1、數碼相機定位模型摘要本文從數碼相機成像原理出發，結合坐標旋轉平移變換，建立空間直角坐標系xyz并在坐標系中將靶標坐標以參數的形式表示，根據成像的幾何關系，計算其像坐標的參數表達式，通過matlab7.0編程進行模型求解、圖形仿真，并采用最小二乘橢圓擬合的方法，對模型進行精度與穩定性分析，最后建立雙目定位的空間模型.首先設定正方形靶標的平面直角坐標，通過坐標軸的旋轉平移變換，建立二維到三維的映射關系，得到靶標中5個圓心在空間坐標系上的坐標表達式，根據成像原理，靶標上圓心跟光學中心兩點確定的直線與像平面相交，交點的xy參量即為該圓心在像平面的像坐標，利用定比分點坐標公式求解.并通過matlab7.

2、0對模型進行圖形檢驗，模型合理.在問題一的基礎上，問題二引入了像距、分辨率等相機的內部參數，使問題具體化.結合問題一中的模型，建立以像素為單位的像平面坐標系，通過坐標變換公式，將高精度的像坐標映射為實際相機的像素坐標，從而得到空間點在相機中的像素坐標.并對相機觀察范圍、精度與被觀察物位置的關系進行了討論.并通過matlab7.0進行了坐標變換的驗證.由于相機單位感光元件不會無限小，引入像素后便存在了精度與穩定性問題.由成像原理的幾何關系可知，空間中圓的圓心與其映射在像坐標中橢圓的中心為同一點的物與像，利用此關系進行模型檢驗.建立空間圓上各點的坐標，根據問題二模型求得其在像平面的像素坐標，并進行

3、橢圓的最小二乘擬合，用matlab7.0進行求解，所求中心與該圓心的精確像點進行比較，來討論模型的精度與穩定性，并進行圖形檢驗.基于上述單相機定位原理的分析，在問題一模型基礎上加入輔定位相機，結合相機成像原理的幾何關系，建立雙目定位模型.并通過matlab7.0進行圖形檢驗，模型合理.圖1為該模型的仿真空間圖.smdw.gif為該模型的空間表示(路徑:主文件夾matlabsmdw.gif).圖1 雙目定位的仿真空間圖關鍵詞：成像原理 坐標變換 最小二乘橢圓擬合 定比分點 雙目定位一、 問題重述數碼相機定位已有廣泛的應用.數碼相機定位是指用數碼相機攝制物體的相片確定物體表面某些特征點的位置.雙目

4、定位（用兩部相機來定位）是最常用的定位方法.對物體上一個特征點，用兩部固定于不同位置的相機攝得物體的像，分別得到該點在兩部相機像平面上的坐標.知道兩部相機精確的相對位置，用幾何的方法得到該特征點在固定一部相機的坐標系中的坐標，即確定了特征點的位置.給出標定的一種做法：在一塊平板上畫若干個點， 同時用兩部相機照相，分別得到這些點在它們像平面上的像點，利用得到兩組像點的幾何關系可以計算這兩部相機的相對位置.為了更為精確，實際的做法是在物平面上畫若干個圓（稱為靶標），認為它們的圓心為幾何點.但它們的像一般會發生幾何畸變（如圓的像為橢圓），所以要想標定實現，須從像平面中精確地找到靶標中圓心的像.現設計

5、靶標如下，取1個邊長為100mm的正方形，分別以四個頂點（對應為a、c、d、e）為圓心，12mm為半徑作圓.以ac邊上距離a點30mm處的b為圓心，12mm為半徑作圓.并用位置固定的數碼相機攝像.現解決以下問題：問題一：假設坐標系的原點在該相機的光學中心，x-y平面平行于像平面，為了確定靶標上圓的圓心在該相機像平面的像坐標，試給出數學模型和相應的算法.問題二：假設該相機的像距（即光學中心到像平面的距離）是1577個像素單位（1毫米約為3.78個像素單位），相機分辨率為1024768，計算靶標上圓的圓心在像平面上的像坐標.問題三：設計一種方法檢驗建立的數學模型，并對方法的精度和穩定性進行討論.問

