1、會計學1線性代數(shù)線性代數(shù)52是是 A的特征值的特征值 n , 21于是于是 是是 n階階方陣方陣 A的的 n個個線性無關的特線性無關的特征向量。征向量。 nXXX,21 反之，設反之，設n階階方陣方陣 A有有n個個線性無關的特征向量線性無關的特征向量 ，它們對應的特征值為，它們對應的特征值為 則則nXXX,21n ,21iiiXAX （ ） ni, 2 , 1 令令 ，因，因 為為 n個線性無關的個線性無關的 n元列向量，故元列向量，故 P是是 n階方陣且逆。階方陣且逆。21nXXXP nXXX,21第1頁/共28頁又又21nXXXAAP 21nAXAXAX 2211nnXXX nnXXX 2

2、121 第2頁/共28頁 nP 21故故 nAPP 211即即 A可對角化。可對角化。 第3頁/共28頁 定理定理 n階方陣階方陣 A可相似對角化的充分必要條件可相似對角化的充分必要條件是是A有有 n個線性無關的特征向量。個線性無關的特征向量。 例例 下列矩陣是否可對角化下列矩陣是否可對角化 111222111A第4頁/共28頁解解 已知矩陣已知矩陣 111222111A有特征值有特征值 0（二重）和（二重）和 - -2，對應的特征向量分別為，對應的特征向量分別為 ,)1 , 0 , 1(,)0 , 1 , 1(TT T)1 , 2, 1( 因因 0110201111 第5頁/共28頁故這三個

3、特征向量線性無關。于是故這三個特征向量線性無關。于是A可相似對角化。可相似對角化。 以三個特征向量為列構造矩陣以三個特征向量為列構造矩陣 110201111P則則 2001APP第6頁/共28頁例例 已知已知 300320321A問問 A可否相似對角化？可否相似對角化？ 解解 )3)(2)(1(| AI A有特征值有特征值 ，它們對應的特征向，它們對應的特征向量分別為量分別為 3, 2, 1 TTT)1, 3,29( ,)0, 1, 2( ,)0, 0, 1( 第7頁/共28頁 因這三個向量線性無關，故因這三個向量線性無關，故 A可相似對角化。以可相似對角化。以三個特征向量為列構造矩陣三個特征

4、向量為列構造矩陣 1003102921P則則 3211APP第8頁/共28頁 定理定理 設設 是是 A的互不相同的特征的互不相同的特征值，它們對應的特征向量分別為值，它們對應的特征向量分別為 ，則則 線性無關。線性無關。 m ,21mXXX,21證明證明 對對 m作歸納法：作歸納法： m =1： 線性無關；線性無關； 11XX m - -1：設：設 線性無關；線性無關； 121, mXXXm： 證證 線性無關。線性無關。 mmXXX,11 mXXX,21第9頁/共28頁令令 mmXkXk11 則則 AXkXkAmm )(11 )()(11mmAXkAXk mmmXkXk111 由又得由又得 m

5、mmmXkXk11 第10頁/共28頁- -得得 111111)()(mmmmmXkXk根據歸納假設根據歸納假設 線性無關，故線性無關，故 121, mXXX0)( , 0)(1111 mmmmkk 已知已知 互不相同，故互不相同，故 m ,210011 mmm ， 由此得由此得 0, 011 mkk 第11頁/共28頁代入得代入得 mmXk又又 ，故，故 。于是，。于是， 線性無關。線性無關。 mX0 mkmXXX,21 推論推論 若若 n階方陣有階方陣有 n個不同的特征值，則該矩陣個不同的特征值，則該矩陣可相似對角化。可相似對角化。 當方陣有重特征值時，線性無關特征向量的個當方陣有重特征值

6、時，線性無關特征向量的個數(shù)數(shù) 又如何呢？又如何呢？第12頁/共28頁在前面的例中，對矩陣在前面的例中，對矩陣 111222111A其兩個特征值其兩個特征值 - -2與與0（二重）對應的特征向量分別（二重）對應的特征向量分別 TX1, 2, 11 TTXX1, 0, 10, 1, 132 第13頁/共28頁不難發(fā)現(xiàn)，不難發(fā)現(xiàn)， 線性無關線性無關 線性無關線性無關 1X32XX ,線性無關線性無關 定理定理 設設 是矩陣是矩陣A的互不相同特征的互不相同特征值，值， 是是A屬于屬于 的線性無關的線性無的線性無關的線性無關的特征向量，則關的特征向量，則 線性無關。線性無關。 m ,21iiriiXXX

