1、第七章 不等式 第一節第一節 簡單不等式及其解法簡單不等式及其解法 一、選擇題 1.（2009 安徽卷理）下列選項中，p 是 q 的必要不充分條件的是 a.p:acb+d , q:ab 且 cd b.p:a1,b1 q:( )(01) x f xab aa，且的圖像不過第二象限 c.p: x=1, q: 2 xx d.p:a1, q: ( )log(01) a f xx aa，且在(0,)上為增函數 答案 a 解析 由ab 且 cdacb+d，而由acb+d ab 且 cd，可舉反例。選 a。 2.（2009 安徽卷文）“”是“且”的 a. 必要不充分條件 b. 充分不必要條件 c. 充分必要

2、條件 d. 既不充分也不必要條件 答案 a 解析 易得abcd 、 、時必有acbd .若acbd 時，則可能有adcb 、 、，選 a。 3.（2009 四川卷文）已知a，b，c，d為實數，且cd.則“ab”是“acbd”的 a. 充分而不必要條件 b. 必要而不充分條件 c. 充要條件 d. 既不充分也不必要條件 答案 b 解析 顯然，充分性不成立.又，若acbd和cd都成立，則同向不等式相加得ab 即由“acbd”“ab” 4.（2009 天津卷理）ab 10,若關于 x 的不等式 2 ()xb 2 ()ax的解集中的整數恰有 3 個，則 a.01 a b.10 a c.31 a d.6

3、3 a 答案 c 5.（2009 四川卷理）已知, , ,a b c d為實數，且cd。則“ab”是“acbd”的 a. 充分而不必要條件 b. 必要而不充分條件 c充要條件 d. 既不充分也不必要條件 【考點定位】本小題考查不等式的性質、簡單邏輯，基礎題。 （同文 7） 答案 b 解析 ba 推不出acbd；但bdcbadbca ，故選擇 b。 解析 2：令2,1,3,5abcd ，則13( 5)8acbd ；由acbd可得， ()abcd因為cd，則0cd，所以ab。故“ab”是“acbd”的必要而不 充分條件。 6.（2009 重慶卷理）不等式 2 313xxaa對任意實數x恒成立，則實

4、數a的取值范圍為（ ） a(, 14,) b(, 25,) c1,2 d(,12,) 答案 a 解析 因為 2 4314313xxxxaa 對對任意 x 恒成立，所以 22 343041aaaaaa 即，解得或 二、填空題 7.（2009 年上海卷理）若行列式 4 1 7 5 x x 3 8 9 中，元素 4 的代數余子式大于 0， 則 x 滿足的條件是_ . 答案 8 3 x 解析 依題意，得： (-1)2(9x-24)0，解得： 8 3 x 三、解答題 8.（2009 江蘇卷）(本小題滿分 16 分) 按照某學者的理論，假設一個人生產某產品單件成本為a元，如果他賣出該產品的單 價為m元，則

5、他的滿意度為 m ma ；如果他買進該產品的單價為n元，則他的滿意度 為 n na .如果一個人對兩種交易(賣出或買進)的滿意度分別為 1 h和 2 h，則他對這兩種交易的綜合滿意 度為 1 2 hh. 現假設甲生產 a、b 兩種產品的單件成本分別為 12 元和 5 元，乙生產 a、b 兩種產品的 單件成本分別為 3 元和 20 元，設產品 a、b 的單價分別為 a m元和 b m元，甲買進 a 與 賣出 b 的綜合滿意度為h、，乙賣出 a 與買進 b 的綜合滿意度為h、 (1)求h、和h、關于 a m、 b m的表達式；當 3 5 ab mm時，求證：h、=h、； (2)設 3 5 ab m

6、m，當 a m、 b m分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最 大的綜合滿意度為多少？ (3)記(2)中最大的綜合滿意度為 0 h，試問能否適當選取 a m、 b m的值，使得 0 hh 、 和 0 hh 、 同時成立，但等號不同時成立？試說明理由。 解析 本小題主要考查函數的概念、基本不等式等基礎知識，考查數學建模能力、抽 象概括能力以及數學閱讀能力。滿分 16 分。 (1) 當 3 5 ab mm時， 2 3 5 3 5(20)(5) 12 5 b bb bbb b m mm h mmm m 甲 , 2 3 5 3 20(5)(20) 3 5 b bb bbb b m mm h m