6、題四：建立靶標與兩部固定相機位置的數學模型.二、模型假設與符號系統1.模型假設1) 假設標靶的正面不會背離相機.2) 假設問題一中相機的分辨率為無窮大.3) 假設問題一中相機的像平面無窮大. 4) 假設問題二中靶標放在相機的可視內.5) 假設題目所給的數據為合理數據6）假設兩部相機的內部參數完全相同.2.符號說明1) 表示三維空間坐標系中的點繞x軸的旋轉角度.2) 表示三維空間坐標系中的點繞y軸的旋轉角度.3) 表示三維空間坐標系中的點繞z軸的旋轉角度.4) 表示坐標原點平移后的橫坐標.5) 表示坐標原點平移后的縱坐標.6) 表示坐標原點平移后的豎坐標.7) 表示相機的相距：即光學中心到像平面

7、的距離. 8) 表示相機凸透鏡的光學中心到最小像平面的距離.9) 表示在相機分辨率確定的情況下像平面的面積.10) 表示像平面的四個頂點通過光學中心后像的面積.11) 表示兩固定相機光學中心的距離.12) 表示該相機單位像素的面積.13）表示該相機單位像素所采集到的面積.三、問題分析與模型建立3.1 問題一的分析與模型的建立3.1.1 分析與模型的建立根據凸透鏡成像原理，實際物體與像的連線經過凸透鏡的光學中心(如圖2所示),即標定物的特征點、相機的光學中心和標定物特征點的像在同一直線上.在實際定位時，可通過像點與光學中心確定標定物特征點所在直線，通過雙目便可得到標定物特征點的實際位置.模型的建

8、立我們采用逆向思維，通過標定物特征點的坐標，利用成像原理，計算像平面中特征點的像坐標.圖2 透鏡成像原理示意圖首先確定靶標中的5個圓心在空間直角坐標系xyz中坐標的參數表達形式，根據凸透鏡成像原理，靶標中圓的圓心經相機光學中心交于像平面于一點，交點xy參量即為所求像平面的像坐標.求解靶標中5個圓心坐標在空間坐標系中參數表達式，可通過分別設定靶標上各圓心在空間中的獨立坐標，利用各圓心之間的位置關系，其中的兩個圓心可以用另外三個圓心表示.經分析,計算量較大，且坐標的參數表達式也較復雜，為了減小算法的復雜度舍棄了這種方案，而采用了坐標軸的旋轉平移變換，使計算量大大簡化.設定正方形靶標中心為平面直角坐

9、標系的原點.通過坐標軸的旋轉平移，建立二維平面到三維空間的映射關系，得到靶標中5個圓心在空間直角坐標系上的坐標表達式.首先以靶標中心為原點，以為x軸的正方向，以為y軸的正方向，建立平面直角坐標系.根據各點的相對位置關系， 計算得圓心a、b、c、d、e的坐標為為了將平面引入空間中，以靶標正面為z軸正方向，建立笛卡爾直角坐標系.則相應的圓心a、b、c、d、e的空間坐標為空間直角坐標系中的點關于x、y、z軸的旋轉角分別為 ，當y軸z軸固定，坐標系中的點關于x軸的旋轉矩陣為當x軸z軸固定，坐標系中的點關于y軸的旋轉矩陣為當x軸y軸固定，坐標系中的點關于z軸的旋轉矩陣為則坐標系中的點關于x軸y軸z軸的總

10、的旋轉矩陣為靶標平面上的點用空間直角坐標系表示等價為將靶標的坐標軸通過旋轉和平移變換以后的坐標.二維平面中的點與三維空間中的點存在一個映射關系，表示二維平面中的點，則由上述的坐標的旋轉和平移給出一個映射關系1,映射將中的點變成空間坐標系上的一個點.這里點為中原點平移之后的坐標.以光學中心為坐標原點，z軸與焦距所在的直線重合，正方向指向靶標的正面，其中坐標系的yoz平面如圖2所示.則在此坐標系中靶標上的圓心a、b、c、d、e的坐標分別為，由凸透鏡成像原理可知，靶標上的圓心、光學中心和像平面中的像點在一條直線上，根據三角形相似性得其中的坐標為表示靶標上圓的圓心在該相機像平面的像坐標，點表示原點坐標

11、,點表示靶標上圓的圓心在空間直角坐標系中的坐標記為，根據定比分點坐標公式可以求出靶標上圓的圓心在像平面上的坐標為又因為x-y平面平行于像平面，則橫坐標縱坐標即為靶標上圓的圓心在該相機像平面的像坐標.所以靶標上圓的圓心在像平面的像坐標為3.1.2 模型旋轉矩陣算法的改進 在進行圓心的坐標變換時，由于笛卡爾直角坐標系三個軸相互垂直，所以三個坐標軸的旋轉角可以用兩個角表示.減少了外部參量，簡化了計算的復雜度.雖然變量的個數較少了，空間點的坐標表示形式不同，但空間點之間的相對位置沒有變，不影響靶標在空間的坐標表示及模型的最終結果.引入球坐標中的極角和方位角來表示坐標軸的旋轉，則靶標平面上點變換到三維空

