1、第二章第二章 靜電場靜電場 本章研究的主要問題：本章研究的主要問題：本章內容：本章內容： 電磁場的基本理論應用到最簡單的情電磁場的基本理論應用到最簡單的情況：電荷靜止，相應的電場不隨時間而變況：電荷靜止，相應的電場不隨時間而變化的情況?；那闆r。 在給定的自由電荷分布以及周圍空間在給定的自由電荷分布以及周圍空間介質和導體分布的情況下，求解靜電場。介質和導體分布的情況下，求解靜電場。1. 引入標勢及其微分方程和邊值關系引入標勢及其微分方程和邊值關系2. 唯一性定理唯一性定理3. 分離變量法分離變量法4. 鏡像法鏡像法5. 格林函數法格林函數法本章具體內容：本章具體內容：t BEtDHJ D0 B

2、DE00BJHDE02.1 靜電場的標勢及其微分方程靜電場的標勢及其微分方程若場與時間無關若場與時間無關所以靜電場的理論基礎就是：所以靜電場的理論基礎就是：)(ED靜電場的無旋性是它的一個重要特性，由于無旋靜電場的無旋性是它的一個重要特性，由于無旋性，電場強度性，電場強度E可以用一個標量場的梯度來表示，可以用一個標量場的梯度來表示，和力學中用勢函數描述保守力場的方法一樣。和力學中用勢函數描述保守力場的方法一樣。一、靜電場的標勢一、靜電場的標勢1. 電勢差和電勢電勢差和電勢0E12CCddlElE所以，靜電場對電荷作功與路徑無關。所以，靜電場對電荷作功與路徑無關。設設C1和和C2為連接為連接P1

3、和和P2點的兩條不同路徑，則點的兩條不同路徑，則d0LEl將單位正電荷由將單位正電荷由P1點移到點移到P2點，電場對它所作的點，電場對它所作的功為：功為：21PPdlE這功就定義為這功就定義為P1和和P2兩點之間的電勢差。即兩點之間的電勢差。即21PP21d)()(lEPP0)(2P如果如果，則，則零121PPP1dd)(lElEP)(1P和和)(2P分別為分別為P1點和點和P2點的電勢。點的電勢。所以任意一點所以任意一點P的電勢為的電勢為零Pd)(lEP注意：注意：(1) 由定義，只有兩點的電勢差才有物理意義，由定義，只有兩點的電勢差才有物理意義，某點上的電勢的絕對數值是沒有物理意義的。某點

4、上的電勢的絕對數值是沒有物理意義的。(2) 某點電勢的具體數值與零勢點的選擇有關，某點電勢的具體數值與零勢點的選擇有關，所以必須指明零勢點的位置。所以必須指明零勢點的位置。(3) 零勢零勢點的選擇是任意的，在電荷分布于點的選擇是任意的，在電荷分布于有限有限區域區域的情況下，可以選的情況下，可以選無窮遠無窮遠的電勢為的電勢為零。零。(4) 一個具體問題中只能選一個一個具體問題中只能選一個零勢零勢點。點。2. 電勢與電場強度的關系電勢與電場強度的關系(1) 任意一點任意一點P的電勢的電勢零Pd)(lEP給出了電勢給出了電勢與電場強度的積分關系，例如：真空中點電荷與電場強度的積分關系，例如：真空中點

5、電荷激發的電場強度為激發的電場強度為304QrrE所以，若取無限遠處電勢為零。則任意一點的所以，若取無限遠處電勢為零。則任意一點的電勢為：電勢為：RQrrQPR020P4d4d)(零lE同樣，點電荷組產生的電勢為：同樣，點電荷組產生的電勢為：iiirQP04)(連續分布的電荷系統：連續分布的電荷系統：Vrd4)()(0 xxE所以所以 由以上討論可知，若空間中所有電荷分布都由以上討論可知，若空間中所有電荷分布都給定，則電場強度和電勢均可求出。但實際情況給定，則電場強度和電勢均可求出。但實際情況往往并不是所有電荷都能預先給定，因此，必須往往并不是所有電荷都能預先給定，因此，必須求電荷與電場相互作