7、mm m 乙 , h、=h、 （2）當 3 5 ab mm時， 2 2 11 =, 20511 (20)(5) (1)(1)100()251 b bb bbbb m h mm mmmm 甲 由 111 5,20, 20 5 b b m m 得， 故當 11 20 b m 即20,12 ba mm時， 甲乙兩人同時取到最大的綜合滿意度為 10 5 。 （3） （方法一）由（2）知： 0 h= 10 5 由 0 10 = 1255 ab ab mm hh mm 甲 得： 1255 2 ab ab mm mm ， 令 35 , ab xy mm 則 1 ,1 4 xy、，即： 5 (14 )(1)

8、2 xy。 同理，由 0 10 5 hh 乙 得： 5 (1)(14 ) 2 xy 另一方面， 1 ,1 4 xy、141xx 5 、1+4y 2, 5 ,、1+y , 2 , 2 55 (1 4 )(1),(1)(1 4 ), 22 xyxy當且僅當 1 4 xy，即 a m= b m時，取等號。 所以不能否適當選取 a m、 b m的值，使得 0 hh 、 和 0 hh 、 同時成立，但等號不同時成立。 第一部分 五年高考薈萃 2009 年高考題 2005-20082005-2008 年高考題年高考題 一、選擇題一、選擇題 1.（2008 天津）已知函數 2,0 ( ) 2,0 xx f

9、x xx ，則不等式 2 ( )f xx的解集是() a. 1,1 b. 2,2 c. 2,1 d. 1,2 答案 a 2.（2008 江西）若 12121212 0,01aabbaabb, 且，則下列代數式中值最大 的是（） a 1 122 aba b b 121 2 a abb c 1 22 1 aba b d 1 2 答案 a 3.（2008 浙江）已知a，b都是實數，那么“ 22 ba ”是“ab”的（ ） a充分而不必要條件 b. 必要而不充分條件 c充分必要條件 d. 既不充分也不必要條件 答案 d 4.（2008 海南）已知 123 0aaa，則使得 2 (1)1 i a x(1

10、,2,3)i 都成立的x取值范 圍是（ ） a.（0， 1 1 a ） b. （0， 1 2 a ） c. （0， 3 1 a ） d. （0， 3 2 a ） 答案 b 5、 （2008 山東）不等式 2 5 2 (1) x x 的解集是（ ） a 1 3 2 ，b 1 3 2 ，c 1 113 2 ，d 1 113 2 ， 解析 本小題主要考查分式不等式的解法。易知1x 排除 b;由0 x 符合可排除 c;由3x 排除 a, 故選 d。也可用分式不等式的解法,將 2 移到左邊直接求解。 答案 d 6、 （2007 廣東）設, a br，若| 0ab，則下列不等式中正確的是（ ） a、0ba

11、 b、 33 0ab c、 22 0ab d、0ba 解析 利用賦值法：令1,0ab排除 a,b,c,選 d 答案 d 7、 （2007湖南湖南） 不等式 2 0 1 x x 的解集是（ ） a(1)( 12 ，b 12 ，c(1)2) ，d( 12 ， 答案 d 8 （2007 福建）已知集合 a |x xa，b |12xx，且 r ()abr ，則實數a 的取值范圍是（ ） a2a b a2 答案 c 9(2007 安徽)若對任意xr,不等式xax 恒成立，則實數 a 的取值范圍是（ ） (a)a-1 (b)a1 (c) a1 d.a1 答案 b 10(2007 浙江)“x1”是“x2x”

12、的（ ） (a)充分而不必要條件 (b)必要而不充分條件 (c)充分必要條件 (d)既不充分也不必要條件 答案 a 11 （2007 湖南）1不等式 2 xx的解集是（ ） a(0)，b(01)，c(1)，d(0)(1)， 答案 d 12 （2007 廣東） 已知集合 m=x|1+x0，n=x|0，則 mn=（ ） 1 1 ax|-1x1 bx|x1 cx|-1x1 dx|x-1 答案 c 13 （2006 安徽）不等式 11 2x 的解集是（ ） a(,2) b(2,) c(0,2) d(,2)(2,) 答案 d 解：由 11 2x 得： 112 0 22 x xx ，即(2)0 xx，故選

