，）上一般不是絕對可積的，傅里葉變換的理論不能直接應(yīng)用，“自相關(guān)的傅里葉變換等功率譜”這個說法還成立嗎？ 最早嚴格地回答這個有深度的問題，這個結(jié)果現(xiàn)在稱為Wiener- 定理定理，簡介簡介如下 定理定理包含以下幾個內(nèi)容：（1）譜分解定理：譜分解定理：證明廣義平穩(wěn)過程的自相關(guān)有一個譜分解譜分解表達式)()(dFeRjx其中 F()是一個有界非降函數(shù)，稱為過程 x(t) 的積分譜。如果積分譜連續(xù)可微，則可表達為(1)dFeRjx)( )(24七、（續(xù)） 公式（1）說明 是一個隨機過程的特征函數(shù)，相應(yīng)的積分分布是

19、 。可以假定在 點 連續(xù)，即)(xR)(F0)(F)0()0(FF（2 2）遍歷性定理）遍歷性定理：設(shè) x(t) 是一個連續(xù)平穩(wěn)過程，則有TTTxtxdttxTtxdPtxtxE)(:)(21lim)()()()()(*txtx同時，對固定的 ， 也是連續(xù)平穩(wěn)過程，有)()(:)()(21lim)()()(*txtxdttxtxTtxtxERTTTx遍歷性成立的必要充分條件是遍歷性成立的必要充分條件是TTTdRT0)(21limTTTduuBT0)(21lim以及)(uB其中 是 的自相關(guān)。)()(*txtx 在譜分解定理確定后，可以獲得以下25七、（續(xù)）（3 3） Wiener- 定理：定理

20、： 定義一個截斷的傅里葉變換TTtjTdtetxX)()(相應(yīng)的截斷功率譜期望值是| )(|21)(2TdefTXTES隨機過程的功率譜應(yīng)該是| )(|21lim)(lim)(2TTTTxXTESSTTTTjtjTdexdtetxEXE)()(| )(|*2對第二積分作變換 ，于是t )()()(| )(|)(*2TTTTtjtjTdetxdtetxEXETTjTTdedttxtxE)()(*由遍歷性定理，立即得到deRdetxtxSjxjx)()()()(*26（4 4） Wiener- 定理的進一步解說：定理的進一步解說：dfeRjx)()(譜分解定理表明，隨機信號 x(t) 的自相關(guān)是一個特征函數(shù)，有)( )(Ff其中 是一個譜密度。另一方面，deRSjxx)()(從傅里葉積分理論，表明對平穩(wěn)隨機過程， 確實是一個譜密度，它與 只有標量上的差別。)(f)(xSWiener- 定理的離散版本需要用定理的離散版本需要用DTFT來表達來表達kkjxjxekReS)()(或直接將（系綜）功率譜與序列的DTFT關(guān)聯(lián)起來，表達為MMnjnMjxenxMEeS|)(|121lim)(227基本輸入輸出關(guān)系)()()(knxkhnyk如果 x(n) 廣義平穩(wěn)，易證明 y(n) 也廣義平穩(wěn)。其自相關(guān)是)()()()()