1、拉普拉斯變換基本要求拉普拉斯變換的定義、收斂域的概念：熟練掌握拉普拉斯變換的性質、卷積定理的意義及它們的運用。能根據時域電路模型畫出S域等效電路模型,并求其沖激響應、零輸入響應、零狀態響應和全響應。能根據系統函數的零、極點分布情況分析、判斷系統的時域與頻域特性。理解全通網絡、最小相移網絡的概念以及拉普拉斯變換與傅里葉變換的關系。會判定系統的穩定性。知識要點1. 拉普拉斯變換的定義及定義域（1） 定義單邊拉普拉斯變換：正變換逆變換 雙邊拉普拉斯變換：正變換 逆變換（2） 定義域若時,則在的全部范圍內收斂,積分存在,即的拉普拉斯變換存在。就是的單邊拉普拉斯變換的收斂域。與函數的性質有關。2. 拉普

2、拉斯變換的性質（1） 線性性若,為常數時,則（2） 原函數微分若則式中是r階導數在時刻的取值。（3） 原函數積分若,則式中（4） 延時性若,則（5） s域平移若,則（6） 尺度變換若,則（a0）（7） 初值定理（8） 終值定理（9） 卷積定理若,則有=3. 拉普拉斯逆變換（1） 部分分式展開法首先應用海維賽展開定理將展開成部分分式,然后將各部分分式逐項進行逆變換,最后疊加起來即得到原函數。（2）留數法留數法是將拉普拉斯逆變換的積分運算轉化為求被積函數在圍線中所有極點的留數運算,即若為一階級點,則在極點處的留數若為k階級點,則4. 系統函數（網絡函數）H（s）（1） 定義系統零狀態響應的拉普拉斯

3、變換與激勵的拉普拉斯變換之比稱為系統函數,即沖激響應與系統函數構成變換對,即系統的頻率響應特性式中,是幅頻響應特性,是相頻響應特性。（2） 零極點分布圖 式中,是系數；,為的零點；,為的極點。在s平面上,用“”表示零點,“”表示極點。將的全部零點和極點畫在s平面上得到的圖稱為系統的零極點分布圖。對于實系統函數而言,其零極點要么位于實軸上,要么關于實軸成鏡像對稱分布。（3） 全通函數如果一個系統函數的極點位于左半平面,零點位于右半平面,而且零點與極點對于軸互為鏡像,那么這種系統函數稱為全通函數,此系統則為全通系統或全通網絡。全通網絡函數的幅頻特性是常數。（4） 最小相移函數如果系統函數的全部極點

4、和零點均位于s平面的左半平面或軸,則稱這種函數為最小相移函數。具有這種網絡函數的系統為最小相移網絡。（5） 系統函數的求解方法由沖激響應求得,即。對系統的微分方程進行零狀態條件下的拉普拉斯變換,然后由獲得。根據s域電路模型,求得零狀態響應的像函數與激勵的像函數之比,即為。5. 系統的穩定性若系統對任意的有界輸入,其零狀態響應也是有界的,則此系統為穩定系統。（1）穩定系統的時域判決條件（充要條件） 若系統是因果的,則式可改寫為（2） 對于因果系統,其穩定性的s域判決條件若系統函數的全部極點落于s左半平面,則該系統穩定；若系統函數有極點落于s右半平面,或在虛軸上具有二階以上的極點,則該系統不穩定；

5、若系統函數沒有極點落于s右半平面,但在虛軸上有一階極點,則該系統臨界穩定。內容摘要系統函數的定義由零極點的決定系統的時域特性由零極點的分析系統的穩定性由零極點的分析系統的頻響特性拉氏變換的定義和收斂域典型信號的拉氏變換二單邊拉氏變換逆變換的求法部分分式展開法圍線積分法三拉氏變換的基本性質 四用拉普拉斯變換法分析電路五系統函數一.拉普拉斯例1求下列函數的拉氏變換 分析拉氏變換有單邊和雙邊拉氏變換,為了區別起見,本書以表示單邊拉氏變換,以 表示雙邊拉氏變換。若文字中未作說明,則指單邊拉氏變換。單邊拉氏變換只研究的時間函數,因此,它和傅里葉變換之間有一些差異,例如在時移定理,微分定理和初值定理等方面