13、 d 14 （2006 山東）設f(x)= 1 2 3 2,2, log (1),2, x ex xx 則不等式f(x)2 的解集為 (a)（1，2）（3，+） (b)（10，+） (c)（1，2） （10 ，+） (d)（1，2） 答案 c 15、 （2006 江西）若 a0，b0，則不等式b 1 x a 等價于（ ） a 1 b x0 或 0 x 1 a b. 1 a x 1 b c.x- 1 a 或 x 1 b d.x 1 b 或 x 1 a 答案 d 解析 故選 d 16(2006 上 海)如果0,0ab，那么，下列不等式 中正確的是（ ） a. 11 ab b.ab c. 22 ab

14、 d.| |ab 答案 a 解析 如果0,0ab，那么 11 0,0 ab ， 11 ab ，選 a. 答案 a 17 （2006 上海春）若bacba,r、，則下列不等式成立的是( ) a. ba 11 . b. 22 ba . c. 11 22 c b c a .d.|cbca. 答案 c 解析 應用間接排除法取 a=1,b=0，排除 a. 取 a=0,b=-1，排除 b; 取 c=0，排除 d故應該選 c顯 11bx b00 1 xx ba 11axx a00 xx 1 x0 x xbx10 11 b xx x 1ax01ba xx0 a 或 （） 或 （） 或 然 ，對不等式 ab 的

15、兩邊同時乘以 ，立得 成立 18 （2006年陜西）已知不等式 1 ()()9 a xy xy 對任意正實數 , x y 恒成立，則正實數a的最小值為 （ ） （）8（）6c.4d.2 答案 d 19 （2005 福建）不等式0 13 12 x x 的解集是（ ） a 2 1 3 1 |xxx或b 2 1 3 1 |xx c 2 1 |xxd 3 1 |xx 答案 a 20. （2005 遼寧）在 r 上定義運算).1 (:yxyx若不等式1)()(axax對任意實數x成立， 則（ ） a11ab20 ac 2 3 2 1 ad 2 1 2 3 a 答案 c 21. （2005 山東）01a，

16、下列不等式一定成立的是（ ） a. (1)(1) log(1)log(1)2 aa aa b. (1)(1) log(1)log(1) aa aa c. (1)(1) log(1)log(1) aa aa (1)(1) log(1)log(1) aa aa d. (1)(1) log(1)log(1) aa aa (1)(1) log(1)log(1) aa aa 答案 a 二、二、填空題填空題 22、（2008 上海）不等式11x 、的解集是 答案 （0，2） 23.（2008 山東）若不等式3x-b4 的解集中的整數有且僅有 1，2，3，則b的取值范圍 . 答案 （5，7）. 24.（20

17、08 江西）不等式 3 1 1 2 2 x x 的解集為 答案 (, 3(0,1 25 （2007 北京）已知集合|1ax xa， 2 540bx xx 若ab ，則實數a的 取值范圍是（2，3） 26（2006 江蘇）不等式3)6 1 (log2 x x的解集為 【思路點撥】本題考查對數函數單調性和不等式的解法 答案 ( 32 2, 32 2)1x 解析 1 (6) 8 22 log3log x x ，0 1 68x x ， 1 2 1 60 x x x x . 解得( 32 2, 32 2)1x 27.（2006 浙江）不等式 1 0 2 x x 的解集是。. 答案 x1 或 x2 解析

18、1 0 2 x x （x1） （x2）0 x1 或 x2. 28.（2006 上海）不等式0 1 21 x x 的解集是 . 答案 解析 應用結論： 不等式 等價于(1-2x)(x+1)0，也就是 ，所以 ，從而應填 三、解答題三、解答題 29.（2007 北京）記關于x的不等式0 1 xa x 的解集為p，不等式11x 的解集為q （i）若3a ，求p； （ii）若qp，求正數a的取值范圍 解：（i）由 3 0 1 x x ，得13pxx （ii）1102qx xxx 由0a ，得1pxxa ，又qp，所以2a ， 即a的取值范圍是(2)， 30（2007 湖北湖北）已知 m，n 為正整數.