12、間中的點的旋轉矩陣1為角度為垂直于該平面的向量在極坐標下的極角，為方位角從二維平面到三維空間的映射為按照此公式得到靶標中的5個圓心通過旋轉平移變換得到的坐標參數表達式分別為求得靶標空間圓心坐標后,按原模型求解其在像平面的像坐標,在計算過程中我們發現改進模型更加簡單.3.1.3 模型一的檢驗利用改進的旋轉矩陣，根據建立的數學模型，給參數賦一定初值，利用matlab7.0進行求解(求解程序見matlab文件夾中的questionone.m)，得靶標空間坐標及其像在像平面的坐標.下面為一組參數的驗證結果.參數: 靶標中圓心的空間坐標:x坐標y坐標z坐標a79.44477.7981467.6b83.4

13、3492.9891442.1c92.745128.431382.4d100.5642.2021332.4e87.255-8.43421417.6靶標中圓心在像平面中的像坐標：x坐標y坐標a-16.239-15.903b-17.357-19.345c-20.127-27.872d-22.641-9.5023e-18.4651.7849該組數據的仿真空間圖像如圖3，圖3 左側為主視圖右側為側視圖該圖直觀顯示出靶標平面中5個圓的圓心通過旋轉平移變換在空間中的位置信息，同時精確的描繪出這些空間上的點通過相機后，在像平面上的成像情況，模型合理.3.2 問題二的分析與模型建立通過分析問題一的模型，該模型為

14、一個理想化的模型，體現了相機定位的數學原理，像平面無限大，可使相機看到幾乎整個z正半軸的空間的物體，與實際略不相符；分辨率無限小，則定位精度無限高，其只與計算時得到的數據的有效位有關，有效數字越多精度越高.因此問題二引入了像距，相機分辨率，等相機內部參數.使問題更加實際.為了分析問題方便，我們在相機的像平面中建立了以像素為最小單位的像素坐標系.本相機的內部參數為1毫米=3.78個像素單位像距=1577個像素單位相機分辨率為1024*768數碼相機的傳感器能識別的最小單位為像素，分辨率為1024768，即該相機的圖像傳感器有786432個像素.像平面的像素坐標系與毫米坐標系的關系為其中為對取整.

15、則該相機的像素為以正方形中心，以一個像素單位(0.2646mm)為邊長的空間區域.即對精確的像點坐標進行了像素化.并編寫了matlab7.0的求解程序(見matlab文件夾中的questiontwo.m)，下面為一組參數的檢驗結果.靶標參數：相機的內參數：(通過像素轉化得到)靶標中圓心的像平面坐標為：x坐標y坐標a-42.501-5.3896b-41.245-14.128c-38.304-34.586d-10.743-30.685e-15.125-0.86785靶標中圓心的像素坐標為：x像素坐標y像素坐標a-161-21b-156-54c-145-131d-41-117e-58-4matlab

16、對該模型的空間仿真圖如圖4圖4 左側為斜視圖，右圖為像素點放大圖因為相機的分辨率為1024x768，既相機圖像傳感器的實際尺寸約為27.8995x203.1746,相機的可視視角為該像平面過相機光學中心的投影區域，可視范圍與離相機光學中心的距離關系如下式相機圖像傳感器的最小單位尺寸為1個單位像素，其面積為，根據成像的幾何關系，其精度與觀察物相機光學中心距離有如下關系為通過單個像素采集到的圖像面積.從公式中與相機的距離越遠其精度越低.3.3問題三的分析與模型建立 要檢驗模型的穩定性，給出一種具體的檢驗模型的方法：靶標中圓的圓心的坐標可以用以光學中心為原點，其中z軸與焦距所在的直線重合，正方向指向