6、用的微分方程。求電荷與電場相互作用的微分方程。(2) 電勢與電場強度的微分關系電勢與電場強度的微分關系21PP21d)()(lEPP由由可得：可得：lExlxd)()d(ddddddxyzxyz l而而二、靜電勢的微分方程和邊值關系二、靜電勢的微分方程和邊值關系這就是泊松方程。這就是泊松方程。其中其中為自由電荷密度。為自由電荷密度。1. 泊松（泊松（Poisson)方程方程在均勻各向同性線性介質中有：在均勻各向同性線性介質中有：，ED將上式代入將上式代入 D得：得：2泊松方程是靜電勢滿足的基本微分方程。給出泊松方程是靜電勢滿足的基本微分方程。給出邊界條件就可以確定電勢邊界條件就可以確定電勢的解

7、。在數學上的解。在數學上這稱為邊值問題。這稱為邊值問題。2. 邊值關系的一般形式邊值關系的一般形式將電場的邊值關系將電場的邊值關系在兩介質界面上，電勢在兩介質界面上，電勢必須滿足邊值關系。必須滿足邊值關系。)(0)(1212DDnEEn化為用電勢表示的邊值關系?；癁橛秒妱荼硎镜倪呏店P系。如圖把電荷沿法線方向移動如圖把電荷沿法線方向移動時，切線分量不做功。沿法線方向做功也趨于零。時，切線分量不做功。沿法線方向做功也趨于零。21該式與該式與0)(12EEn等價。等價。)(12DDn將將ED代入另一邊值關系代入另一邊值關系得：得：)(1122n即：即：nn1122nn221121n從從1指向指向2界

8、面上靜電勢的邊值關系界面上靜電勢的邊值關系 導體內部不帶電，電荷只能分布于導體表面上；導體內部不帶電，電荷只能分布于導體表面上；導體有它的特殊性，在導體表面上的邊值關系有導體有它的特殊性，在導體表面上的邊值關系有它特點：它特點：設導體表面所帶電荷面密度為設導體表面所帶電荷面密度為，設它外面的介質，設它外面的介質電容率為電容率為，導體表面的邊界條件為，導體表面的邊界條件為3. 導體表面上的邊值關系導體表面上的邊值關系 導體內部電場為零，導體表面上電場必沿法線導體內部電場為零，導體表面上電場必沿法線 方向方向 ； 導體表面為等勢面，整個導體的電勢相等。導體表面為等勢面，整個導體的電勢相等。n常量常

9、量場的總能量可以用電荷和電勢表示，在線性介場的總能量可以用電荷和電勢表示，在線性介質中靜電場的總能量為：質中靜電場的總能量為：三、靜電場的能量三、靜電場的能量所以所以VWd21DEE D由由和和得得DDDDE)()( DVVWd )(21d21DP. 31P. 277附錄附錄I.19式中右邊第二項是散度的體積分，它可以化為面式中右邊第二項是散度的體積分，它可以化為面積分：積分：所以所以0dd)(SDDVVVVWd21d21積分區域積分區域V為為0的區域。的區域。注意：注意：(1) 上式只能用于計算靜電場的總能量。上式只能用于計算靜電場的總能量。(2)不是能量密度。不是能量密度。21解：解：因為

10、球內電場為零，故只須對球外積分因為球內電場為零，故只須對球外積分 222222202042(4)18811228aWr drrdrrQaQWdVa000QQQ例：例：求帶電量求帶電量Q 、半徑為、半徑為a的導體球的靜電場總的導體球的靜電場總能量。能量。 n作業作業: P70 1 本節內容將回答兩個問題：本節內容將回答兩個問題： （1）要具備什么條件才能求解靜電問題）要具備什么條件才能求解靜電問題 （2）所求的解是否唯一）所求的解是否唯一 1、靜電問題的唯一性定理靜電問題的唯一性定理（1）有介質存在的情況）有介質存在的情況 把一個區域把一個區域V劃分為許多劃分為許多小區域小區域Vi，每一個小區域

11、內介，每一個小區域內介電常數為電常數為 ，它是各向同性的。，它是各向同性的。 每一個區域給定電荷分布每一個區域給定電荷分布iSVkVkiVijsdisdjjV ijSVxx , )(已知電勢滿足：已知電勢滿足： 在每個均勻區域中滿足在每個均勻區域中滿足 ，即有幾，即有幾 個區域就是幾個泊松方程。個區域就是幾個泊松方程。在各個均勻區域的交界面上，滿足：在各個均勻區域的交界面上，滿足：至此，要完全確定至此，要完全確定V內電場，還必須給出區域邊界內電場，還必須給出區域邊界S上的一些上的一些條件。這個問題正是唯一性定理所要解決的，下面討論之。條件。這個問題正是唯一性定理所要解決的，下面討論之。 ii2