19、 （）用數學歸納法證明：當 x-1 時，(1+x)m1+mx； （）對于 n6，已知 2 1 3 1 1 n n ，求證 mn n m 2 1 3 1，m=1,1,2，n； （）求出滿足等式 3n+4m+(n+2)m=(n+3)n的所有正整數 n. 解：（）證：當 x=0 或 m=1 時，原不等式中等號顯然成立，下用數學歸納法證明： 當 x-1，且 x0 時，m2,(1+x)m1+mx. 1 (i)當 m=2 時，左邊1+2x+x2,右邊1+2x，因為 x0,所以 x20，即左邊右邊，不等式成立； （ii）假設當 m=k(k2)時，不等式成立，即（1+x）k1+kx,則當 m=k+1 時，因為

20、 x-1,所以 1+x0.又因 為 x0,k2,所以 kx20. 于是在不等式（1+x）k1+kx 兩邊同乘以 1+x 得 （1+x）k(1+x)(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x, 所以（1+x）k+11+(k+1)x,即當 mk+1 時，不等式也成立. 綜上所述，所證不等式成立. ()證：當,) 2 1 () 3 1 1 (, 2 1 3 1 1, 6 m n mm nn nmn 、 而由（） ， 3 1) 3 1 1 ( n m n m .) 2 1 () 3 1 1 () 3 1 ( m n mn nn m （）解：假設存在正整數 00 )3()2(436

21、 00 00 0 nnnn nnn、成立， 即有（ 0 3 3 0 n n ）+ 00 ) 3 2 () 3 4 ( 0 0 0 nn n n n 1. 又由（）可得 （ 0 3 3 0 n n ）+ 0000 ) 3 1 1 () 3 1 () 3 2 () 3 4 ( 0 0 0 0 0 0 0 nnnn n n n n n n n +, 1 2 1 1 2 1 ) 2 1 () 2 1 () 3 1 1 ( 0 000 1 0 n nnn n 與式矛盾， 故當 n6 時，不存在滿足該等式的正整數 n. 故只需要討論 n=1,2,3,4,5 的情形； 當 n=1 時，34，等式不成立； 當

22、 n=2 時，32+4252，等式成立； 當 n=3 時，33+43+5363，等式成立； 當 n=4 時，34+44+54+64為偶數，而 74為奇數，故 34+44+54+6474,等式不成立； 當 n=5 時，同 n=4 的情形可分析出，等式不成立. 綜上，所求的 n 只有 n=2,3. 第二部分第二部分 三年聯考題匯編三年聯考題匯編 20092009 年聯考題年聯考題 一、選擇題 1、 （山東省樂陵一中 2009 屆高三考前練習）已知, a b為非零實數，且ab，則下列命題成立的是 （ ） a . 22 ab b. 22 a bab c.220 ab d. 11 ab 答案 c 2.若

23、ab，則(安徽省示范高中皖北協作區 2009 屆高三第一次聯考試題)下列不等式中正確的是 （ ） a 11 ab b 22 ab c 22 acbc d 22 22 abab 答案 d 3 （福建省福州市普通高中 09 年高三質量檢查）已知 0)2(, 0)(,0,), 0)(fxfxrxxxf且時當是奇函數，則不等式 0)(xf的解集是（ ） a （2，0）b), 2( c), 2()0 , 2( d), 2()2,( 答案 c 4 （安徽省合肥市 2009 屆高三上學期第一次教學質量檢測）不等式 2 1x 的解集為 a | 11xx b |1x x c |1x x d |11x xx 或

24、答案 c 5. (北京市朝陽區北京市朝陽區 2009 年年 4 月高三一模理月高三一模理)蔬菜價格隨著季節的變化而有所變化. 根據對農貿市場蔬菜價格 的調查得知，購買 2 千克甲種蔬菜與 1 千克乙種蔬菜所需費用之和大于 8 元，而購買 4 千克甲種蔬菜 與 5 千克乙種蔬菜所需費用之和小于 22 元. 設購買 2 千克甲種蔬菜所需費用為a元，購買 3 千克乙種 蔬菜所需費用為b元，則 （ ） aab bab cab d,a b 大小不確定 答案 a 6(北京市西城區北京市西城區 20092009 年年 4 4 月高三一模抽樣測試理月高三一模抽樣測試理) )設 , a br，且(1)0b ab

