1、推薦結(jié)構(gòu)彈塑性分析的新本構(gòu)關(guān)系秦榮（廣西大學(xué) 南寧市 530004）摘要 本文介紹了作者創(chuàng)立的新本構(gòu)關(guān)系。這種新本構(gòu)關(guān)系避開了屈服曲面，加載曲面及流動(dòng)法則，避免了傳統(tǒng)的經(jīng)典本構(gòu)關(guān)系帶來的巨大困難及嚴(yán)重缺陷，突破了傳統(tǒng)的經(jīng)典本構(gòu)關(guān)系。關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu) 彈塑性分析 新本構(gòu)關(guān)系 彈塑性應(yīng)變理論 彈粘塑性應(yīng)變理論結(jié)構(gòu)分析與結(jié)構(gòu)材料的本構(gòu)關(guān)系有密切關(guān)系。結(jié)構(gòu)的材料是多種多樣的，不同的材料有不同的本構(gòu)關(guān)系。因此在結(jié)構(gòu)非線性力學(xué)中，研究材料本構(gòu)關(guān)系是一個(gè)重要問題。目前，國內(nèi)外對結(jié)構(gòu)彈塑性分析主要采用傳統(tǒng)的經(jīng)典本構(gòu)關(guān)系-流動(dòng)法則理論，它依賴于流動(dòng)法則，而流動(dòng)法則又依賴于屈服曲面、強(qiáng)化準(zhǔn)則及加載曲面。在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)

2、中，屈服曲面及加載曲面是否存在，現(xiàn)在還沒有實(shí)驗(yàn)證實(shí)，只是推猜及理想化，同時(shí)流動(dòng)法則會(huì)導(dǎo)致復(fù)雜的非線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。因此，利用這種傳統(tǒng)的經(jīng)典本構(gòu)關(guān)系分析結(jié)構(gòu)彈塑性問題，不僅計(jì)算非常復(fù)雜，而且也難保逼真度，為結(jié)構(gòu)彈塑性分析帶來了巨大的困難和嚴(yán)重的缺陷。本構(gòu)關(guān)系是結(jié)構(gòu)非線性分析不可缺少的理論基礎(chǔ)。評價(jià)一個(gè)本構(gòu)關(guān)系的好壞，不僅要看它們所反映客觀的逼真度，而且還要看它們在計(jì)算上是否經(jīng)濟(jì)方便。如果一個(gè)本構(gòu)模型在計(jì)算上很復(fù)雜，難以實(shí)現(xiàn)，則這個(gè)模型的逼真度再好，也難以推廣使用。由此可知，建立一個(gè)新的本構(gòu)模型，必須同時(shí)考慮到理論上的嚴(yán)格性、參數(shù)的易確定性及計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的可能性。一個(gè)好的本構(gòu)模型應(yīng)在這三者之間達(dá)到最

3、優(yōu)的平衡狀態(tài)。針對經(jīng)典本構(gòu)關(guān)系存在的問題，作者建立了新的本構(gòu)關(guān)系112。這種新的本構(gòu)關(guān)系避開了屈服曲面、加載曲面及流動(dòng)法則，避免了經(jīng)典本構(gòu)關(guān)系帶來的巨大困難及嚴(yán)重缺陷。本文介紹這種新的本構(gòu)關(guān)系。1 彈塑性應(yīng)變增量理論1.1 單向拉伸狀態(tài)圖1 單向曲線圖1是一個(gè)單向拉伸狀態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變曲線，其中A點(diǎn)為材料的彈性極限點(diǎn)或屈服極限點(diǎn)，也稱初始彈性極限點(diǎn)或初始屈服點(diǎn)。材料在拉伸作用下應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系沿曲線OAB到達(dá)B點(diǎn)后，如果卸載，則卸載應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系沿直線BD下降，且BDOA。由此可知，當(dāng)應(yīng)力超過彈性極限或屈服極限時(shí)，材料的總應(yīng)變?yōu)?（1）式中及分別為彈性應(yīng)變及塑性應(yīng)變，而應(yīng)力可寫成形式 （2）由此可得

4、 （3）式中、及分別為、及p的增量。如果采用線性強(qiáng)化彈塑性模型，則由式（3）可得 （4）式中為材料的強(qiáng)化函數(shù)，即 （5）當(dāng)重新從D點(diǎn)開始加載時(shí)，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系沿曲線DBC變化。不論加載曲線是OAB還是DB，在B點(diǎn)的應(yīng)力都是，因此可以按路徑DB來確定B點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。因?yàn)樵贒B段中的變形處于彈性狀態(tài)，因此。故由式（1）可得 （6）將式（4）代入式（6）可得 （7）式中 （8）將式（8）中的代入式（7）可得 （9）這是塑性應(yīng)變與總應(yīng)變的關(guān)系（圖2）。如果采用增量形式，則圖2p關(guān)系 （10）式中、及分別為、及的增量。為彈性極限應(yīng)變或后繼彈性極限應(yīng)變（屈服應(yīng)變或后繼屈服應(yīng)變）。E為彈性模量。在圖1中，B

