1、、知識網(wǎng)絡(luò)排列組合兩個計數(shù)底理組 合組合數(shù)公式與應用組會應用題掛列應用題排列數(shù)公式與應用二、咼考考點1兩個計數(shù)原理的掌握與應用；2、關(guān)于排列與組合的定義的理解；關(guān)于排列與組合數(shù)公式的掌握；關(guān)于組合數(shù)兩個性質(zhì)的掌握；3、運用排列與組合的意義與公式解決簡單的應用問題（多為排列與組合的混合問題）三、知識要點一分類計數(shù)原理與分步計算原理1分類計算原理（加法原理）：完成一件事，有n類辦法，在第一類辦法中有 m種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法， ，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有 N= m+ m+ mn種不同的方法。2分步計數(shù)原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成 n個步

2、驟，做第1步有m種不同的方法，做第 2步有m種不同的方法， ，做第n步有m種不同的方法，那么完成這件事共有N= mx mx x m種不同的方法。3、認知: 上述兩個原理都是研究完成一件事有多少種不同方法的計數(shù)依據(jù)，它們的區(qū)別在于，加法原理的要害是分類：將完成一件事的方法分成若干類，并且各類辦法以及各類辦法中的各種方法相互獨立， 運用任何一類辦法的任何一種方法均可獨立完成這件事；乘法原理的要害是分步：將完成一件事分為若干步驟進行，各個步驟不可缺少，只有當各個步驟依次完成后這件事才告完成 (在這里，完成某一步的任何一種方法只能完成這一個步驟，而不能獨立完成這件事)。二排列1定義(1 )從n個不同元

3、素中取出 m(二丄匚)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出 m個元素的一排列。(2) 從n個不同元素中取出 m(:二-)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出 m個元素的排列數(shù)，記為匕.2排列數(shù)的公式與性質(zhì)(1 )排列數(shù)的公式： 匕：=n ( n-1 )( n-2)(n-m+1) =； 特例：當 m=n時，攔 =n ! =n (n-1 )( n-2 ) -x 3x 2X1規(guī)定：0! =1(2 )排列數(shù)的性質(zhì)：(I)亠=(排列數(shù)上標、下標同時減1 (或加1)后與原排列數(shù)的聯(lián)系)厝=I 罟戰(zhàn)=卑船i : 八(排列數(shù)上標加1或下標減1后與原排列數(shù)的聯(lián)系)（川）J；宀一二

4、（分解或合并的依據(jù)）三.組合1定義 （1）從n個不同元素中取出J-f 個元素并成一組，叫做從 n個不同元素中取出m個元素的一個組合（2）從n個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從 n個不rrK同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號表示。2組合數(shù)的公式與性質(zhì)e _ 罟 一0-1)(2)(-刪+1)5 二匸二:（1）組合數(shù)公式：m（乘積表示）=（禺擁且權(quán)酬3-材）1（階乘表示）特例：-；-（2）組合數(shù)的主要性質(zhì)：(I)（上標變換公式）廣潔丄廣倔M（n）廠.：+1（楊輝恒等式）認知：上述恒等式左邊兩組合數(shù)的下標相同，而上標為相鄰自然數(shù)； 合二為一后的右邊組合數(shù)下標等于左邊組合數(shù)下標加1，而上標

5、取左邊兩組合數(shù)上標的較大者。3比較與鑒別由排列與組合的定義知，獲得一個排列需要 “取出元素”和“對取出元素按一定順 序排成一列”兩個過程，而獲得一個組合只需要 “取出元素”，不管怎樣的順序并成一組這 一個步驟。（1）排列與組合的區(qū)別在于組合僅與選取的元素有關(guān)，而排列不僅與選取的元素有關(guān)，而且還與取出元素的順序有關(guān)。因此，所給問題是否與取出元素的順序有關(guān)，是判斷這一問題是排列問題還是組合問題的理論依據(jù)。（2）注意到獲得（一個）排列歷經(jīng)列”兩個步驟，故得排列數(shù)與組合數(shù)之間的關(guān)系:獲得（一個）組合”和“對取出元素作全排四、經(jīng)典例題例1、某人計劃使用不超過 500元的資金購買單價分別為60、70元的單