25、+， (1)bcbbaccbcadcab 答案 b 9、 （2009 龍巖一中理）若不等式|4|3|xxa的解集為非空集合，則實數a的取值范圍是（ ） a7a b17a c1a d1a 答案 c 10、 （2009 龍巖一中文）已知 a,br，且 ab，則下列不等式中恒成立的是 （ ） aa2b2b( 2 1 ) a 0d b a 1 答案 b 11、 （2009 泉州市）0,04,abab若，且則下列不等式中恒成立的是 11 . 2 a ab 11 .1b ab .2cab 22 11 . 8 d ab 答案 d 12、 （2009 廣州一模）已知 p：關于 x 的不等式 x2+2axa0

26、的解集是 r，q：1a的解集為_. 答案 1 |1 3 x xx、 14.( (北京市東城區北京市東城區 20092009 年年 3 3 月高中示范校高三質量檢測理月高中示范校高三質量檢測理) )已知函數 f(x)的定義域為2，+)，部分 對應值如下表,)(x f 為 f (x)的導函數，函數)(xfy的圖象如右圖所示，若兩正數 a，b 滿足 1)2( baf，則 3 3 a b 的取值范圍是 答案 3 7 , 5 3 15( (北京市東城區北京市東城區 20092009 年年 3 3 月高中示范校高三質量檢測文月高中示范校高三質量檢測文) )若關于x的不等式62 ax的解集為 2 , 1，則

27、實數a的值等于 答案 -4 16. ( (北京市豐臺區北京市豐臺區 20092009 年年 3 3 月高三統一檢測文月高三統一檢測文)不等式02 1 x 的解集是 。 答案 ) 2 1 , 0( 17、 （2009 龍巖一中文）當(12)x ，時，不等式 2 40 xmx恒成立，則m的取值范圍是 答案 5m 18、 （山東省樂陵一中 2009 屆高三考前練習）設 p:實數 x 滿足 22 430 xaxa,其中0a ,命題:q實 數x滿足 2 2 60, 280. xx xx . ()若1,a 且pq為真，求實數x的取值范圍； ()若p是q的充分不必要條件,求實數x的取值范圍. 解解 由 22

28、 430 xaxa得(3 )()0 xa xa， 又0a ,所以3axa, 當1a 時，13x ,即p為真時實數x的取值范圍是 13x . 2 分 由 2 2 60 280 xx xx ,得23x,即q為真時實數x的取值范圍是23x. 4 分 若pq為真，則p真且q真， 2 x y o x204 f (x)111 所以實數x的取值范圍是23x. 6 分 () p是q的充分不必要條件，即pq,且q p, 8 分 設 a= |xp,b= |xq,則ab, 又 a= |xp= |3 x xaxa或, b= |xq=23xx或， 10 分 則 0ac是bc的 a.充分不必要條件 b. 必要不充分條件

29、c.充要條件 d.即不充分也不必要條件 答案 d 4、(2008 江蘇省啟東中學高三綜合測試四)不等式 x x1 log2 1 的解集為 ( ) a1, b , 1 c0, 1 d, 01, 答案 c 5、(2008 江西省五校 2008 屆高三開學聯考)設 2 sin1sin2sin 222 n n n a , 則對任意正整數 , ()m n mn , 都成立的是 a| 2 nm m n aa b| 2 nm mn aa c 1 | 2 nm n aa d 1 | 2 nm n aa 答案 c 12 sin(1)sin(2)sin | | 222 nm nnm nnm aa 12 sin(1

30、)sin(2)sin | 222 nnm nnm 11 12 11 11111 22 | 1 22222 1 2 nm nnmnm 1 2 n . 故應選 c 6、(陜西長安二中 2008 屆高三第一學期第二次月考)設1 2 1 2 1 2 1 ab ，那么( ) a. aba baa b. baa aba c。 aab baa d. aab aba 答案 c 7、(四川省樂山市 2008 屆第一次調研考試)已知, ,a b c滿足0c b aac 、 、，則下列選項中不一定能成立 的是（） a bc aa ；b.0 b a c ；c. 22 ba cc ；d.0 a c ac ； 答案 c 8、(四