12、jiijinn)()( , j 唯一性定理：唯一性定理： 設區域設區域V內給定自由電荷分布內給定自由電荷分布 在在V 的邊界的邊界S上給定上給定 （i）電勢）電勢 或或 （ii）電勢的法向導數）電勢的法向導數 ， 則則V內的電場唯一地被確定。內的電場唯一地被確定。 SSn , )(x 討論區域是導體外空間討論區域是導體外空間V，即即V是由導體外表面是由導體外表面S1，S2及及S內表面所圍成的空間，當內表面所圍成的空間，當S在無窮在無窮遠處時，所討論的區域就是導遠處時，所討論的區域就是導體外的全空間體外的全空間V。約定：約定： 在無窮遠處，電場為零，即在在無窮遠處，電場為零，即在S面上面上 或者

13、表示成或者表示成 在此基礎上，把問題分為兩類：在此基礎上，把問題分為兩類：0S0SVS1S2（2）有導體存在的情況）有導體存在的情況A類問題：類問題：已知區域已知區域V中電荷分布中電荷分布 ，及所有，及所有 導體的形狀和排列；每個導體的電勢都導體的形狀和排列；每個導體的電勢都 給定。給定。B類問題：類問題：已知區域已知區域V中電荷分布中電荷分布 ，及所有導體的形狀和排，及所有導體的形狀和排列；每個導體的總電荷都給定。列；每個導體的總電荷都給定。因為導體面就是邊界面，因此上述導體的電勢或者因為導體面就是邊界面，因此上述導體的電勢或者總電荷就是邊界條件。總電荷就是邊界條件。 )(x)(x本章的基本

14、問題：本章的基本問題：具體的工作：具體的工作：電場由電勢描述；電場由電勢描述；電勢滿足泊松方程電勢滿足泊松方程+邊界條件。邊界條件。解泊松方程解泊松方程只有在界面形狀是比較簡單的幾何曲面時，只有在界面形狀是比較簡單的幾何曲面時，這類問題的解才能以解析形式給出，而且視這類問題的解才能以解析形式給出，而且視具體情況不同而有不同解法。具體情況不同而有不同解法。本節和以下幾節我們研究幾種求解的解析方法。本節和以下幾節我們研究幾種求解的解析方法。2.3 拉普拉斯方程拉普拉斯方程分離變量法分離變量法例如：例如： 電容器內部的電場是由作為電極的兩個電容器內部的電場是由作為電極的兩個導體板上所帶電荷決定的。導

15、體板上所帶電荷決定的。 電子光學系統的靜電透鏡內部，電場是電子光學系統的靜電透鏡內部，電場是由分布于電極上的自由電荷決定的。由分布于電極上的自由電荷決定的。這些問題的特點是：這些問題的特點是：自由電荷只出現在一些導體的表面上，在空自由電荷只出現在一些導體的表面上，在空間中沒有其他自由電荷分布。間中沒有其他自由電荷分布。在許多實際問題中，靜電場是由帶電導體決定的在許多實際問題中，靜電場是由帶電導體決定的一、拉普拉斯方程一、拉普拉斯方程如果我們選擇這些導體的表面作為區域如果我們選擇這些導體的表面作為區域V的邊界，則的邊界，則V 內部自由電荷密度內部自由電荷密度0，電勢所滿足的泊松方程，電勢所滿足的

16、泊松方程化為比較簡單的情形：化為比較簡單的情形：注意：區域內（注意：區域內（0）產生電場的電荷全部分布于）產生電場的電荷全部分布于V 的邊界上，他們的作用通過邊界條件反映出來。的邊界上，他們的作用通過邊界條件反映出來。所以，這類問題可歸結為求所以，這類問題可歸結為求拉普拉斯方程滿足邊界拉普拉斯方程滿足邊界條件的解。條件的解。02這就是拉普拉斯方程。這就是拉普拉斯方程。二、分離變量法二、分離變量法分離變量法就是將場量的函數表達式中不同坐分離變量法就是將場量的函數表達式中不同坐標相互分離，即將場量分解為單一坐標函數乘積的標相互分離，即將場量分解為單一坐標函數乘積的形式，求出通解。然后再根據給定的邊