6、片軟件和盒裝磁盤，要求軟件至少買3片，磁盤至少買 2盒，則不同的選購方式是（）A .5種B.6種C. 7種D. 8 種分析：依題意“軟件至少買3片，磁盤至少買2盒”，而購得3片軟件和2盒磁盤 花去320元，所以，只需討論剩下的180元如何使用的問題。解：注意到購買 3片軟件和2盒磁盤花去320元，所以，這里只討論剩下的 180 元如何使用，可從購買軟件的情形入手分類討論：第一類，再買3片軟件，不買磁盤，只有1種方法；第二類，再買2片軟件，不買磁盤，只有 1種方法；第三類，再買1片軟件，再買1盒磁盤或不買磁盤，有 2種方法；第四類，不買軟件，再買2盒磁盤、1盒磁盤或不買磁盤，有 3種方法；于是由

7、分類計數(shù)原理可知，共有N=1 + 1+2+3=7種不同購買方法，應選Co例2、已知集合 M=-1 , 0, 1, N=2, 3, 4, 5，映射 八廠 ，當x M時,為奇數(shù)，則這樣的映射/ 的個數(shù)是（）A.20B.18C.32D.24分析：由映射定義知，當x M時，當x M時，這里的x可以是奇數(shù)也可以是偶數(shù)，但-必須為奇數(shù)，因此，對M中x的對應情況逐一分析，分步考察：第一步，考察x=-1的象，當x=-1時，此時 八1） 可取N中任一數(shù)值，即 M中的元素-1與N中的元素有4種對應方法；第二步，考察x=0的象，當x=0時_11 1為奇數(shù)，故只有2種取法（；-1 =3或 =5），即M中的元素0與N中

8、的元素有2種對應方法；第三步，考察x=1的象，當x=1時，匚二，1-為奇數(shù)，故可為奇數(shù)也可為偶數(shù)，可取N中任一數(shù)值，即 M中的元素1與N中的元素有4種對應方法，于是由分步計數(shù)原理可知，映射共有4X 2 X 4=32個。例3、在中有4個編號為1, 2, 3, 4的小三角形，要在每一個小三角形中涂上紅、藍、黃、白、黑五種顏色中的一種，使有相鄰邊的小三角形顏色不同，共有多少種 不同的涂法？解：根據(jù)題意，有相鄰邊的小三角形顏色不同，但“對角”的兩個小三角形可以是相同顏色，于是考慮以對角的小三角形1、4同色與不同色為標準分為兩類，進而在每一類中分步計算。第一類：1與4同色，則1與4有5種涂法，2有4種涂

9、法，3有4種涂法，故此時有Ni=5 X 4 X 4=80中不同涂法。第二類：1與4不同色，則1有5種涂法，4有4種涂法，2有3種涂法，3有3 種涂法，故此時有 N2=5 X 4X 3X 3=180申不同涂法。綜上可知，不同的涂法共有80+180=260 種。點評：欲不重不漏地分類， 需要選定一個適當?shù)姆诸悩藴剩话愕兀鶕?jù)所給問題 的具體情況，或是從某一位置的特定要求入手分類，或是從某一元素的特定要求入手分類， 或是從問題中某一事物符合條件的情形入手分類，或是從問題中有關(guān)事物的相對關(guān)系入手分例4、將字1、2、3、4填入標號為1、2、3、4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則 每個方格的標號與所填數(shù)字

10、均不相同的填法有（）A.6種B.9種C.11 種D.23 種解法一（采用“分步”方法）：完成這件事分三個步驟。第一步：任取一個數(shù)字，按規(guī)定填入方格，有3種不同填法；第二步：取與填入數(shù)字的格子編號相同的數(shù)字，按規(guī)定填入方格，仍有3種不同填法；第三步：將剩下的兩個數(shù)字按規(guī)定填入兩個格子，只有1種填法；于是，由分步計數(shù)原理得，共有 N=3X 3X仁9中不同填法。解法二：（采用 “列舉”方法）：從編號為1的方格內(nèi)的填數(shù)入手進行分類。第一類：編號為1的方格內(nèi)填數(shù)字2，共有3種不同填法:241321432341第二類：編號1的方格內(nèi)填數(shù)字3,也有3種不同填法：314234123421第三類：編號為1的方格

