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1、惠州市2015屆高三第二次調(diào)研考試 數(shù) 學(xué) 試 題 (理科) 2014.10 本試卷共4頁,21小題,滿分150分??荚囉脮r120分鐘。注意事項:1答卷前,考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。2選擇題每小題選出答案后,用2b鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案,答案不能答在試卷上。3非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。 4考生必須保持答題卡的整潔考試結(jié)束
2、后,將答題卡一并交回參考公式:如果事件互斥,則 如果事件相互獨立,則一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分. 在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求. 請在答題卡上填涂相應(yīng)選項.1設(shè)集合,集合,則()a b c d2. 復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于()a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限3雙曲線的實軸長是()a2 b2 c4 d44設(shè)向量,則下列結(jié)論中正確的是()a b c d與垂直5為了普及環(huán)保知識,增強環(huán)保意識,某大學(xué)隨機抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識測試,得分(十分制)如圖所示,假設(shè)得分值的中位數(shù)為,眾數(shù)為,平均值為,則()a bc d6. 設(shè)平面與平
3、面相交于直線,直線在平面內(nèi),直線在平面內(nèi),且,則“”是“”的()a充分不必要條件b必要不充分條件c充分必要條件 d既不充分也不必要條件7已知,滿足約束條件,若的最小值為1,則()a. b. c d8. 某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會,規(guī)定各班每10人推選一名代表,當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表那么,各班可推選代表人數(shù)與該班人數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù) (表示不大于的最大整數(shù))可以表示為()ab c d二、填空題(本大題共7小題,分為必做題和選做題兩部分每小題5分,滿分30分)(一)必做題:第9至13題為必做題,每道試題考生都必須作答9已知,則不等式的解集為 10曲線在點處的切線方程為
4、 11展開式中的常數(shù)項為 12銳角中,角所對的邊長分別為,若,則角等于 13在正項等比數(shù)列中,則滿足的最大正整數(shù)的值為_(二)選做題:第14、15題為選做題,考生只選做其中一題,兩題全答的,只計前一題的得分14(極坐標(biāo)與參數(shù)方程)已知圓的極坐標(biāo)方程為,圓心為,點的極坐標(biāo)為,則_.15(幾何證明選講)如圖所示,的兩條切線和相交于點,與相切于兩點,是上的一點,若,則_.(用角度表示)三、解答題:本大題共6小題,滿分80分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟16(本題滿分12分)設(shè)向量,.(1)若,求的值;(2)設(shè)函數(shù),求的最大值17(本題滿分12分)某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況
5、,隨機抽取該流水線上件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量(單位:克),重量的分組區(qū)間為,由此得到樣本的頻率分布直方圖,如圖所示(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求重量超過克的產(chǎn)品數(shù)量;(2)在上述抽取的件產(chǎn)品中任取件,設(shè)為重量超過克的產(chǎn)品數(shù)量,求的分布列;(3)從該流水線上任取件產(chǎn)品,求恰有件產(chǎn)品的重量超過克的概率18(本題滿分14分)如圖,四棱錐中,底面為平行四邊形,底面.(1)證明:;(2)若,求二面角的余弦值19(本題滿分分)設(shè)數(shù)列的前項和為,已知,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)證明:對一切正整數(shù),有.20(本題滿分14分)如圖,已知橢圓:,其左右焦點為及,過點的直線交橢圓于兩點,線段的中點為,的中垂
6、線與軸和軸分別交于兩點,且、構(gòu)成等差數(shù)列.(1)求橢圓的方程;(2)記的面積為,(為原點)的面積為試問:是否存在直線,使得?說明理由21.(本題滿分分)已知,函數(shù).(的圖像連續(xù)不斷)(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時,證明:存在,使;(3)若存在均屬于區(qū)間的,且,使,證明.惠州市2015屆高三第二次調(diào)研考試 理科數(shù)學(xué)答案與評分標(biāo)準(zhǔn) 一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.1【解析】本題考查集合的基本運算,意在考查考生對集合概念的掌握由,解得,所以,又,所以,故選a.2【解析】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運算與復(fù)數(shù)的幾何意義,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標(biāo)為,位于第二象限3【解析】本題考查雙曲線
7、方程及其簡單幾何性質(zhì)。雙曲線方程可變形為,所以.4【解析】;,故垂直5【解析】由圖可知,30名學(xué)生的得分情況依次為:2個人得3分,3個人得4分,10個人得5分,6個人得6分,3個人得7分,2個人得8分,2個人得9分,2個人得10分中位數(shù)為第15,16個數(shù)(分別為5,6)的平均數(shù),即5.5,5出現(xiàn)的次數(shù)最多,故5,5.97于是得.6【解析】若,又,根據(jù)兩個平面垂直的性質(zhì)定理可得,又因為,所以;反過來,當(dāng)時,因為,一定有,但不能保證,即不能推出.7【解析】本題考查線性規(guī)劃問題,屬于基礎(chǔ)題由已知約束條件,作出可行域如圖中abc內(nèi)部及邊界部分,由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為直線l:在軸上的截距,知當(dāng)直線l過可