6、。本例只討論時移定理。請注意本例各函數間的差異和時移定理的正確應用。解答例2求三角脈沖函數如圖4-2（a）所示的象函數分析和傅里葉變換類似,求拉氏變換的時,往往要借助基本信號的拉氏變換和拉氏變換的性質,這比按拉氏變換的定義式積分簡單,為比較起見,本例用多種方法求解。解答方法一：按定義式求解 方法二：利用線性疊加和時移性質求解 方法三：利用微分性質求解 方法四：利用卷積性質求解 方法一：按定義式求解方法二：利用線性疊加和時移性質求解 由于于是 方法三：利用微分性質求解分析 信號的波形僅由直線組成,信號導數的象函數容易求得,或者信號經過幾次微分后出現原信號,這時利用微分性質比較簡單。 將微分兩次,

7、所得波形如圖4-2（b）所示。顯然根據微分性質由圖4-2（b）可以看出于是方法四：利用卷積性質求解 可看作是圖4-2(c）所示的矩形脈沖自身的卷積于是,根據卷積性質而圖4-2（c）所以例3應用微分性質求圖4-3（a）中 的象函數下面說明應用微分性質應注意的問題,圖4-3（b） 是的導數 的波形。圖4-3（a）解答說明（1）對于單邊拉氏變換, 故二者的象函數相同,即因而這是應用微分性質應特別注意的問題。由圖4-3（b）知例4某線性時不變系統,在非零狀條件不變的情況下,三種不同的激勵信號作用于系統。為圖中所示的矩形脈沖時,求此時系統的輸出階躍響應則例5電路如圖4-5（a）所示（1）求系統的沖激響應

8、。（2）求系統的起始狀態 使系統的零輸入響應等于沖激響應。（3）求系統的起始狀態,解答（1）求系統的沖激響應。系統沖激響應與系統函數是一對拉氏變換的關系。對求逆變換可求得,這種方法比在時域求解微分方程簡便。利用s域模型圖4-5（b）可直寫出圖4-5（a）電路的系統函數沖激響應（2）求系統的起始狀態為求得系統的零輸入響應,應寫出系統的微分方程或給出帶有初值的s域模型。下面我們用s域模型求解。圖4-5(a)電路的s域模型如圖4-5(b)。由圖4-5(b)可以寫出上式中第二項只和系統起始狀態有關,因此該項是零輸入響應的拉氏變換。依題意的要求,該項應和相等,從而得故系統的起始狀態說明通過本例可以看出,

9、改變系統的起始狀態可以使系統的完全響應滿足某些特定要求。本質上,系統的零輸入響應完全由系統的起始狀態決定,對一個穩定系統而言,零輸入響應是暫態響應中的一部分,因此,改變系統的起始狀態只能改變系統的暫態響應,使暫態響應滿足某些特定要求,例如,本例要求暫態響應為零。（3）求系統的起始狀態從而求得系統的起始狀態附錄A 拉普拉斯變換及反變換1.表A-1 拉氏變換的基本性質1線性定理齊次性疊加性2微分定理一般形式初始條件為0時3積分定理一般形式初始條件為0時4延遲定理（或稱域平移定理）5衰減定理（或稱域平移定理）6終值定理7初值定理8卷積定理2表A-2 常用函數的拉氏變換和z變換表序號 拉氏變換E(s)時間函數e(t)Z變換E(z)11(t)1234t5 67891011121314153 用查表法進行拉氏反變換用查表法進行拉氏反變換的關鍵在于將變換式進行部分分式展開,然后逐項查表進行反變換。設是的有理真分式 （）式中系數,都是實常數；是正整數。按代數定理可將展開為部分分式。分以下兩種情況討論。 無重根這時,F(s)可展開為n個簡單的部分分式之和的形式。 （F-1）式中,是特征方程A(s)0的根。為待定常數,稱為F(s)在處的留數,可按下式計算：