11、內(nèi)填數(shù)字4,仍有3種不同填法:412343124321于是由分類計數(shù)原理得共有N=3+3+3=9種不同填法，應選 B解法三(間接法)：將上述 4個數(shù)字填入 4個方格，每格填一個數(shù)，共有 N=4X 3X 2X仁24種不同填法，其中不合條件的是(1)4個數(shù)字與4個格子的編號均相同的填法有1種；(2)恰有兩個數(shù)字與格子編號相同的填法有6種；(3) 恰有1個數(shù)字與格子編號相同的填法有8種；因此，有數(shù)字與格子編號相同的填法共有 2=1+6+8=15種于是可知，符合條件的填法為24-15=9種。點評：解題步驟的設(shè)計原則上任意，但不同的設(shè)計招致計算的繁簡程度不同，一般地，人們總是優(yōu)先考慮特殊元素的安置或特殊

12、位置的安排，以減少問題的頭緒或懸念。當正面考慮頭緒較多時，可考慮運用間接法計算：不考慮限制條件的方法種數(shù) 一不符合條件的方法種數(shù)=符合條件的方法種數(shù)。在這里，直接法中的“分析”與間接法主體的 “分類”，恰恰向人們展示了“分步”與“分類”相互依存、相互聯(lián)系的辯證關(guān)系。例5、用數(shù)字0, 1, 2, 3, 4, 5組成無重復數(shù)字 4位數(shù)，其中，必含數(shù)字 2和3, 并且2和3不相鄰的四位數(shù)有多少個？解：注意到這里 “ 0 ”的特殊性，故分兩類來討論。第一類：不含“ 0”的符合條件的四位數(shù)，首先從1, 4, 5這三個數(shù)字中任選兩個作排列有 X種；進而將2和3分別插入前面排好的兩個數(shù)字中間或首尾位置，又有

13、- 種排法，于是由分步計數(shù)原理可知，不含0且符合條件的四位數(shù)共有=36個。第二類：含有“ 0”的符合條件的四位數(shù)，注意到正面考慮頭緒較多，故考慮運用“間接法”：首先從1, 4, 5這三個數(shù)字中任選一個，而后與 0, 2, 3進行全排列，這樣的 排列共有個。其中，有如下三種情況不合題意，應當排險：(1) 0在首位的，有二丄 個；(2)0在百位或十位，但2與3相鄰的，有二-廠(3) 0在個位的，但2與3相鄰的，有丄因此，含有0的符合條件的四位數(shù)共有上-心!鼻：=30個于是可知，符合條件的四位數(shù)共有36+30=66個點評：解決元素不相鄰的排列問題，一般采用“插空法”，即先將符合已知條件的部分元素排好

14、，再將有“不相鄰”要求的元素插空放入；解決元素相鄰的排列問題，一般采用“捆綁法”，即先將要求相鄰的元素“捆綁”在一起，作為一個大元素與其它元素進行排列，進而再考慮大元素內(nèi)部之間的排列問題。例6、某人在打靶時射擊 8槍，命中4槍，若命中的4槍有且只有3槍是連續(xù)命中 的，那么該人射擊的 8槍，按“命中”與“不命中”報告結(jié)果，不同的結(jié)果有()A.720 種B.480 種C.24 種D.20 種分析：首先，對未命中的4槍進行排列，它們形成 5個空擋，注意到未命中的4槍“地位平等”，故只有一種排法，其次，將連中的3槍視為一個元素，與命中的另一槍從前面5個空格中選2個排進去，有二 種排法，于是由乘法原理知

15、，不同的報告結(jié)果菜有點評：這里的情形與前面不同，按照問題的實際情況理解， 未命中的4槍“地位平等”，連續(xù)命中的3槍亦“地位平等”。因此，第一步排法只有一種， 第二步的排法種數(shù)也不再乘以1。解決此類“相同元素”的排列問題，切忌照搬計算相同元素的排列種數(shù)的方 法，請讀者引起注意。例7、戶肝1L _ 戶滬】丄戶E 丄 4(2 )若 宀 ，貝U n=；(3) I；;(4) 若-.:，則n的取值集合為 =空C嚴怒(5) 方程I2的解集為;解：+ n1 17 -6(1) 注意到n滿足的條件施礦_原式 = 1, +1： - + 1； 二(2)運用楊輝恒等式，已知等式：一 7.0 u打 + 轎=% + cj“

