1、一、一、 二重積分二重積分二、三重積分二、三重積分三、曲線積分三、曲線積分 多元函數積分學 四、曲面積分四、曲面積分 ( , )df x y d ( , , )f x y z dv ( , )lf x y ds ( , )( , )lp x y dxq x y dy ( , , )df x y zs ( , , )( , , )p x y z dydzq x y z dzdx ( , , )ddr x y zxy 第第十十章章：重重積積分分1、二二重重積積分分的的概概念念、性性質質、及及其其幾幾何何意意義義2 2、計計算算：二二重重積積熟熟練練掌掌握握分分的的計計算算xy 型型區區域域直直角角

2、坐坐標標系系中中選選擇擇適適當當的的積積分分次次序序型型區區域域3、三三重重積積分分的的概概念念及及計計算算： 直直角角坐坐標標系系中中柱柱面面坐坐標標系系中中r 在在極極坐坐標標系系中中：一一種種積積分分次次序序 先先 后后只只需需掌掌握握坐坐標標面面投投影影法法一、二重積分的概念和性質 1定義定義 ： 01 ( ,)lim(,)niiiidf xy df 2幾何意義：幾何意義： ddyxfv ) ,()0) ,( yxf表示曲頂柱體的體積表示曲頂柱體的體積 dyxfz :) ,( :底底頂頂性質：線性性質；線性性質； 可加性；可加性； ;dddxdy 單調性；單調性； 若若 ( ,),mf

3、 xym ( ,)( ,).ddf xy df 估值性質：估值性質：中值定理：中值定理：則至少存在一點則至少存在一點 , 使得使得( , )d 設函數設函數 在閉區域在閉區域 上上連續連續, ) ,(yxfd ( ,).dddmf xy dm 則則a積分中值定理二、二重積分的計算方法計算方法 1利用直角坐標計算利用直角坐標計算（1）x-型區域：型區域： )( )( 21) ,( ) ,(xxbaddyyxfdxdxdyyxf.)(2xy )(1xy xyodab(2)過任一過任一x a , b ,作垂直于作垂直于 x軸的直線軸的直線 穿過穿過d的內部的內部從從d的下邊界曲線的下邊界曲線)(1x

4、y 穿入穿入內層積分的下限內層積分的下限從從d的上邊界曲線的上邊界曲線)(2xy 穿出穿出內層積分的上限內層積分的上限(1) 確定積分區域確定積分區域d在在x軸上的投影軸上的投影a , b定限步驟：定限步驟：（2）y-型區域：型區域： .) ,() ,()( )( 21 yydcddxyxfdydxdyyxf xyod)(1yx )(2yx cd2利用極坐標計算利用極坐標計算 ( ,)df xy dxdy 21 ( )( )( cos ,sin )df rrdrr do)(1r)(2r(2)( ,), 從從d d的邊界曲線的邊界曲線 1( )r 穿入穿入, 從從 2( )r 穿出穿出(1) 確

5、定確定d夾在哪兩條射線之間，定出夾在哪兩條射線之間，定出定限步驟：定限步驟： , 過極點作一極角為過極點作一極角為 的射線的射線常見計算類型常見計算類型1. 選擇積分順序選擇積分順序原則：原則：能積分，能積分，少分塊少分塊解解2sin,0dy dxdydyxxy例、計算其中 由、圍成xyyx 200sinydyy dx20sin1yydy原式 2yxyxxyo解：10idx2sinxxxdyx10(1)sinxxdx1 sin1 10sin xdxx2xxy 1130sinydyx dx例、計算解：先確定積分區域xy1x xyo01:yd原1320sinx x dx3 101cos3x1(1c

6、os1)31yx10dx230sinxx dy2. 交換積分順序交換積分順序根據給出的積分上下限定出積分區域根據給出的積分上下限定出積分區域13. 利用對稱性簡化計算利用對稱性簡化計算要兼顧要兼顧被積函數被積函數和和積分區域積分區域兩個方面，兩個方面，不可誤用不可誤用 ddxdyyxfi),(（1）若）若d關于關于 x 軸對稱，則軸對稱，則0 i12( , )dif x y dxdy 當當f ( x , y )關于關于 y 為奇函數，為奇函數，當當f ( x , y )關于關于 y 為偶函數，為偶函數，（2）若）若d關于關于 y 軸對稱，則軸對稱，則0 i當當f ( x , y )關于關于 x