17、界條件求出形式，求出通解。然后再根據給定的邊界條件求出實際問題的的解。實際問題的的解。不同坐標系中拉氏方程的通解不同。不同坐標系中拉氏方程的通解不同。mnmnnnmnnmmRbRaR,1cos)(cosP)(),(mnmnnnmnnmmRdRc,1sin)(cosP)(1. 球坐標中的通解球坐標中的通解anm, bnm, cnm, dnm為積分常數，在具體問題中由邊為積分常數，在具體問題中由邊界條件確定。界條件確定。nnnnnnRbRa)(cosP)(1若問題具有軸對稱性，取此軸為極軸，通解為若問題具有軸對稱性，取此軸為極軸，通解為Rba 若問題具有球對稱性若問題具有球對稱性，1cosP0，c

18、oscosP1其中其中2. 柱坐標一般用于二維問題柱坐標一般用于二維問題)(ln(0000DCrBA二維問題的解：二維問題的解：nnnnnnnnDnCrBrA)sincos)(或寫成：或寫成：rDCrBAlnln0000nnnnnBnAr）cossin(cossin(）nDnCrnnn若二維問題又具有軸對稱性，則電勢與若二維問題又具有軸對稱性，則電勢與無關無關rBAln3. 分離變量法的解題步驟分離變量法的解題步驟 根據界面的形狀選擇適當坐標系。根據界面的形狀選擇適當坐標系。 建立坐標系，寫出場量所滿足的方程，寫出通建立坐標系，寫出場量所滿足的方程，寫出通解。解。 寫出邊界條件和銜接條件寫出邊

19、界條件和銜接條件(即：不同區域分界面即：不同區域分界面上上的邊值關系的邊值關系)。 根據定解條件，求出通解中的積分常數。根據定解條件，求出通解中的積分常數。 將將求出的積分常數代入通解表達式，得到實際求出的積分常數代入通解表達式，得到實際問題的解。問題的解。關鍵步驟：關鍵步驟： 充分利用對稱性，寫出簡單的通解。充分利用對稱性，寫出簡單的通解。 正確寫出邊界條件，不能有遺漏。正確寫出邊界條件，不能有遺漏。例例1 一個內徑和外徑分別為一個內徑和外徑分別為R2和和R3的導體球殼，的導體球殼，帶帶電荷電荷Q，同心地包圍一個半徑為，同心地包圍一個半徑為R1的導體球（的導體球（R1 R0）處有一點電荷）處

20、有一點電荷Q，求求空間各點的電勢空間各點的電勢（如圖）。（如圖）。例例2Q分析：分析： 電荷分布：一個點電荷。電荷分布：一個點電荷。邊界面：導體球面。邊界面：導體球面。求解區域：球面外區域。求解區域：球面外區域。已知電荷分布和界面電勢已知電荷分布和界面電勢(等于零等于零)，滿足唯一，滿足唯一性定理的要求，可以確定電勢。性定理的要求，可以確定電勢。電荷分布和電場分布：電荷分布和電場分布：點電荷點電荷Q使導體表面使導體表面產生異號的感應電荷。整產生異號的感應電荷。整個電場是由個電場是由Q和和感應電荷感應電荷共同產生的。共同產生的。由于導體表面是等勢面，所以電場線垂直于由于導體表面是等勢面，所以電場

21、線垂直于導體表面，而且電場具有軸對稱性。設用來代替導體表面，而且電場具有軸對稱性。設用來代替感應電荷的假想電荷為感應電荷的假想電荷為Q。問題是：問題是：Q應該放應該放在什么位置？電量是多少？在什么位置？電量是多少？+Q根據電場的軸對稱性，根據電場的軸對稱性，Q必在對稱軸上，即在必在對稱軸上，即在Q到球心的連線上。設到球心的連線上。設Q到球心的距離為到球心的距離為b，以，以球心為坐標原點，對稱軸為球心為坐標原點，對稱軸為Z軸建立球坐標系，軸建立球坐標系，球外空間的球外空間的電勢為：電勢為： rQrQP041該式在導體表面應滿足該式在導體表面應滿足邊界條件：邊界條件：00 RR解：解：考慮球面上任

22、一點考慮球面上任一點P（如圖）（如圖）0rQrQ即對球面上任一點，應有即對球面上任一點，應有只要選只要選Q的位置，使的位置，使OPQOQP即可，此時即可，此時常數QQrr常數00RbaRrraRb20aRRb00aRQQrr0QaRQ0球外任一點球外任一點P的電勢為：的電勢為：cos2cos241 4122022000RbbRaQRRaaRQraQRrQ物理結果物理結果討論：討論：根據高斯定理，收斂于球根據高斯定理，收斂于球面的電通量為面的電通量為Q/0。Q為球為球面的總感應電荷，它是受電荷面的總感應電荷，它是受電荷Q的電場的吸引而從接地處傳的電場的吸引而從接地處傳至導體球上的。至導體球上的。