16、V 二二一一 所求 n=4(3 )根據(jù)楊輝恒等式原式=m+t；7；+二=二a(fl+ 2)(左 + 1)(網(wǎng)一1)=：= _(4) 注意到這里n滿足的條件n5且n N在之下，3!4!2x5!O原不等式廠” .匚:1 二門嚴二匚 i- i?，|嚴 40js- 3 血-3)個-4)on -IIh-12 0c-1 h 12無意義,由、得原不等式的解集為5 , 6, 7,，11(5 )由二.注意到當原方程組可化為1_71l + 1) = 2 2/2 + l)由此解得-3y=0時，經(jīng)檢驗知例8、用紅、黃、綠3種顏色的紙做了 3套卡片, 字母的卡片各一張，若從這 15張卡片中，每次取出 5張, 取法有多少

17、種？解：符合條件的取法可分為是原方程組的解。每套卡片有寫上A、B、CD E則字母不同，且 3種顏色齊全的第一類:取出的5張卡片中，1張紅色，1張黃色，3張綠色，有：；種取法;第二類:取出的5張卡片中，1張紅色，2張黃色，2張綠色，有- 1種取法;第三類:取出的5張卡片中，1張紅色，3張黃色，1張綠色,有種取法;第四類:取出的5張卡片中，2張紅色，1張黃色，2張綠色，有種取法;第五類:取出的5張卡片中，2張紅色，2張黃色，1張綠色，有- 1種取法;第八類:取出的5張卡片中，3張紅色，1張黃色，1張綠色，有：種取法;6類于是由分類計數(shù)原理知，符合條件的取法共有N = cjcjcf + Qc礙 +

18、cfc?cf + cjcjcf = 150 種點評：解決本題的關(guān)鍵在于分類，分類討論必須選擇適當?shù)姆诸悩藴剩谶@里，以紅色卡片選出的數(shù)量進行主分類， 以黃色卡片選出的數(shù)量進行次分類， 主次結(jié)合，確保分類 的不重不漏，這一思路值得學習和借鑒。例9、(1 )從5雙不同的襪子中任取 4只，則至少有2只襪子配成一雙的可能取法種數(shù)是多少？(2) 設(shè)有編號為1, 2, 3, 4, 5的五個小球和編號為 1, 2, 3, 4, 5的五個盒子， 將五個小球放入五個盒子中 (每個盒子中放一個小球)，則至少有兩個小球和盒子編號相同的放法有多少種？（3） 將四個不同的小球放入編號為1, 2, 3, 4的四個盒子中，

19、則恰有一個空盒的 放法共多少種？（4）某產(chǎn)品共有4只次品和6只正品，每只產(chǎn)品均不相同，現(xiàn)在每次取出一只產(chǎn) 品測試，直到4只次品全部測出為止， 則最后一只次品恰好在第五次測試時被發(fā)現(xiàn)的不同情 況有多少種？解：（1 ）滿足要求的取法有兩類，一類是取出的4只襪子中恰有2只配對，這只要從5雙襪子中任取1雙，再從其余4雙中任取2雙，并從每雙中取出1只，共有種選法；另一類是4只襪子恰好配成兩雙， 共有種選法，于是由加法原理知，符合要求的取法為_| 種。（2）符合條件的放法分為三類：第一類：恰有2個小球與盒子編號相同， 這只需先從5個中任取兩個放入編號相同的盒子中，有：種放法，再從剩下的3個小球中取出1個放

20、入與其編號不同的盒子中，有亠種方法，則最后剩下的兩個小球放入編號不同的盒中只有1種放法，故此類共有-種不同方法;第二類：恰有3個小球與盒子編號相同， 這只需先從5個中任取三個放入編號相同的盒子中，有：種放法，則最后剩下的兩個小球放入編號不同的盒中只有1種放法，故此 類共有川種不同方法；第三類：恰有5個小球與盒子編號相同， 這只有1種方法; 得，共有N=20+10+1=31種不同方法。（3）設(shè)計分三步完成：第一步，取定三個空盒（或取走一個空盒），有1于是由分類計數(shù)原理種取法;有-種分法;種放法;于是由乘法原理得共有：亠種不同方法。第二步，將4個小球分為3堆，一堆2個，另外兩堆各一個, 第三步，將