8、行域內(nèi)的點時,目標(biāo)函數(shù)的最小值為1,則。8【解析】當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表,可以看作先用該班人數(shù)除以10再用這個余數(shù)與3相加,若和大于等于10就增選一名代表,將二者合并便得到推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系,用取整函數(shù) (表示不大于的最大整數(shù))可以表示為二、填空題(本大題共7小題,分為必做題和選做題兩部分每小題5分,滿分30分)第9至13題為必做題,每道試題考生都必須作答第14、15題為選做題,考生只選做其中一題,兩題全答的,只計前一題的得分9 10 11 12 1314 15559【解析】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)及一元二次不等式的解法,意在考查學(xué)生的分類討論及化歸
9、能力及運算能力由,可得或,解得,所以原不等式的解集為10【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義。考查考生的求導(dǎo)運算及求直線方程的能力。由,則.所以,即切線l的斜率為1。又切線l過點(1,0),所以切線l的方程為. 一般方程為 .11【解析】本題考查二項式定理,意在考查考生的運算能力,令,得,故常數(shù)項為.12【解析】本題主要考查銳角三角形的定義、正弦定理與解三角方程,意在考查考生的轉(zhuǎn)化能力與三角變換能力由正弦定理得,可化為,又,所以,又為銳角三角形,得.13【解析】本題主要考查等比數(shù)列的基本性質(zhì),意在考查學(xué)生的運算能力設(shè)等比數(shù)列的公比為由可得即所以,所以,數(shù)列的前項和,所以,由可得,由,可求得的最大值為
10、12,而當(dāng)時,不成立,所以的最大值為12.14【解析】由可得圓的直角坐標(biāo)方程為,圓心點的直角坐標(biāo)為,所以.15【解析】如圖所示,連接,則.故,.三、解答題:本大題共6小題,滿分80分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟16(本題滿分12分)解:本題考查平面向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用,側(cè)重考查三角函數(shù)的性質(zhì)(1)由, . (1分) , .(2分) 及,得. 又,從而, .(4分) 所以 .(6分) (2) , .(9分) 當(dāng)時, 所以當(dāng)時,取得最大值1 .(11分) 所以的最大值為. .(12分)17(本題滿分12分)解:(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知,重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為(件) .(2
11、分)(2)的可能取值為0,1,2. .(3分) .(4分) .(5分) .(6分)012py的分布列為 .(7分)(3)利用樣本估計總體,該流水線上產(chǎn)品重量超過505克的概率為0.3.(8分) 令為任取的5件產(chǎn)品中重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量, 則, .(10分) 故所求概率為.(12分)18(本題滿分14分)解:(1)證明:因為, 由余弦定理得. .(2分) 從而,故. .(3分) 面面,.(4分) 又 所以平面. .(5分) 故. .(6分)(2)如圖,以d為坐標(biāo)原點,射線da,db,dp分別為x,y,z的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系dxyz, 則, .(8分)設(shè)平面pab的法向量為,則即因此可
12、取 .(10分)設(shè)平面pbc的法向量為,則可取 .(12分)則故鈍二面角apbc的余弦值為. .(14分)注:第二問若使用幾何法按找到并證明二面角的平面角得4分,求出二面角的平面角的余弦值得4分。其它方法酌情給分。19(本題滿分分)解:本題考查數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式、裂項求和、放縮法等基礎(chǔ)知識和基本方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想,考查考生的運算求解能力、邏輯推理能力以及分析問題、解決問題能力(1)(解法一) 依題意,又,所以 (2分) 當(dāng), ,兩式相減得整理得 ,即, (6分)又,故數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,所以所以 (8分)(解法二) , ,得,
13、.(2分) 猜想 .(3分) 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: (1)當(dāng)時,猜想成立; (2)假設(shè)當(dāng)時,猜想也成立,即 .(4分) 當(dāng)時,= ,.(5分) 時,猜想也成立 .(6分) 由(1),(2)知,對于,猜想成立。 ,當(dāng),也滿足此式,故 .(8分)(2)證明:當(dāng); (9分)當(dāng); (10分)當(dāng), (12分)此時綜上,對一切正整數(shù)n,有 (14分)20(本題滿分14分)解:(1)因為、構(gòu)成等差數(shù)列, 所以,所以. (2分) 又因為,所以, (3分) 所以橢圓的方程為. (4分)(2)假設(shè)存在直線,使得 ,顯然直線不能與軸垂直 設(shè)方程為 (5分)將其代入,整理得 (6分)設(shè),所以 故點的橫坐標(biāo)為所以 (8分)因為 ,所以 , 解得 ,即 (10分)和相似,若,則 (11分)所以 , (12分) 整理得 (13分) 因為此方程無解,所以不存在直線,使得 (14分)21.(本題滿分分)解:(1) .(1分)令,解得 .(2分)當(dāng)變化時,的變化情況如下表:0
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