5、點(diǎn)為材料的后繼彈性極限點(diǎn)或后繼屈服極限點(diǎn)。由此可知，在加載過程中，加載路徑超過A點(diǎn)后，經(jīng)過加載路徑ABC上的任何一點(diǎn)（除A點(diǎn)外）都是后繼彈性極限點(diǎn)或后繼屈服極限點(diǎn)。例如，如果設(shè)BC上有B1、B2、B3及B4點(diǎn)，則B點(diǎn)、B1點(diǎn)、B2點(diǎn)、B3點(diǎn)、B4點(diǎn)及C點(diǎn)都是后繼彈性極限點(diǎn)或后繼屈服極限點(diǎn)，即由此可得 （11）式中及分別為加載路徑ABC上B點(diǎn)及C點(diǎn)的應(yīng)力。1.2 簡單加載狀態(tài)如果在加載過程中，結(jié)構(gòu)內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力分量之間的比值保持不變，且按同一個(gè)參數(shù)單調(diào)增長，則這個(gè)加載稱為簡單加載，它符合簡單加載定理5。在簡單加載條件下的實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，等效應(yīng)力及等效應(yīng)變之間存在著幾乎相同的關(guān)系，而與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)。

6、因此，可以假定，結(jié)構(gòu)在任何應(yīng)力狀態(tài)下，其等效應(yīng)力與等效應(yīng)變之間存在著唯一的關(guān)系 （12）式中的具體形式由簡單拉伸實(shí)驗(yàn)確定。這個(gè)假定稱為單一曲線假定。實(shí)際上，在驗(yàn)證單一曲線假設(shè)的實(shí)驗(yàn)中，并沒有完全滿足簡單加載條件，因此可以認(rèn)為，在偏離簡單加載不大的情況下，單一曲線假設(shè)仍然適用。由此可以得出一個(gè)結(jié)論：只要是簡單加載或偏離簡單加載不大，任何應(yīng)力狀態(tài)的曲線基本上與簡單拉伸的曲線相同，可以用曲線表示曲線。在空間受力狀態(tài)，如果加載方式是簡單加載，則各點(diǎn)的應(yīng)力分量都遵循同一比例，即 （13）各點(diǎn)的同類應(yīng)力應(yīng)變曲線都遵循同一曲線。如果材料處于塑性狀態(tài)，則由圖3可得 （14）式中：為應(yīng)力分量；為彈性極限應(yīng)力或屈

7、服極限應(yīng)力；為總應(yīng)變；為彈性應(yīng)變；為塑性應(yīng)變分量；為強(qiáng)化系數(shù)，即 （15）對于各向同性體，由廣義虎克定律可得B點(diǎn)的應(yīng)力分量： （16）式中。E為彈性模量，G為剪切模量，即 （17）其中為泊松比。由上述可求出圖3 B點(diǎn)的應(yīng)力分量。 圖3 曲線如果設(shè)1、2及3為空間應(yīng)力問題的主應(yīng)變方向，則可以證明，在簡單加載情況下，主方向的塑性應(yīng)變分量為 （18）式中：為i方向的彈性模量；為i方向的彈性極限應(yīng)變或后繼彈性極限應(yīng)變（屈服應(yīng)變分量或后繼屈服應(yīng)變分量）；，其中為i方向的強(qiáng)化系數(shù)，即。如果固體為各向同性體，則可寫為下列形式： （19）式中1，2，3。、及可寫成下列形式： （20）其中及分為屈服應(yīng)力及屈服應(yīng)

8、變，或后繼屈服應(yīng)力極限及后繼屈服應(yīng)變極限（或后彈性極限）。對于各向同性體，任意方向的塑性應(yīng)變分量可以通過坐標(biāo)變換獲得 （21）式中、及分別為與主應(yīng)力方向1、2及3之間的夾角余弦，。如果固體為各向同性體，則將式（18）代入式（21）可得 （22）式中 / （23）式（23）的具體形式見式（30），這時(shí)式（30）按各向同性處理。由式（24）確定： （24）如果固體為正交各向異性體，則可以證明 （25）式中（26） I為單位矩陣，其中及分別為 （27） （28） 由式（2.17）可簡化為 （29）式中 （30）由圖3可知，利用正交廣義虎克定理可求出點(diǎn)的應(yīng)力分量： （31）式中為i方向應(yīng)力引起j方向應(yīng)