21、分好的3堆小球放入取定的 3個空盒中，有丄種方法;1只正品的方法種數(shù)（4）分兩步完成:第一步，安排第五次測試，由于第五次測試測出的是次品，故有 第二步，安排前4次測試，則在前四次測試中測出 3只次品和于是由分布計數(shù)原理可知，共有門-二一1;二:-二）種測試方法。點評：為了出現(xiàn)題設(shè)條件中的 “巧合”，我們需要考慮對特殊情形的 “有意設(shè)計”， 本例（1）則是這種“有意設(shè)計”的典型代表，而這里的（3），則是先“分堆”后“分配” 的典型范例。五、高考真題（一）選擇題1、過三棱柱任意兩個頂點的直線共15條，其中異面直線有（）A 18 對B、24 對C、30 對D、36 對分析：注意到任一四面體中異面直線

22、的對數(shù)是確定的，所以，這里欲求異面直線的對數(shù)，首先確定上述以單直線可構(gòu)成的四面體個數(shù)。由上述15條直線可構(gòu)成-亠個四面體，而每一四面體有 3對異面直線，故共有 36對異面直線，應選 Db a的距離都相等，這樣的平面共有（C、6個D、7個取四面體各棱中點， 分別過有公共頂點的2、不共面的四個定點到平面A 3個B、4個分析：不共面的四點可構(gòu)成一個四面體, 三棱中點可得到與相應底面平行的 棱分別平行且等距的平面有3、北京財富中、晚三班，每班 4人，4個截面，這4個截面到四個定點距離相等；3個，故符合條件的平面共 7個，應選Do 全球論壇期間，某高校有14名志愿者參加接待工作， 每人每天最多值一班，則

23、開幕式當天不同的排班種數(shù)為（廠12廠4廣4 14又與三組對若每天排早、）A、分析：排班工作分三步完成：第一步，從14人中選出12人，有 種選法；第二步，將第一步選出的12人平均分成三組，有玉種分法;第三步，對第二步分出的3組人員在三個位置上安排，有種排法;于是由乘法原理得不同的排班種數(shù)為，應選A4、從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城 市各一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有（）A 300 種B、240 種 C、114 種 D、96 種分析：注意到甲、乙兩人不去巴黎，故選人分三類情況（1）不選甲、乙，不冋方案有11

24、丄種；（2）甲、乙中選1人，不同方方案有 i I:種;（3）甲、乙均入選，不同方案有（U抵）（2 肋 Y2種；于是由加法原理得不同的方案總數(shù)為24+144+72=240,應選B。5、4位同學參加某種形式的競賽，競賽規(guī)則規(guī)定：每位同學必須從甲、乙兩道題中任選一題作答，選甲題答對得100分，答錯得-100分；選乙題答對得 90分，答錯得-90分，若4位同學的總分為0，則這四位同學不同的得分情況的種數(shù)是（）A 48B、36C、24D、18分析：注意到情況的復雜，故考慮從“分類”切入第一類：四人全選甲題，2人答對，2人答錯，有 八：種情況；第二類：2人選甲題一對一錯,2人選乙題一對一錯，有 D （c闔

25、桃種情況；第三類：四人全選乙題， 2對2錯，有4 :種情況。于是由加法原理得不同得分情況共有種，應選B。6、四棱錐的8條棱代表8種不同的化工產(chǎn)品，有公共點的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是危險的,沒有公共頂點的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是安全的,打算用編號為、的4個倉庫存放這8種化工產(chǎn)品，那么安全存放的不同方法種數(shù)為（）A 96B、48C、24D、0分析：本題的關(guān)鍵是找 “異面直線對”的個數(shù)，設(shè)四棱 錐為S-ABCD沒有公共頂點的棱只能分成4組，每組兩條棱（否則三條棱必有公共點），每8條棱分成4組，每組兩條無公共點 的棱僅有下面兩種情況：（1） SA CD SB-AD; SC-AB;