7、 為奇函數，為奇函數，222221(),1xyy xyixdxdyy例.計算解：2221ddy xyix dxdydxdyyx關于 為奇函數，y關于 為奇函數，0dy關于 軸對稱，dx關于 軸對稱，14ii 例例 . 將將 d ),( dyxf化為在極坐標系下的二次積分。化為在極坐標系下的二次積分。1）xyo22422 yxxyo4xyx422 4）dd 2200( cos ,sin ).df rrr dr 2201( cos ,sin ).df rrr dr 24cos20( cos ,sin )df rrr dr 4. 極坐標系下二重積分的定限極坐標系下二重積分的定限xyo222 2 42

8、2 yx2）1dxyo4224xyy 3） 4sin00( cos ,sin )df rrr dr d2222()4 ,8 ,2dxfdydxyx xyx xy yx 例例、化化成成極極坐坐標標系系下下的的二二次次積積分分：其其中中： 由由圍圍成成yx2yxxyo()dxfdy 8cos4coscos()sinfrdr 4d arctan 2xy32分析分析 由于被積函數中含有絕對值由于被積函數中含有絕對值, 所以應首先所以應首先在給定的積分區域內在給定的積分區域內,求出求出的解析表達式，即去掉絕對值。的解析表達式，即去掉絕對值。224xy2d1d224dxydxdy 12dd1224()dx

9、ydxdy 2 22 0 04()drrdr 412 2224()dxydxdy 2 32 0 24()drrdr 5. 其它其它解解：( , ),df x y dxdya 設設則則：2211ddaxy dxdydxdya120012adr dr 132a23a 2212( , )(),3f x yxy 則則1121000( )0,11()( )(1)( )1xnnf xdxxyf y dyyf y dyn 例例、設設函函數數在在上上連連續續，證證明明：證明：左邊交換積分次序xyoyx11左邊12()( )nyxyf y dx10dyx對積分變量來說是常數1101()|()1nyxydynf

10、y1101( )(1)1nf yydyn 右邊三、三重積分的計算方法三、三重積分的計算方法 1 1利用直角坐標計算利用直角坐標計算 u“坐標面投影坐標面投影”法法 ( ,)f xyz dxdydz 確定確定 在在xoy面上的投影區域面上的投影區域d (1)定限步驟：定限步驟：作垂直于作垂直于 xoy面的直線，面的直線，( , )x ydxyzo d),(1yxzz ),(2yxzz ),(yx從曲面從曲面1( , )zz x y 穿入，穿入，從曲面從曲面2( , )zzx y 穿出，穿出，(2)21 ( ,)( ,)( ,)zx yzx yddxdyf xyz dz ( , , )d ddf

11、x y zzxy 三、三重積分的計算方法（坐標面投影法）三、三重積分的計算方法（坐標面投影法） 1 1利用直角坐標計算利用直角坐標計算 (1) 投影投影 求積分域求積分域 在在xoy 面面上的投影區域上的投影區域 dxy;(2) 定限定限 vzyxfd),(xyd ),(1yxz),(2yxzx yzos2s1dxy z1(x, y)z2(穿越法穿越法)步驟：步驟：( , ),xyx ydd 過過點點作作垂垂直直于于的的直直線線1( , )zz x y 從從曲曲面面穿穿入入，2( , )zzx y 從從曲曲面面穿穿出出其中 為三個坐標例例. 計算三重積分,dddzyxx12zyx所圍成的閉區域

12、 .1xyz121解解:dddxxyz )1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxx )1(021dxy10d xx481面及平面120()xyxydxdyz dxd 解解:. 122 yx1 投影投影122 yx 22222xzyxz消去消去z2 定限定限22xz 下下頂頂：(0,0)或或由由點點處處函函數數值值的的大大小小確確定定222yxz 上上頂頂：( , , )d dif x y zx ydz 11dx .d),(22222 xyxzzyxfy122 yxdox112 定限定限22xz 下下頂頂：222yxz 上上頂頂：( , , )df x