17、靶標正面的直角坐標系表示，根據圓上的點與圓心的位置關系（即圓的參數方程），確定出圓上的點在靶標平面上的坐標，根據二維平面到三維空間的映射關系，可求出該點在空間內的坐標，進而通過模型一的數學模型求出該點在像平面上的坐標，相類似的，一個圓上的每個點都可以通過此方法得到在像平面上的坐標.由于像會發生畸變，此題圓的像畸變為橢圓，將靶標上一個圓上的一系列點映射到像平面上的對應點，利用問題二的模型對所求點進行該相機的像素坐標化，使其符合該相機的內部參數，并對像素坐標進行最小二乘橢圓擬合2，求出橢圓方程的系數，再將其轉換為毫米單位，從而得到橢圓方程.根據橢圓的方程求出橢圓的中心，則兩種方法確定的圓心在像平面

18、的點的距離平方，距離平方越小模型的精度越高，模型越穩定性.假設靶標平面直角坐標系下已知一個圓的圓心坐標為，則該圓上的任意一點在靶標平面直角坐標系的坐標為，其中表示圓的離心角.則由二維空間上的點到三維空間的映射關系1其中為旋轉矩陣角度和為垂直于該平面的向量在球坐標下的極角和方位角表示靶標中心的坐標.根據物點與像點的幾何關系，就可以得到物點在像平面上的坐標，對像平面上的點進行最小二乘橢圓擬合，得到橢圓的系數，從而得到橢圓方程，根據解析幾何關系，就可以求出橢圓的中心坐標.最小二乘橢圓擬合的算法2像平面上的橢圓用平面二次曲線的一般方程可以表示為： 其中 ，稱為平面上點到曲線 的代數距離，即可通過求解所

19、有點的最小代數距離平方和的方法求解出相應的二次曲線的方程.對于橢圓上點的觀測數據，數學準則為按照上述數學準則，所有對應點在二次曲線上的函數值與實際值的距離差的平方和最小，則曲線擬合的效果較好，用此方法求出橢圓的上述系數，按照解析幾何中的方法求得橢圓的中心點坐標.具體的算法步驟如下：1) 通過靶標平面上圓的圓心的坐標寫出在靶標平面直角坐標系上圓的參數方程.2) 由二維平面到三維空間的映射關系1求出圓上的任意點在以光學中心為原點的笛卡爾坐標系下的坐標，但要滿足求得的點與圓心在該直角坐標系下位于一個平面內.3）由于像平面與xoy平面平行，根據幾何關系求得圓上的點在像平面上的對應點.因為像會發生畸變，

20、圓畸變為橢圓，所以圓上的點在像平面上的對應點為橢圓上的點.對這些點用最小二乘橢圓擬合，得到橢圓在平面坐標系下的方程，由解析幾何關系求出橢圓方程的中心坐標.4) 靶標上一個圓的圓心在像平面上的對應點為.5) 求與對應兩點距離平方，根據其大小評價模型的準確度.相應的求解程序見matlab文件夾中的questionthree.m下面為對a點的檢驗數據參數根據問題一中模型求得a點在像平面上的坐標根據問題三中的檢驗模型求得的橢圓中心坐標為此時兩點距離的平方為0.9575mm，其數值相對較小，模型合理.3.4問題四的分析與模型建立雙目定位即為用兩部相機定位，定位的原理為；用兩部固定于不同位置的相機攝得物體

21、的像，分別得到該點在兩部相機像平面上的坐標.知道兩部相機精確的相對位置，用幾何的方法得到該特征點在固定一部相機的坐標系中的坐標，即確定了特征點的位置，雙目定位的目的即為根據兩固定相機距離和像的坐標，由幾何關系得到物體的位置.假設兩相機的型號相同，且在同一直線上，以其中一部相機的光學中心為坐標原點，這里我們稱相機為主相機，另一臺稱為輔相機，建立空間直角坐標系，假設輔相機的光學中心位于x軸上，且兩相機的距離為，由問題一，知道靶標上的點可以求出該點的像在主相機像平面中的坐標，變換公式為類似的，通過凸透鏡成像原理和三角形相似關系求出靶標中的像通過輔相機在其像平面上的坐標，相應的變換公式為:由四個坐標變換公式，通過給定空間中的點和主輔相機的固定位置，我們就可以精確的計算出這些點在兩像平面的位置，從而建立了實物與固定相機的聯系，實現了兩部相機的準確定位.對模型進行檢驗，并通過matlab7.0進行圖形仿真，程序見matlab文件夾中的. 參數：靶標圓心的空間坐標為x坐標y坐標z坐標a144.418.3111417.4b139.9947.9521416c129.71117.111412.7d35.604101.691382.6e50.2952.88581387.3靶標在主相機像平面的坐標x坐標y坐標a-42.501-5.3896b-41.245-14.128c-