26、SD BC （本組中同 一棱不重復出現(xiàn)）（2） SA BC; SB CD SC-AD SD-AB（本組中 同一條棱不重復出現(xiàn)）于是問題可轉(zhuǎn)化為：四種不同產(chǎn)品放入4個不同倉庫的排列問題，故不同的安排分法是訓胡8種，應選B。（二）填空題1、在由數(shù)字0, 1, 2, 3, 4, 5所組成的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整 除的數(shù)共有（）個。分析：考慮直接解法：這樣四位數(shù)的個位數(shù)為1 , 2, 3, 4中的一個，有種法,計數(shù)原理知，共是：丄斗衛(wèi)種不同排法，應填192。千位從余下的4個非零數(shù)當中任取一個是七 種排法；中間兩位是 種排法，于是由分步2、用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復數(shù)字的八

27、位數(shù)，要求1與2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有（）個（用數(shù)字作答）。分析： 第一步，將1與2，3與4，5與6組成3個大元素進行排列，是 1種排 法；第二步，將7與8插入上述3個大元素隊列的間隙或兩端，是 種方法；第三步，對3個大元素內(nèi)部進行全排列，各是種方法；于是由分步計數(shù)原理得共有 V 七 J 個，應填576。3、從集合0、P、Q R S與0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中各任取2個元素 排成一排（字母與數(shù)字均不能重復）。每排中字母 O Q和數(shù)字0至多只出現(xiàn)一個的不同排 法種數(shù)是（）分析：考慮分類計算 第一類：字母 O Q和數(shù)字0均不出現(xiàn)，是二；種排法；

28、第二類：字母 O Q出現(xiàn)一個，數(shù)字 0不出現(xiàn)，是；種排法;第三類：字母 O Q不出現(xiàn)，數(shù)字0出現(xiàn)，是 （C?C；）4 = M8種排法；于是分類計數(shù)原理知共是2592+5184+648=8424種不同排法，應填 8424。點評：以受限制的字母 O Q和數(shù)字0出現(xiàn)的情況為主線進行分類，在每一類中又 合理地設(shè)計步驟，是分解題的關(guān)鍵所在，以某些特殊元素為主線進行分類是解決復雜的排列 組合問題的基本策略。方法歸納1重復排列“住店法”重復排列問題要區(qū)分兩類元素：一類可以重復，另一類不能重復。把不能重復的元素看作“客”，能重復的元素看作“店”，則通過“住店法”可順利解題。例1 8名同學爭奪3項冠軍，獲得冠軍

29、的可能性有（）A 83 B38 C A83 DC；解析冠軍不能重復，但同一個學生可獲得多項冠軍。把8名學生看作8家“店”，3項冠軍看作3個“客”，他們都可住進任意一家“店”，每個客有8種可能，因此共有83種 不同的結(jié)果。選（A）。評述類似問題較多。如：將 8封信放入3個郵筒中，有多少種不同的結(jié)果？這時 8 封信是“客”，3個郵筒是“店”，故共有38種結(jié)果。要注意這兩個問題的區(qū)別。2特色元素“優(yōu)先法”某個（或幾個）元素要排在指定位置，可優(yōu)先將它（們）安排好，后再安排其它元素。例2乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員，派5名參加比賽，3名主力隊員要安排3A種可能;在第一、三、五位置，其余 7名隊員

30、選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場安排共有 種（用數(shù)字作答）。解析3名主力的位置確定在一、三、五位中選擇，將他們優(yōu)先安排，有 然后從其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，有A種排法。因此結(jié)果為A；A；=252種。例3 5個“ 1”與2個“ 2”可以組成多少個不同的數(shù)列？解析按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列。由于7個位置不同，故只要優(yōu)先選兩個位置安排好“ 2”，剩下的位置填“ 1”（也可先填“1”再填“ 2”）。因此，一共可以組成 C；C；=21 個不同的數(shù)列。3相鄰問題“捆綁法”把相鄰的若干特殊元素“捆綁”為一個“大元素”，與其余普通元素全排列，是為“捆綁法”，又稱為“大元素法”。不過要注