13、y zz d ddx y 222xy 22 x dy 21 x21 x 2 2利用柱面坐標計算利用柱面坐標計算 ( ,)f xyz dxdydz 2211 ( )( , )( )( , )( cos ,sin ,)zrz rdrdrf rrz dz 計算方法：計算方法：三重積分的投影方法三重積分的投影方法結合結合二重積分的極坐二重積分的極坐標運算標運算其中其中 為由為由例例2. 計算三重積分計算三重積分22d d dzxyx y z 222(0)xyx y0,(0),0zza ay所圍所圍解解:2drr 22304cosd3a 及平面及平面2axyzod 0daz z 原原式式289a 柱面柱

14、面2cosr 成半圓柱體成半圓柱體.222(0)xyx ydoxyddrdr 0adzz2 02cos 0222 ,xyxdxy：r222222113 2112( , , )xxyxxyidxdyf x y z dz 22222131001(cos)(sin)( cos , sin , )rriddrf rrz rdz 解： 22:1d xy直直角角坐坐標標系系：柱柱面面坐坐標標系系：1、 體積體積四、幾何應用四、幾何應用 (2)dvv ddxdyyxfv.),(21( , )( , )dvx yx y dxdy若曲面方程為：若曲面方程為：).,(yxfz 曲面曲面s的面積為的面積為 ;122

15、dxdyaxydyzxz 2、曲面面積、曲面面積221()dvdx yxdy 222001()drrdr 4 3()dvxy dxdy 1003()xdxxy dy 1 解： yxoyx 1d22222zxyzxy例、求由與所圍立體的體積。解：2222:2zxyxy積分域消1r用極坐標2222( , )2f x yxyxy被積函數：2222(2)dvxyxydxdy21200(2)drr rdr24310112 ()|43rrr56xyzo例例. 計算雙曲拋物面計算雙曲拋物面zxy 被柱面被柱面222xyr解解: 曲面在曲面在 xoy 面上投影為面上投影為222:,d xyr則則221d dx

16、ydazzx y 221d ddxyx y 2200d1drr r r 3222(1)1)3r所截出的面積所截出的面積 a .zoxy注：注： 常用二次曲面常用二次曲面226zxy221zxy 旋轉拋物面旋轉拋物面:22zxy錐面錐面: 22zxy球面球面2221,xyz221zxy()上上半半球球面面oxyz 橢球面橢球面2222221xyzabcoxyzxyzoxzo 橢圓拋物面橢圓拋物面:222zxy61柱面柱面: (方程中缺少某一變量方程中缺少某一變量)221,xy圓圓柱柱面面oxyzo22xy 拋拋物物柱柱面面xozyyx22:()(2.l yxaxb ( , )lf x y ds

17、3( ):( ).l xycyd ( , )lf x y ds 21( )dxx ( ,( )f xx ab21( )dyy ( ( ), )fyy cd(1)對光滑曲線弧對光滑曲線弧( , )dlf x ys 22( )( )dttt ( ),( )ftt 第十一章第十一章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分一、對弧長的曲線積分一、對弧長的曲線積分:( ),( ),(),l xtytt一一代代、二二換換、三三定定限限(化為定積分計算）化為定積分計算）(!)上上限限一一定定大大于于下下限限22222,(0)lxy dslxya ayxx 例例、計計算算其其中中 是是由由、直直線線及及 軸軸在

18、在第第一一象象限限所所圍圍成成的的圖圖形形邊邊界界解解：如如圖圖：xyoab0y loaabbo(1)oa :00oa yxa22oaxy ds 2010axdx 0axdx 212a (2)ab 22cos:0sin4xatabtxyayat xyoab0y 22abxy ds 222240cossina atatdt 240a dt 24a (3)bo 2:02boyxxa22boxy ds 22222011axxdx 212a 222(1)4lxy dsa 2222143(234)lxylaixyxy ds 例例、設設 為為橢橢圓圓，其其周周長長為為 ，求求：223412xy解解：(21

