1、惠州市2015屆高三第二次調研考試 數 學 試 題 (理科） 2014.10 本試卷共4頁，21小題，滿分150分。考試用時120分鐘。注意事項：1答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。2選擇題每小題選出答案后，用2b鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。3非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。 4考生必須保持答題卡的整潔考試結束

2、后，將答題卡一并交回參考公式：如果事件互斥，則 如果事件相互獨立，則一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求. 請在答題卡上填涂相應選項.1設集合，集合，則()a b c d2. 復數（為虛數單位）在復平面上對應的點位于()a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限3雙曲線的實軸長是()a2 b2 c4 d44設向量，則下列結論中正確的是()a b c d與垂直5為了普及環保知識，增強環保意識，某大學隨機抽取30名學生參加環保知識測試，得分（十分制）如圖所示，假設得分值的中位數為，眾數為，平均值為，則()a bc d6. 設平面與平

3、面相交于直線，直線在平面內，直線在平面內，且，則“”是“”的()a充分不必要條件b必要不充分條件c充分必要條件 d既不充分也不必要條件7已知,滿足約束條件，若的最小值為1，則()a. b. c d8. 某學校要召開學生代表大會，規定各班每10人推選一名代表，當各班人數除以10的余數大于6時再增選一名代表那么，各班可推選代表人數與該班人數之間的函數關系用取整函數 (表示不大于的最大整數）可以表示為()ab c d二、填空題（本大題共7小題，分為必做題和選做題兩部分每小題5分，滿分30分）（一）必做題：第9至13題為必做題，每道試題考生都必須作答9已知，則不等式的解集為 10曲線在點處的切線方程為

4、 11展開式中的常數項為 12銳角中，角所對的邊長分別為，若，則角等于 13在正項等比數列中，則滿足的最大正整數的值為_（二）選做題：第14、15題為選做題，考生只選做其中一題，兩題全答的，只計前一題的得分14（極坐標與參數方程）已知圓的極坐標方程為，圓心為，點的極坐標為，則_.15（幾何證明選講）如圖所示，的兩條切線和相交于點，與相切于兩點，是上的一點，若，則_.（用角度表示）三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟16（本題滿分12分）設向量，.（1）若，求的值；（2）設函數，求的最大值17（本題滿分12分）某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況

5、，隨機抽取該流水線上件產品作為樣本稱出它們的重量(單位：克)，重量的分組區間為，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示（1）根據頻率分布直方圖，求重量超過克的產品數量；（2）在上述抽取的件產品中任取件，設為重量超過克的產品數量，求的分布列；（3）從該流水線上任取件產品，求恰有件產品的重量超過克的概率18（本題滿分14分）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，底面.（1）證明：；（2）若，求二面角的余弦值19（本題滿分分）設數列的前項和為，已知，.（1）求數列的通項公式；（2）證明：對一切正整數，有.20(本題滿分14分)如圖，已知橢圓：，其左右焦點為及，過點的直線交橢圓于兩點，線段的中點為，的中垂

6、線與軸和軸分別交于兩點，且、構成等差數列.（1）求橢圓的方程；（2）記的面積為，（為原點）的面積為試問：是否存在直線，使得？說明理由21.（本題滿分分）已知，函數.（的圖像連續不斷）（1）求的單調區間；（2）當時，證明：存在，使；（3）若存在均屬于區間的，且，使，證明.惠州市2015屆高三第二次調研考試 理科數學答案與評分標準 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1【解析】本題考查集合的基本運算，意在考查考生對集合概念的掌握由，解得，所以，又，所以，故選a.2【解析】本題主要考查復數的乘法運算與復數的幾何意義，復數z在復平面上對應的點的坐標為，位于第二象限3【解析】本題考查雙曲線

7、方程及其簡單幾何性質。雙曲線方程可變形為，所以.4【解析】；，故垂直5【解析】由圖可知，30名學生的得分情況依次為：2個人得3分，3個人得4分，10個人得5分，6個人得6分，3個人得7分，2個人得8分，2個人得9分，2個人得10分中位數為第15,16個數(分別為5,6)的平均數，即5.5,5出現的次數最多，故5，5.97于是得.6【解析】若，又，根據兩個平面垂直的性質定理可得，又因為，所以；反過來，當時，因為，一定有，但不能保證，即不能推出.7【解析】本題考查線性規劃問題，屬于基礎題由已知約束條件，作出可行域如圖中abc內部及邊界部分，由目標函數的幾何意義為直線l：在軸上的截距，知當直線l過可