31、意“大元素”內(nèi)部還需要進行排列。例4有8本不同的書，其中數(shù)學書 3本，外文書2本，其他書3本，若將這些書排成一列放在書架上，則數(shù)學書恰好排在一起，外文書也恰好排在一起的排法共有種（結(jié)果用數(shù)字表示）。解析將數(shù)學書與外文書分別捆在一起與其它3本書一起排，有 A種排法，再將3本數(shù)學書之間交換有 A種，2本外文書之間交換有 A種，故共有 A5A；A；=144O種排法。評述這里需要說明的是， 有一類問題是兩個已知元素之間有固定間隔時，也用“捆綁法”解決。如：7個人排成一排，要求其中甲乙兩人之間有且只有一人，問有多少種不同的 排法？可將甲乙兩人和中間所插一人“捆綁”在一起做“大元素”，但甲乙兩人位置可對調(diào)

32、， 而且中間一人可從其余 5人中任取，故共有 C1A2A5 -1200種排法。4相間問題“插空法”元素不相鄰問題，先安排好其他元素，然后將不相鄰的元素按要求插入排好的元素之間 的空位和兩端即可。例5某班新年聯(lián)歡會原定的 5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目。如 果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（）A 6 B 12 C 15 D 30解析原來的5個節(jié)目中間和兩端可看作分出6個空位。將兩個新節(jié)目不相鄰插入， 相當于從6個位置中選2個讓它們按順序排列，故有 A| =30種排法，選（D）。評述本題中的原有5個節(jié)目不需要再排列， 這一點要注意。請練習以下這

33、道題： 馬路 上有編號為1、2、3、 10的十盞路燈，為節(jié)約用電又能照明，現(xiàn)準備把其中的三盞燈， 但不能關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，兩端的燈也不許關(guān)掉， 求不同的關(guān)燈方式有多少種？可得結(jié)3果為C6=20種。你能很快求解嗎?5多元問題“分類法”對于多個元素問題，有時有多種情況需要進行分類討論，然后根據(jù)分類計數(shù)原理將各種可能性相加即得。需要注意的是，分類時要不重復不遺漏。例6在一塊并排10壟的田地中，選擇 2壟分別種植 A、B兩種作物，每種作物種植一 壟。為有利于作物生長，要求 A、B兩種作物的間隔不小于 6壟，則不同的選壟方法共有 種(用數(shù)字作答)。解析先考慮A種在左邊的情況，有三類：A種植在最左邊第

34、一壟上時，B有三種不同的種植方法；A種植在左邊第二壟上時，B有兩種不同的種植方法；A種植在左邊第三壟上時，B只有一種種植方法。又B在左邊種植的情況與 A在左邊時相同。故共有2 (321) =12種不同的選壟方法。例7有11名翻譯人員，其中 5名英語翻譯員，4名日語翻譯員，另 2人英語、日語都 精通。從中找出8人，使他們組成兩個翻譯小組，其中 4人翻譯英文，另4人翻譯日文，這 兩個小組能同時工作。問這樣的分配名單共可開出多少張？解析假設(shè)先安排英文翻譯， 后安排日文翻譯。第一類，從5名只能翻譯英文的人員中 選4人任英文翻譯，其余 6人中選4人任日文翻譯(若“多面手”被選中也翻譯日文)，則有CsC,

35、4 ;第二類，從5名只能翻譯英文的人員中選 3人任英文翻譯，另從“多面手”中選1人任英文翻譯，其余剩下 5人中選4人任日文翻譯，有 c5C2c；第三類，從5名只能翻 譯英文的人員中選 2人任英文翻譯，另外安排 2名“多面手”也任英文翻譯，其余剩下 4 人全部任日文翻譯，有 C；C；C：。三種情形相加即得結(jié)果 185 (張)。評述本題當然也可以先安排日文翻譯再安排英文翻譯，請大家自己列式看看。6分球問題“隔板法”計數(shù)問題中有一類“分球問題”，說的是將相同的球分到不同的盒中。如：將 10個相同 的球放入編號為1、2、3、4的四個盒子中，要求每個盒中至少一個球，問有多少種不同的 放法？這時可以用“隔板法”解題。即將10個相同的球排成一排，中間看作有9個空，從中選出3個不同的空插入