9、變的泊松比。由上述可得：（32）式中為屈服應(yīng)變或后繼彈性應(yīng)變極限或后繼屈服應(yīng)變極限。如果采用,則可證明 （33）其中 （34）式中：D為彈性矩陣；I為單位矩陣。式（31）可簡化為 （35）式中 （36）由上述可知，式（18）、（22）、（25）、（29）、（33）及（35）分別代表塑性應(yīng)變向量與總應(yīng)變向量的新關(guān)系。這種新關(guān)系稱為彈塑性應(yīng)變理論1，5。可利用式（24）或式（26）確定。1.3 復(fù)雜加載狀態(tài)如果結(jié)構(gòu)處于復(fù)雜加載狀態(tài)，則由上述可得 （37）或 （38）如果采用，則 （39）或 （40）式中：、及分別為、及的增量。由上述可知，式（37）（40）代表塑性應(yīng)變向量增量與總應(yīng)變向量增量的新關(guān)

10、系，這種關(guān)系稱為彈塑性應(yīng)變增量理論1，5。1.4 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如果結(jié)構(gòu)處于彈塑性狀態(tài)，則應(yīng)力與應(yīng)變有關(guān)系 （41）式中 如果采用增量形式，則由式（41）可得 （42）其中 式中：D為彈性矩陣，及由上述彈塑性應(yīng)變理論的表達(dá)式確定。及可分別利用式（24）或式（26）確定。2 熱彈塑性應(yīng)變增量理論熱彈塑性分析在工程中應(yīng)用很廣。實(shí)驗(yàn)證明，材料的彈性模量、Poisson比、熱膨脹系數(shù)以及屈服應(yīng)力等一般與溫度有關(guān)，但某些材料，當(dāng)溫度在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，上述物理量的改變并不顯著，可以近似地看作與溫度無關(guān)。本節(jié)介紹作者提出的熱彈塑性本構(gòu)關(guān)系。2.1 材料性質(zhì)與溫度無關(guān)的本構(gòu)關(guān)系對于結(jié)構(gòu)工程，如果采用彈塑性模型

11、，則總應(yīng)變向量為 （43）式中、及分別為結(jié)構(gòu)的彈性應(yīng)變向量、塑性應(yīng)變向量及溫度應(yīng)變向量。由上述可得 （44）式中：為塑性變形引起的應(yīng)力變量；為溫度變化引起的應(yīng)力變量，即 （45）其中 （46）式中：T為溫度變化；為熱膨脹系數(shù)向量。如果采用彈塑性應(yīng)變理論，則或 （47）因?yàn)椋虼擞墒剑?7）可得 （48）上式可簡化為 （49）由上述可知，式（48）（49）代表熱塑性應(yīng)變向量與總應(yīng)變向量及溫度應(yīng)變向量的新關(guān)系，這種關(guān)系稱為熱彈塑性應(yīng)變理論1，5。如果采用增量形式，則 （50）式中 （51）其中、及分別為應(yīng)力向量、應(yīng)變向量及溫度的增量。由式（48）及（49）可得 （52）上式可簡化為 （53）由上述

12、可知，式（52）及（53）代表熱塑性應(yīng)變向量增量與總應(yīng)變向量增量及溫度應(yīng)變向量增量的新關(guān)系，這種關(guān)系稱為熱彈塑性應(yīng)變增量理論1，5。可利用式（24）或式（26）確定。2.2 材料性質(zhì)與溫度有關(guān)的本構(gòu)關(guān)系如果材料性質(zhì)與溫度有關(guān)，則彈性模量、Poisson比、熱膨脹系數(shù)都是溫度T的函數(shù)，并且彈性極限應(yīng)力或屈服應(yīng)力也與溫度有關(guān)。如果采用彈塑性模型，則 （54）因?yàn)?（55）因此 （56）由上式可得 （57）將式（57）代入式（54）可得 （58）式中 （59）其中 + （60）由此可得 （61）式中 （62）如果采用熱彈塑性應(yīng)變理論，則 （63）由此可得圖4 彈粘塑性模型+ （64）由式（61）及（