8、行域內的點時，目標函數的最小值為1，則。8【解析】當各班人數除以10的余數大于6時再增選一名代表，可以看作先用該班人數除以10再用這個余數與3相加，若和大于等于10就增選一名代表，將二者合并便得到推選代表人數y與該班人數x之間的函數關系，用取整函數 (表示不大于的最大整數）可以表示為二、填空題（本大題共7小題，分為必做題和選做題兩部分每小題5分，滿分30分）第9至13題為必做題，每道試題考生都必須作答第14、15題為選做題，考生只選做其中一題，兩題全答的，只計前一題的得分9 10 11 12 1314 15559【解析】本題考查分段函數的性質及一元二次不等式的解法，意在考查學生的分類討論及化歸

9、能力及運算能力由，可得或，解得，所以原不等式的解集為10【解析】本題考查導數的幾何意義。考查考生的求導運算及求直線方程的能力。由，則.所以，即切線l的斜率為1。又切線l過點(1,0)，所以切線l的方程為. 一般方程為 .11【解析】本題考查二項式定理，意在考查考生的運算能力，令，得，故常數項為.12【解析】本題主要考查銳角三角形的定義、正弦定理與解三角方程，意在考查考生的轉化能力與三角變換能力由正弦定理得，可化為，又，所以，又為銳角三角形，得.13【解析】本題主要考查等比數列的基本性質，意在考查學生的運算能力設等比數列的公比為由可得即所以，所以，數列的前項和，所以，由可得，由，可求得的最大值為

10、12，而當時，不成立，所以的最大值為12.14【解析】由可得圓的直角坐標方程為，圓心點的直角坐標為，所以.15【解析】如圖所示，連接，則.故，.三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟16（本題滿分12分）解：本題考查平面向量與三角函數的綜合應用，側重考查三角函數的性質(1)由， . （1分） ， .（2分） 及，得. 又，從而， .（4分） 所以 .（6分） （2） ， .（9分） 當時， 所以當時，取得最大值1 .（11分） 所以的最大值為. .（12分）17（本題滿分12分）解：(1)根據頻率分布直方圖可知，重量超過505克的產品數量為(件) .（2

11、分）(2)的可能取值為0,1,2. .（3分） .（4分） .（5分） .（6分）012py的分布列為 .（7分）(3)利用樣本估計總體，該流水線上產品重量超過505克的概率為0.3.（8分） 令為任取的5件產品中重量超過505克的產品數量， 則， .（10分） 故所求概率為.（12分）18（本題滿分14分）解：（1）證明：因為， 由余弦定理得. .（2分） 從而，故. .（3分） 面面，.（4分） 又 所以平面. .（5分） 故. .（6分）（2）如圖，以d為坐標原點，射線da，db，dp分別為x,y,z的正半軸建立空間直角坐標系dxyz， 則， .（8分）設平面pab的法向量為，則即因此可

12、取 .（10分）設平面pbc的法向量為，則可取 .（12分）則故鈍二面角apbc的余弦值為. .（14分）注：第二問若使用幾何法按找到并證明二面角的平面角得4分，求出二面角的平面角的余弦值得4分。其它方法酌情給分。19（本題滿分分）解：本題考查數列的通項與前n項和的關系、等差數列的通項公式、裂項求和、放縮法等基礎知識和基本方法，考查化歸與轉化思想、分類與整合思想，考查考生的運算求解能力、邏輯推理能力以及分析問題、解決問題能力（1）（解法一） 依題意，又，所以 （2分） 當， ，兩式相減得整理得 ，即， （6分）又，故數列是首項為1，公差為1的等差數列，所以所以 （8分）（解法二） ， ，得，

13、.（2分） 猜想 .（3分） 下面用數學歸納法證明： （1）當時，猜想成立； （2）假設當時，猜想也成立，即 .（4分） 當時，= ，.（5分） 時，猜想也成立 .（6分） 由（1），（2）知，對于，猜想成立。 ，當，也滿足此式，故 .（8分）（2）證明：當； （9分）當； （10分）當， （12分）此時綜上，對一切正整數n，有 （14分）20(本題滿分14分)解：（1）因為、構成等差數列， 所以，所以. （2分） 又因為，所以， （3分） 所以橢圓的方程為. （4分）（2）假設存在直線，使得 ，顯然直線不能與軸垂直 設方程為 （5分）將其代入，整理得 （6分）設，所以 故點的橫坐標為所以 （8分）因為 ，所以 ， 解得 ，即 （10分）和相似，若，則 （11分）所以 ， （12分） 整理得 （13分） 因為此方程無解，所以不存在直線，使得 （14分）21.（本題滿分分）解：（1） .(1分)令，解得 .(2分)當變化時，的變化情況如下表：0