1、專題突破練15空間中的平行與空間角1.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面ACC1A1底面ABC,A1AC=60,AC=2AA1=4,點(diǎn)D,E分別是AA1,BC的中點(diǎn).(1)證明:DE平面A1B1C;(2)若AB=2,BAC=60,求直線DE與平面ABB1A1所成角的正弦值.2.(2018河南安陽(yáng)一模,理19)如圖,在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,正四面體(各條棱均相等的三棱錐)ABCD的頂點(diǎn)A,B,C分別在x軸,y軸,z軸上.(1)求證:CD平面OAB;(2)求二面角C-AB-D的余弦值.3.如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,BAD

2、=ABC=90,E是PD的中點(diǎn).(1)證明:直線CE平面PAB;(2)點(diǎn)M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45,求二面角M-AB-D的余弦值.4.(2018江蘇鹽城模擬,25)如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=4,AB=2,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn).(1)求異面直線AC1與DM所成角的余弦值;(2)求直線AC1與平面AD1M所成角的正弦值.5.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD平面ABCD,點(diǎn)M在線段PB上,PD平面MAC,PA=PD=,AB=4.(1)求證:M為PB的中點(diǎn);(2)求二面角B-PD-A的大小;(3)求直線MC與平面BDP所成角

3、的正弦值.6.(2018江蘇卷,22)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,點(diǎn)P,Q分別為A1B1,BC的中點(diǎn).(1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值;(2)求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值.7.如圖1,在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中,BAD=60,將BCD沿對(duì)角線BD折起到BCD的位置,使平面BCD平面ABD,E是BD的中點(diǎn),FA平面ABD,且FA=2,如圖2.(1)求證:FA平面BCD;(2)求平面ABD與平面FBC所成角的余弦值;(3)在線段AD上是否存在一點(diǎn)M,使得CM平面FBC?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案專題突破練15空間中的平行與空間

4、角1.(1)證明 取AC的中點(diǎn)F,連接DF,EF,E是BC的中點(diǎn),EFAB.ABC-A1B1C1是三棱柱,ABA1B1,EFA1B1,EF平面A1B1C.D是AA1的中點(diǎn),DFA1C,DF平面A1B1C.又EFDF=F,平面DEF平面A1B1C,DE平面A1B1C.(2)解 過(guò)點(diǎn)A1作A1OAC,垂足為O,連接OB,側(cè)面ACC1A1底面ABC,A1O平面ABC,A1OOB,A1OOC.A1AC=60,AA1=2,OA=1,OA1=AB=2,OAB=60,由余弦定理得OB2=OA2+AB2-2OAABcosBAC=3,OB=,AOB=90,OBAC.分別以O(shè)B,OC,OA1為x軸、y軸、z軸,建

5、立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,由題設(shè)可得A(0,-1,0),C(0,3,0),B(,0,0),A1(0,0,),D0,-,E設(shè)m=(x1,y1,z1)是平面ABB1A1的一個(gè)法向量,則令z1=1,則m=(1,-,1),cos=,直線DE與平面ABB1A1所成角的正弦值為2.解 (1)由AB=BC=CA,易知OA=OB=OC.設(shè)OA=a,則AB=a,A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a),如圖:設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y,z),則由DA=DB=DC=a,可得(x-a)2+y2+z2=x2+(y-a)2+z2=x2+y2+(z-a)2=2a2,解得x=y=z=a,所以=(a,a,0)

6、.又平面OAB的一個(gè)法向量為=(0,0,a),所以=0,所以CD平面OAB.(2)設(shè)F為AB的中點(diǎn),連接CF,DF,則CFAB,DFAB,CFD為二面角C-AB-D的平面角.由(1)知,在CFD中,CF=DF=aa,CD=a,則由余弦定理知cosCFD=,即二面角C-AB-D的余弦值為3.(1)證明 取PA的中點(diǎn)F,連接EF,BF.因?yàn)镋是PD的中點(diǎn),所以EFAD,EF=AD.由BAD=ABC=90得BCAD,又BC=AD,所以EFBC,四邊形BCEF是平行四邊形,CEBF,又BF平面PAB,CE平面PAB,故CE平面PAB.(2)解 由已知得BAAD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,|為

7、單位長(zhǎng),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),=(1,0,-),=(1,0,0).設(shè)M(x,y,z)(0x1),則=(x-1,y,z),=(x,y-1,z-).因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45,而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,所以|cos|=sin 45,即(x-1)2+y2-z2=0.又M在棱PC上,設(shè)=,則x=,y=1,z=由解得(舍去),所以M,從而設(shè)m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,則即所以可取m=(0,-,2).于是cos=因此二面角M-AB-D的余弦值為4.解 在正四棱柱ABCD-

8、A1B1C1D1中,以D為原點(diǎn),DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D-xyz.M(1,2,0),A(2,0,0),C1(0,2,4),=(1,2,0),=(-2,2,4),所以cos=,所以異面直線AC1與DM所成角的余弦值為(2)=(2,0,4),設(shè)平面A1DM的一個(gè)法向量為n=(x,y,z).則取y=1,得x=-2,z=1,故平面A1DM的一個(gè)法向量為n=(-2,1,1).于是cos=,所以直線AC1與平面A1DM所成角的正弦值為5.(1)證明 設(shè)AC,BD交點(diǎn)為E,連接ME.因?yàn)镻D平面MAC,平面MAC平面PDB=ME,所以PDME.因?yàn)锳BCD是正方形

9、,所以E為BD的中點(diǎn).所以M為PB的中點(diǎn).(2)解 取AD的中點(diǎn)O,連接OP,OE.因?yàn)镻A=PD,所以O(shè)PAD.又因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD,且OP平面PAD,所以O(shè)P平面ABCD.因?yàn)镺E平面ABCD,所以O(shè)POE.因?yàn)锳BCD是正方形,所以O(shè)EAD.如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則P(0,0,),D(2,0,0),B(-2,4,0),=(4,-4,0),=(2,0,-).設(shè)平面BDP的法向量為n=(x,y,z),則令x=1,則y=1,z=于是n=(1,1,),平面PAD的法向量為p=(0,1,0).所以cos=由題知二面角B-PD-A為銳角,所以它的大小為(3)解 由題意知M,C(2

10、,4,0),設(shè)直線MC與平面BDP所成角為,則sin =|cos|=所以直線MC與平面BDP所成角的正弦值為6.解 如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,設(shè)AC,A1C1的中點(diǎn)分別為O,O1,則OBOC,OO1OC,OO1OB,以為基底,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.因?yàn)锳B=AA1=2,所以A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),B1(,0,2),C1(0,1,2).(1)因?yàn)镻為A1B1的中點(diǎn),所以P,從而=(0,2,2),故|cos|=因此,異面直線BP與AC1所成角的余弦值為(2)因?yàn)镼為BC的中點(diǎn),所以Q,因此=(0,2,2),=(0,0,2).

11、設(shè)n=(x,y,z)為平面AQC1的一個(gè)法向量,則即不妨取n=(,-1,1).設(shè)直線CC1與平面AQC1所成角為,則sin =|cos|=,所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為7.(1)證明 BC=CD,E為BD的中點(diǎn),CEBD.又平面BCD平面ABD,且平面BCD平面ABD=BD,CE平面ABD.FA平面ABD,FACE.又CE平面BCD,FA平面BCD,FA平面BCD.(2)解 以DB所在直線為x軸,AE所在直線為y軸,EC所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,0),A(0,-,0),D(-1,0,0),F(0,-,2),C(0,0,),=(-1,-,2),=(-1,0,).設(shè)平面FBC的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),則取z=1,