7、,21i mmrmrrXXXXXX,122111121第14頁/共28頁第15頁/共28頁設設 是方陣是方陣A的特征值的特征值 0 設設 ，且，且 則稱則稱 是特征值是特征值 的的代數(shù)重數(shù)代數(shù)重數(shù) ，簡稱為，簡稱為重數(shù)重數(shù)；)()(|00 hAIp0)(0 h0p0 設設 的維數(shù)為的維數(shù)為 ，則稱，則稱 是特征值是特征值 的的幾幾何重數(shù)何重數(shù)。 0 V0q0q0 00VN IA 稱之為稱之為 A 的屬于特征值的屬于特征值 的的特征子空間特征子空間 。0 其中，其中，第16頁/共28頁 定理定理 設設 是方陣是方陣A的特征值，則的特征值，則 的幾何重數(shù)的幾何重數(shù) 不大于其代數(shù)重數(shù)不大于其代數(shù)重數(shù)

8、 。 0 0 0q0p第17頁/共28頁mmpppqqq 2121的階數(shù)的階數(shù)Apppm 21 線性無關特征向量最大個數(shù)線性無關特征向量最大個數(shù) Aqqqm 21第18頁/共28頁 定理定理 設設 是是n階方陣階方陣A的全部互異的的全部互異的特征值，特征值， 和和 分別是特征值分別是特征值 的代數(shù)重數(shù)和幾何的代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù)重數(shù)(i =1, 2, m)，則，則 A可相似對角化的充分必要條可相似對角化的充分必要條件是件是m ,21ipiqi miqpii, ,21 例例 判斷矩陣判斷矩陣 201034011A可否對角化。可否對角化。 第19頁/共28頁解解 2)1)(2(3411)2(2010

9、34011| AIA的特征值為的特征值為2（代數(shù)重數(shù)為（代數(shù)重數(shù)為1）和）和1（代數(shù)重（代數(shù)重數(shù)為數(shù)為2）。）。第20頁/共28頁對對 ，考慮齊次方程組，考慮齊次方程組 ： 1 0)( XAI 000210101101024012行行AI因矩陣因矩陣I- -A的秩為的秩為2，故方程組，故方程組(I- -A)X=0的基礎解系只的基礎解系只含一個解，由此得特征值含一個解，由此得特征值1的幾何重數(shù)為的幾何重數(shù)為1，小于其代，小于其代數(shù)重數(shù)數(shù)重數(shù)2，故，故A不可對角化。不可對角化。 第21頁/共28頁例例 已知已知 12012002aA 問問 滿足什么條件時，滿足什么條件時，A可對角化？可對角化？ a

10、解解 首先首先 212| () ()IA 所以，所以，A的特征值為的特征值為2（代數(shù)重數(shù)為（代數(shù)重數(shù)為1）和）和1（代數(shù)重（代數(shù)重數(shù)為數(shù)為2）。）。第22頁/共28頁 考慮考慮 A的的特征值特征值 1。對方程組。對方程組 ，僅當僅當 秩秩 時，才能使基礎解系含時，才能使基礎解系含 2個解。個解。即此時特征值即此時特征值1的幾何重數(shù)等于的幾何重數(shù)等于2。 0()IA X1()IA又又 0200002001001000aaIA 故故 。 0a 所以，當所以，當 時，時，A可對角化。可對角化。 0a 第23頁/共28頁例例 設設 1111111111111111A求求 。 nA解解 3)2)(2(| AI A有特征值有特征值 - -2 （代數(shù)重數(shù)為（代數(shù)重數(shù)為1）和）和 2（代數(shù)重數(shù)為（代數(shù)重數(shù)為3）第24頁/共28頁對對 ，解，解 得基礎解系得基礎解系 2 0)2( XAITX)0 , 0 , 1, 1(1 TX)0 , 1, 0 , 1(2 TX)1, 0 , 0 , 1(3 故特征值故特征值2的幾何重數(shù)也為的幾何重數(shù)也為3，由此得由此得A可對角化。可對角化。 第25頁/共