13、64）可得+ （65）由此可得 （66）式中 （67）其中 （68）由上述可將式（66）簡化為 （69） 由上述可知，式（66）及（69）代表熱塑性應(yīng)變向量增量與總應(yīng)變向量增量及溫度應(yīng)變向量增量的新關(guān)系，這種新關(guān)系稱為熱彈塑性應(yīng)變增量理論1，5。及可分別利用式（24）或式（26）確定。上述彈塑性應(yīng)變理論、彈塑性應(yīng)變增量理論、熱彈塑性應(yīng)變理論及熱彈塑性應(yīng)變增量理論是秦榮于1986年以來創(chuàng)立的。3 彈粘塑性應(yīng)變增量理論彈粘塑性模型由彈性元件E、粘性元件V及塑性元件P混聯(lián)構(gòu)成。因?yàn)檫@種模型能較好地反映材料的力學(xué)特性，因此在塑性力學(xué)中應(yīng)用很廣。但傳統(tǒng)的彈粘塑性理論對結(jié)構(gòu)分析很困難，本文避開傳統(tǒng)的彈粘塑

14、性理論，創(chuàng)立了彈粘塑性應(yīng)變理論。3.1 單向應(yīng)力狀態(tài)圖4是一個(gè)一維的彈粘塑性模型。彈性元件E代表彈性性質(zhì)，粘性元件V代表粘性性質(zhì)，塑性元件P代表塑性性質(zhì)。由圖4可得 （70） （71） （72）式中：、及分別為彈性元件、粘性元件及塑性元件的應(yīng)力；、及分別為總應(yīng)變、彈性應(yīng)變及粘塑性應(yīng)變。因?yàn)樗苄栽硭苄孕再|(zhì)，因此當(dāng)時(shí)，塑性元件不會(huì)發(fā)生變形；當(dāng)時(shí)，塑性元件發(fā)生變形。對于強(qiáng)化材料，如果，則塑性元件中的應(yīng)力可寫成形式 （73）因?yàn)檎承栽碚承孕再|(zhì)，因此粘性元件的應(yīng)力可寫成形式 （74）式中：為粘性系數(shù)；為應(yīng)變率。將式（73）及（74）代入式（72）可得 （75）將式（71）代入上式可得 （76

15、）將式（70）代入上式可得 （77）它的增量形式為 （78）如果設(shè) （79）則將式（79）代入式（78）可得 （80）這是粘塑性應(yīng)變增量與總應(yīng)變增量的新關(guān)系1，5。式中、及分別為總應(yīng)變、粘塑性應(yīng)變及屈服應(yīng)變的增量，是一個(gè)參數(shù)，可在00.3范圍內(nèi)根據(jù)具體情況選定。3.2 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)如果結(jié)構(gòu)處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，則 （81）式中 （82） （83）其余記號(hào)見式（23）（36）。將代入式（81）可得 （84）式中 （85）如果采用，則可得 （86）式中由式（36）及（86）可得或 （87）式中 （88） （89）由上述可知，式（84）、（86）及（87）代表粘塑性應(yīng)變向量增量與總應(yīng)變向量增量的新關(guān)系，

16、這種新關(guān)系稱為彈粘塑性應(yīng)變增量理論1，5。可利用式（24）或式（26）確定。3.3 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如果結(jié)構(gòu)處于彈粘塑性狀態(tài)，則應(yīng)力與應(yīng)變有關(guān)系 （90）式中 （91）4 熱彈粘塑性應(yīng)變增量理論4.1 材料性質(zhì)與溫度無關(guān)如果結(jié)構(gòu)處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，則 （92）上式可簡化為 （93）由上述可知，式（92）及（93）代表熱粘塑性應(yīng)變向量增量與總應(yīng)變向量增量及溫度應(yīng)變向量增量的新關(guān)系。這種關(guān)系稱為熱彈粘塑性應(yīng)變增量理論1，5。4.2 材料性質(zhì)與溫度有關(guān)如果材料性質(zhì)與溫度有關(guān)，則或 （94）上式可簡化為或 （95）由上述可知，式（94）及（95）代表熱彈粘塑性應(yīng)變向量增量與總應(yīng)變向量增量及溫度應(yīng)變向量增量的

17、新關(guān)系，這種關(guān)系稱為熱彈粘塑性應(yīng)變增量理論1，5。可利用式（24）或式（26）確定。4.3 統(tǒng)一的本構(gòu)理論如果采用全量形式，則 （96）上式可簡化為 （97）式（96）及（97）代表熱彈粘塑性應(yīng)變?nèi)坷碚?，5，式（94）及（95）代表熱彈粘塑性應(yīng)變增量理論，它們可以代表統(tǒng)一的本構(gòu)理論，由此可以導(dǎo)出各類本構(gòu)理論，式（94）及（95）可變?yōu)閺椪乘苄詰?yīng)變增量理論。如果，則式（96）及（97）可變?yōu)闊釓椝苄詰?yīng)變?nèi)坷碚摚剑?4）及（95）可變?yōu)闊釓椝苄詰?yīng)變增量理論。如果,則式（96）及（97）可變?yōu)閺椝苄詰?yīng)變?nèi)坷碚摚剑?4）及（95）可變?yōu)閺椝苄詰?yīng)變增量理論。如果，則由式（94）及（95）可知