23、然而然而|Q|a2 )的電勢可以展開成冪級數，積的電勢可以展開成冪級數，積分的被積函數分母展開分的被積函數分母展開020300222232220222200( , )( )( )22cos()12cos()12()SaaG x xxxdsnVzR dRdRzRRRV zRRRR dRdRzRz 322315(1)128 其中其中注意到注意到cos(-)對對一個或數個一個或數個2周期的積分為零，周期的積分為零，故故222)cos(2zRRRR)(815431)(2)()cos(4)cos(4815)()cos(2231)(12)(222222223222022223422202023220zRa

24、RzRazRzaVzRRRRRRzRRRRzRdRdRzVxa222zyxRxxr222)()()(zzyyxx 在區域在區域 V 內取一點內取一點 O 作為作為坐標原點，以坐標原點，以 R 表示由原點表示由原點到場點到場點 P 的距離，有：的距離，有：Oxx xxr P在一元函數在一元函數f (x)情況下，在原點情況下，在原點x=0鄰域的泰勒鄰域的泰勒級數為：級數為： )0(! 21)0()0()(2fxf xfxf如果在如果在x=a鄰域展開，泰勒級數是：鄰域展開，泰勒級數是： )(! 21)()()()()(2afaxafaxafxf對于三元函數對于三元函數f (x,y,z)，在原點，在原

25、點 x =0, y =0, z=0鄰域鄰域的泰勒級數是：的泰勒級數是：)0 , 0 , 0()0 , 0 , 0()0 , 0 , 0()0 , 0 , 0(),(fzzfyyfxxfzyxf)0 , 0 , 0(! 212fzzyyxx如果在如果在x=a, y=b, z=c 點鄰域展開，則展開式為點鄰域展開，則展開式為),(),(cbafzyxf),()()()(! 212cbafzczybyxax),()()()(! 11cbafzczybyxax),(cbaf),()(cbafzcz),()(),()(222222cbafzczcbafyby),()(! 21222cbafxax),()

26、(),()(cbafybycbafxax),()(2),()(222cbafzyczbycbafyxbyax),()(22cbafxzaxcz有了以上泰勒級數展開式，用有了以上泰勒級數展開式，用1/r代替代替f (x)，因，因r是是 xx,的函數，即的函數，即xxr。把。把x場點固定不變。場點固定不變。而讓源點而讓源點x變化，并把變化，并把x在原點在原點O附近展開，有附近展開，有000011111( )( )( )xyzrrx ry rz rxxxx02220222)1()1(xxrzzryy 0222)1(! 21xrxx020202)1(2)1(2)1(2xxxrzzxzrzyzyryxy

27、x因為因為ijkxyz zzyyxx x，Rrx110Rrx110所以所以0000)1()1()1(1xxxxrzzryyrxxr又因為又因為所以所以RR11 xixjykzx從而得到從而得到VrV04d)()(xxVRxxxxRRjijijiV d 1! 2111 )(412,0 xxVVQd)(xVVd)(xxpVjiijVxxDd)(3x令：令：161141)(2,0RxxDRRQjiijjipx則則電荷體系激發的勢在遠處的多極展開式：電荷體系激發的勢在遠處的多極展開式：p稱為體系的電偶極矩，稱為體系的電偶極矩，張量張量Dij稱為體系的電四極矩。稱為體系的電四極矩。 231,21.2!1

28、.2!iijii jiijf xxf xxf xx xf xxx xf xxf xxf x xx 00( )( )4114VVxxdVrxdVxxRxx2,011111( )( ).42!iji jijVxxxx xdVRRx x R ( )( )3VVijijVQx dVpxx dVDx xx dV iiixqp Vpxx dV 3VDx xx dV xyzxyzAA iA jA kBB iB jB k.1:61141.161141.)(0,20)2()1()0(RDRpRQRxxDRpRQxjijiijRQ0)0(4Rp1410)1(RpRRpRlQRlRlRQRlRlRlRlRQlRlRlRlRQrrQ1414cos4cos21cos21441cos141cos14)2