1、會計學1D101二重積分概念二重積分概念81107解法解法: 類似定積分解決問題的思想:1.曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 給定曲頂柱體:0),(yxfz底：底： xoy 面上的閉區域 D頂頂: 連續曲面側面：側面：以 D 的邊界為準線 , 母線平行于 z 軸的柱面求其體積.“大化小, 常代變, 近似和, 取極限” D),(yxfz 第1頁/共23頁D),(yxfz 1)“大化小”用任意曲線網分D為 n 個區域n,21以它們為底把曲頂柱體分為 n 個2)“常代變”在每個k, ),(kk3)“近似和”nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfVkkkk則中任取一點小曲頂

2、柱體k),(kk第2頁/共23頁4)“取極限”的直徑為定義kkk,PPPP2121max)(令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(yxfz ),(kkfk),(kk第3頁/共23頁有一個平面薄片, 在 xoy 平面上占有區域 D ,),(Cyx計算該薄片的質量 M .度為),(),(常數若yx設D 的面積為 ,則M若),(yx非常數 , 仍可用其面密 “大化小, 常代變,近似和, 取極限” 解決.1)“大化小”用任意曲線網分D 為 n 個小區域,21n相應把薄片也分為小區域 .Dyx第4頁/共23頁2)“常代變”中任取一點k在每個),(kk3)“近似和”nkkMM1nkkkk

3、1),(4)“取極限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),2, 1(),(nkMkkkk則第 k 小塊的質量yx第5頁/共23頁兩個問題的共性共性：(1) 解決問題的思路相同(2) 所求量的結構式相同“大化小, 常代變, 近似和,取極限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲頂柱體體積: 平面薄片的質量: 第6頁/共23頁定義定義:),(yxf設將區域 D 任意分成 n 個小區域),2,1(nkk任取一點,),(kkk若存在一個常數 I , 使nkkkkfI10),(lim可積可積 , ),(yxf則稱Dyxfd),(),(yxfI為稱在D上的

4、二重積分二重積分.稱為積分變量yx,積分和Dyxfd),(積分域被積函數被積表達式面積元素記作是定義在有界區域 D上的有界函數 , 第7頁/共23頁DyxfVd),(引例1中曲頂柱體體積:DyxMd),(引例2中平面薄板的質量:如果 在D上可積,),(yxf也常d,ddyx二重積分記作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 這時分區域D , 因此面積元素可用平行坐標軸的直線來劃 記作Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(第8頁/共23頁若函數),(yxf),(yxf定理2.),(yxf上可在則Dyxf),(證明略)定理1.在D上可積可積.限個點或有限條光滑曲線外都連續 ,積.在有界閉區域 D

5、上連續, 則若有界函數在有界閉區域 D 上除去有 例如例如, yxyxyxf22),(在D :10 x10 y上二重積分存在 ;yxyxf1),(但在D 上 y1xo1D二重積分不存在 . 第9頁/共23頁Dyxgyxfd),(),(. 121d),(d),(d),(. 2DDDyxfyxfyxf, 1),(. 3yxfD上若在DDdd1 為D 的面積, 則 ),(2121無公共內點DDDDDDDyxgyxfd),(d),(第10頁/共23頁特別, 由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(則Dyxfd),(Dyxd),(4. 若在D上),(yxf, ),(yxDyxfd),(5

6、. 設),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面積為 ,MyxfmDd),(則有第11頁/共23頁6.(二重積分的中值定理),(yxf設函數,),(D),(),(fdyxfD證證: 由性質6 可知,MyxfmDd),(1由連續函數介值定理, 至少有一點D),(Dyxffd),(1),(),(d),(fyxfD在閉區域D上 為D 的面積 ,則至少存在一點使使連續,因此第12頁/共23頁xyoD),(yxfD 位于 x 軸上方的部分為D1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf當區域關于 y 軸對稱, 函數關于變量 x 有奇

7、偶性時, 仍1D在 D 上d),(21Dyxf在閉區域上連續, 域D 關于x 軸對稱,則則有類似結果.在第一象限部分, 則有1:,221 yxDD 為圓域如Dyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0第13頁/共23頁d)(,d)(32DDyxyx其中2) 1()2( :22yxD解解: 積分域 D 的邊界為圓周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它與 x 軸交于點 (1,0) ,.1相切與直線 yx而域 D 位, 1 yx從而d)(d)(32DDyxyx于直線的上方, 故在 D 上 1y2xo1D第14頁/共23頁yxyxyxdd1432222的正負

8、號.解解: 分積分域為,321DDD則原式 =yxyxDdd11322yxyxDdd12322yxyxDdd133221ddDyxyxDdd1333)34(2323D32D11Dyxo0)21 (3猜想結果為負 但不好估計 .舍去此項第15頁/共23頁10:coscos100ddI22yxDyxyxD解解: D 的面積為200)210(2由于yx22coscos1001積分性質5100200I102200即: 1.96 I 210101010D10011021xyo第16頁/共23頁xbad 設曲頂柱的底為bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲頂柱體體積為D

9、yxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面積為yyxfxxd),()()(21baxxAd)(截柱體的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD第17頁/共23頁ydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxD),()(),(21同樣, 曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd第18頁/共23頁1. 二重積分的定義Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2. 二重積分的性質 (與定積分性質相似)3. 曲頂柱體體積的計算二次積分法第19頁/共23頁被積函數相同, 且非負, yxyxIyxdd1122yxyxIyxdd12yxyxIdd11113解解: 321,III由它們的積分域范圍可知312III11xyo1. 比較下列積分值的大小關系:第20頁/共23頁,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小順序為 ( ).)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示: 因 0 y 1, 故