18、，故結(jié)構(gòu)處于彈性狀態(tài)。由此可知，式（94）及（96）代表統(tǒng)一本構(gòu)理論1，5。上述彈粘塑性應(yīng)變理論及熱彈粘塑性應(yīng)變理論是秦榮1986年以來創(chuàng)立的。5 新的本構(gòu)關(guān)系如果將式（35）代入式（41），則可得： （98） 式中為彈塑性矩陣，即 （99） 其中為塑性矩陣，即 （100）它是由彈塑性應(yīng)變理論建立的，不是由流動(dòng)法則理論建立的，它是一個(gè)創(chuàng)新。將式（100）代入式（99）可得 （101）由上式可知，式（98）是一種新的本構(gòu)關(guān)系。式中為彈性極限應(yīng)變（或屈服極限應(yīng)變）或后繼彈性極限應(yīng)變（或后續(xù)屈服極限應(yīng)變），可利用式（24）或式（26）確定。 如果采用增量形式，則由式（40）及（42）可得 （102）

19、這是增量形式的本構(gòu)關(guān)系，也是一種新的本構(gòu)關(guān)系。式中及分別為及的增量。由式（24）或式（26）的增量確定。上述新的本構(gòu)關(guān)系與流動(dòng)法則理論不同。對于流動(dòng)法則理論，式（102）中的為0，由流動(dòng)法則理論建立的，給結(jié)構(gòu)彈塑性分析帶來巨大的困難及嚴(yán)重的缺陷。用本文新理論建立的比用流動(dòng)法則理論建立的優(yōu)越。6結(jié)語（1）本文介紹的結(jié)構(gòu)塑性力學(xué)分析的新本構(gòu)關(guān)系，是作者1985年以來長期研究的新成果，它避開了經(jīng)典本構(gòu)關(guān)系（流動(dòng)法則理）帶來的巨大困難及嚴(yán)重缺陷，突破了傳統(tǒng)的經(jīng)典本構(gòu)關(guān)系。（2）塑性動(dòng)力學(xué)的本構(gòu)關(guān)系與應(yīng)變率有密切關(guān)系。如果應(yīng)變率不大，可以不考慮應(yīng)變率的影響，采用靜力本構(gòu)關(guān)系。如果應(yīng)變率較大，可采用彈粘塑

20、性本構(gòu)關(guān)系10。（3）作者的有些研究生利用這些新本構(gòu)關(guān)系，研究過結(jié)構(gòu)塑性力學(xué)分析，利用語言，編制過有關(guān)程序，算過一些例題，效果很好13-19。（4）有些學(xué)者引用過這個(gè)新本構(gòu)關(guān)系，算過一些例題，效果很好20-27。（5）本文對作者過去的文獻(xiàn)中有關(guān)筆誤及印刷錯(cuò)漏進(jìn)行了修正，并對有的問題進(jìn)行解釋，供讀者參考，請注意。參考文獻(xiàn)1秦榮，塑性力學(xué)中的新理論新方法，廣西科學(xué)，1994，1（1）；廣西力學(xué)學(xué)會(huì)1985年學(xué)術(shù)大會(huì)特邀報(bào)告，1985。2秦榮，板殼彈塑性問題的樣條有限點(diǎn)法，力學(xué)學(xué)報(bào)，1989，21（增刊）。3秦榮，高層建筑結(jié)構(gòu)彈塑性分析的新方法，土木工程學(xué)報(bào)，1994，27（6）。4秦榮，結(jié)構(gòu)本構(gòu)關(guān)系，廣西科學(xué)，2002，9（4）。5秦榮，大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)非線性分析的新理論新方法，北京：科學(xué)出版社，2011。6秦榮，板殼非線性分析的新理論新方法，工程力學(xué)，2004，21（1）。7秦榮，朱旭輝，潘春宇，鋼結(jié)構(gòu)彈塑性分析的樣條有限點(diǎn)法，科學(xué)技術(shù)與工程，2009，9（8）。8秦榮，計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)，北京：科學(xué)出版社，2001。9秦榮，工程結(jié)構(gòu)非線性，北京：科學(xué)出版社，2006。10秦榮，計(jì)算結(jié)構(gòu)非線性力學(xué)！，南寧：科學(xué)技術(shù)出版社，1999。11秦榮，智能結(jié)構(gòu)力學(xué)，