19、2)lxyds 原原式式212llxydsds122laxyds 2220122 2cos3sin4cos3sinattttdt 22201124 3cos3 cos2atdt 120a12a 2cos023sinxttyt ( , )d( , )dlp x yxq x yy ( ),( ) tpt ( ) t ( ) t dt( ),)( qtt 則則一一代代、二二換換、三三定定限限 定定限限!下下限限不不一一定定小小于于上上限限 下下限限l的的起起點點參參數數 上上限限l的的終終點點參參數數1. 基本計算方法基本計算方法( ):,( )xtlyt :t 對有向光滑弧對有向光滑弧二、對坐標的

20、曲線積分二、對坐標的曲線積分( (化為定積分化為定積分) ) 對有向光滑弧對有向光滑弧( )( )yxxy或或的的情情形形，自自己己寫寫出出公公式式 d222,lxyzs 例例、計計算算其其中中解解(1,2,1),s 方方向向向向量量 tzttytxl210211的的參參數數方方程程：故故ds 222121 dt 1222011 22ttt tttd6266102 69 .312211的直線段的直線段，到點到點，是點是點 l11x- -: 12y 21z 222( )( )( ) dx ty tz tt6dt 6dt 222dlxyzs 2. 利用格林公式（必要時可作輔助線）利用格林公式（必要

21、時可作輔助線）ddlpxqy 3. 利用積分與路徑無關（取折線）利用積分與路徑無關（取折線）.qpxy 若若，則則積積分分與與路路徑徑無無關關，只只與與起起點點和和終終點點有有關關，因因此此可可選選擇擇積積分分路路徑徑計計算算dddqpxyxy (,qplxy為為封封閉閉曲曲線線，取取正正向向，連連續續）例例lao 封封閉閉，22(0 , 0 )(2 , 0 ),lyxxoa 其其 中中為為 曲曲 線線從從 點點到到解解(e sin21)d(e cos)dxxlyyxyxy 計計算算不封閉，不封閉，l(e cos1)xy l)0 , 2(ayxo負負向向l ao ()dddqpxyxy d (

22、e cos2)xyddxydddxy qpl)0 , 2(ayxol ao dddxy 2 (e sin21)d(e cos)dxxaoyyxyxy 02 :ao又又0y :20 x0(e sin0 x2 0 1) d x20dx 2 原原式式l ao ao 22 三三、曲曲線線積積分分與與路路徑徑無無關關,qpxyd d為為單單連連通通域域，連連續續，有有四四個個等等價價條條件件：qpdxy 在在 內內有有lpdxqdyd 在在 內內與與路路徑徑無無關關0(cpdxqdycd 為為 內內任任一一閉閉曲曲線線）( , ),( , )u x ydu x ypdxqdy 使使0( , ),)( ,

23、 )x yxyu x ypdxqdy 0 0( (四四、全全微微分分求求積積: :例、例、yyxyxxyxyd)2(d)2(222 證明：證明：解解2(),pqxyyxyyxyxxyxyd)2(d)2(222 所以所以是是全全微微分分式式，).,(yxu并求原函數并求原函數.),(的全微分的全微分為某函數為某函數yxu22200(200 )d(2)dxyxxxxyyy( , )222(0,0)( , )(2)d(2)dx yu x yxyyxxxyyy 3223yx yxyoxy( ,0)e x)0 , 0(a),(yxm322+c3yx yxy為為全全體體原原函函數數 設設:( , ),(

24、, ),xyzz x yx yd則則三、對面積的曲面積三、對面積的曲面積分分( (化為二重積分）化為二重積分）一一代代、二二換換、三三投投影影 ( , , )df x y zs 221d dxyzzx y( , ,)f x y( , )z x yxyd2222,2zdszxyxyx 例例、計計算算曲曲面面積積分分其其中中為為錐錐面面在在 柱柱面面內內的的部部分分。解：zds 222222(1)11xyxyxyzz dxdy 2222(1)1xyxy 2222(1)12xyxy dxdy 2 2cos20r dr 22d 32016 2cos3d 32 29 2xyzo2222221()()xydxdyxyxy四、對坐標的曲面積分四、對坐標的曲面積分 :,( ,(), )yzyxyzxzd ( , ,