1、數學建模課程設計報告標槍投擲模型學 院專 業學 號姓 名指導教師成 績教師評語：指導教師簽字： 2014年7月16日做事做實1 緒 論1.1 課題的背景標槍是田徑運動的投擲項目之一，對核心力量與大腿手臂力量要求嚴格，但是實際上，標球運動并不是一項只靠身體素質就能取得好成績的運動，除了與選手的比賽狀態有關外，還與選手所采用的技術有關。而本次我們就來研究一下在確定的力量與身高下求最佳的出手角度。進而再研究通過一定的訓練使力量增加，研究力量與出手角度和距離的關系。建立標槍擲遠模型。不考慮阻力，設標槍初速度為，出手高度為，出手角度為（與地面夾角），建立投擲距離與，的關系式，計算在確定的，下，計算最佳出

2、手角度，進而研究出手速度與出手角度的關系。1.2 預備知識上述問題是最優化問題，首先應該考慮投擲距離與初速度、出手高度和出手角度之間的關系，這個需要用到一定的物理知識：拋體運動的水平位移和豎直位移的計算方法。在得到這個關系后，進而轉化為初速度、出手高度一定的情況下，求解最佳出手角度。2 計算機工具簡介MATLAB具有非常豐富的圖像表達功能，它提供了豐富的作圖命令，利用它們可以容易地畫出各種函數的二維或三維曲線圖形，可以方便地實現數學計算的結果可視化，從中掌握函數的性質和變化趨勢，從而求出模型的最優解。本模型將首先計算出慮投擲距離與初速度、出手高度和出手角度之間的函數關系式，接著在初速度、出手高

3、度一定的情況下，找出投擲距離與出手角度之間的關系。然后給出一組具體的初速度和出手高度，利用MATLAB作圖工具繪制出投擲距離和出手角度的關系圖，從曲線中掌握函數的變化趨勢，最終求出最優解。再對出手角度與出手速度都未知求它們與最遠距離的關系，以及出手角度與出手速度的對最遠距離的影響關系。3 模型的假設3.1 模型假設 (1)標槍運行的過程中沒有任何阻力；(2)可以將標槍看作一個質點；(3)投射角度與投射初速度是兩個相互獨立的量；(4)設當地的重力加速度為，且取值為9.8m/s，并在投擲的任意點都相等；(5)標槍運動軌跡在同一平面內，且地面處處水平。(6)不考慮標槍的旋轉。3.2 符號說明 ：標槍

4、初速度； ：在水平方向上的分量；：在豎直方向上的分量；：重力加速度； ：投射高度；：出手角度；：標槍運行的時間；：標槍在水平方向的位移（即為投擲距離）；：標槍在豎直方向的位移。4 模型的建立與求解一、 在確定的，下計算最佳出手角度 由題目所示，再根據物理知識可得，標槍投擲軌跡為一拋物線，且初速度和出手高度一定，因此可以建立一個平面直角坐標系，分別對水平和豎直兩個方向進行分析，標槍投擲出去后，它在水平方向作勻速直線運動，在豎直方向受重力影響作豎直上拋運動，加速度為。所以標槍的運動軌跡為兩個運動的疊加，圖像如圖1所示。圖4.1 標槍投擲軌跡圖出手時的速度可以分解為：水平方向：垂直方向：則有水平位移

5、和豎直位移分別為：消去，有令方程中的為0，有：舍去負根，有：取=1.8m, =10m/s，利用MATLAB作圖工具繪制出投擲距離和出手角度的關系圖。a = 0:0.01:1.57x = (25.*sin(2*a)./19.6 + sqrt(25.*sin(2*a)./19.6).*(25.*sin(2*a)./19.6) + (360.*(cos(a).*(cos(a)./9.8)plot(a, x)title(標槍投擲距離與出手角度的關系)xlabel(出手角度)ylabel(投擲距離)grid結果如圖4.2所示：圖 4.2 標槍投擲距離與出手角度的關系圖由圖可知，最大值的坐標為（0.40,

6、 6.50）。二、 研究不同的出手速度下最佳的出手角度當和一定時，研究的變化對出手角度的影響。便為關于的函數，即：則對求一階導數為：令，有：解得：所以在給定出手高度，對于不同的出手速度，為最佳出手角度。將上式代入中，得：Matlab命令：1.在給定出手速度v下要達到最大射程時對應的角度函數文件：function f=fun_sv(v)f=0.5*acos(1.8*9.8/(1.8*9.8+v*v)/pi*180;繪出圖像：fplot(fun_sv,0,100);xlabel(速度V m/s);ylabel(角度);title(v不同得到最大投擲距離時對應的角度曲線 );axis(0 50 0

7、60);結果如圖4.3所示：圖 4.3出手速度不同時得到最大投擲距離對應的角度曲線5 模型結果 5.1 模型的評價標槍的投擲模型在運動員訓練比賽中經常能夠遇到，在運動員身體條件大致相當的情況下，該模型具有一定的參考價值結合實際情況對問題進行求解，使得模型具有很好的通用性和推廣性，而且模型的最終計算方法簡便，計算過程簡單，最終得到結果與理論基本相符。但是由于條件限制，本模型考慮得是標槍在沒有任何阻力的情況下，而實際情況中都會有一定的阻力。此外，標槍投擲的距離由很多因素決定，重力加速度也會隨地域的不同而變化。我們建立的模型只是簡單地研究了這個問題，比起實際問題的復雜程度，有很多因素沒有考慮到。5.

8、2 模型的推廣本模型不僅可以用于標槍投擲問題，還可以推廣到其他運動中。運用該模型的目的就是確定出手角度和最大投擲距離。此外，還可以根據此來引導運動員的一些運動習慣，從而在訓練和比賽中隊運動員和教練有一定的理論指導意義。結 論標槍運動作為一個傳統的比賽項目，對增強體質，特別是發展軀干和上下肢力量有顯著的作用。如何能夠在比賽中取得更好的成績，是個困擾很多運動員和教練的問題。因此，能夠通過數學模型的知識解決這個問題是很有意義的。本模型首先建立了鉛球投擲的軌跡圖，然后根據物理知識，把該運動分為水平和豎直兩個方向來考慮，計算出慮投擲距離與初速度、出手高度和出手角度之間的函數關系式，接著在初速度、出手高度一定的情況下，找出投擲距離與出手角度之間的關系。然后給出一組具體的初速度和出手高度，利用MATLAB作圖工具繪制出投擲距離和出手角度的關系圖，從曲線中掌握函數的變化趨勢，最終求出最優解。得到結論是：在=1.8m, =10m/s時，出手的角度約為0.40（約為23度），投擲距離約為6.5m。當出手角度為時，標槍投得最遠。由圖4.3得，不同的出手速度對應不同的最佳角度，速度不斷增加的時候，角度趨于45。根據不同運動員的具體情況可從圖4.3中確定最佳出手角度。參考