1、第五講奇數與偶數及奇偶性的應用死記硬背是一種傳統的教學方式，在我國有悠久的歷史。但隨 著素質教育的開展，死記硬背被作為一種僵化的、阻礙學生能 力發展的教學方式，漸漸為人們所摒棄；而另一方面，老師們 又為提高學生的語文素養煞費苦心。其實，只要應用得當，“死 記硬背”與提高學生素質并不矛盾。相反，它恰是提高學生語 文水平的重要前提和基礎。一、基本概念和知識一般說來，“教師”概念之形成經歷了十分漫長的歷史。楊士 勛（唐初學者，四門博士）春秋谷梁傳疏日：“師者教人 以不及，故謂師為師資也”。這兒的“師資”，其實就是先秦 而后歷代對教師的別稱之一。韓非子也有云：“今有不才 之子師長教之弗為變”其“師長”

2、當然也指教師。這兒的“師資”和“師長”可稱為“教師”概念的雛形，但仍說不上 是名副其實的“教師”，因為“教師”必須要有明確的傳授知 識的對象和本身明確的職責。 1.奇數和偶數語文課本中的文章都是精選的比較優秀的文章，還有不少名家 名篇。如果有選擇循序漸進地讓學生背誦一些優秀篇目、精彩 段落，對提高學生的水平會大有裨益。現在，不少語文教師在 分析課文時，把文章解體的支離破碎，總在文章的技巧方面下 功夫。結果教師費勁，學生頭疼。分析完之后，學生收效甚微, 沒過幾天便忘的一干二凈。造成這種事倍功半的尷尬局面的關 鍵就是對文章讀的不熟。常言道“書讀百遍，其義自見”，如果有目的、有計劃地引導學生反復閱讀

3、課文，或細讀、默讀、 跳讀，或聽讀、范讀、輪讀、分角色朗讀，學生便可以在讀中 自然領悟文章的思想內容和寫作技巧，可以在讀中自然加強語 感，增強語言的感受力。久而久之，這種思想內容、寫作技巧 和語感就會自然滲透到學生的語言意識之中，就會在寫作中自 覺不自覺地加以運用、創造和發展。整數可以分成奇數和偶數兩大類.能被2整除的數叫做偶數，不能被2整除的數叫做奇數。偶數通常可以用2k （k為整數）表示，奇數則可以用2k+l （k為整數） 表示。特別注意，因為。能被2整除，所以。是偶數。2.奇數與偶數的運算性質性質1：偶數土偶數二偶數，奇數士奇數二偶數。性質2:偶數士奇數二奇數。性質3:偶數個奇數相加得偶

4、數。性質4:奇數個奇數相加得奇數。性質5:偶數x奇數二偶數，奇數x奇數二奇數。二、例題利用奇數與偶數的這些性質，我們可以巧妙地解決許多實際問題.例1 1+2+3+1993的和是奇數？還是偶數？分析 此題可以利用高斯求和公式直接求出和，再判別和是奇數，還是偶 數.但是如果從加數的奇、偶個數考慮，利用奇偶數的性質，同樣可以判 斷和的奇偶性.此題可以有兩種解法。解法 1: /1+2+3+1993又997和1993是奇數，奇數x奇數二奇數，.原式的和是奇數。解法 2: / 19932=996- -1,1993的自然數中，有996個偶數,有997個奇數。1996個偶數之和一定是偶數，又奇數個奇數之和是奇

5、數，997個奇數之和是奇數。因為，偶數+奇數=奇數，所以原式之和一定是奇數。例2 一個數分別與另外兩個相鄰奇數相乘，所得的兩個積相差150,這個 數是多少？解法1： 相鄰兩個奇數相差2,.150是這個要求數的2倍。.這個數是150+2=75。解法2:設這個數為x,設相鄰的兩個奇數為2a+l, 2a-l (al) .則 有(2a+1) x- (2a-l) x=150,2ax+x-2ax+x= 150,2x=150,x=75o這個要求的數是75。例3元旦前夕，同學們相互送賀年卡.每人只要接到對方賀年卡就一定回 贈賀年卡，那么送了奇數張賀年卡的人數是奇數，還是偶數？為什么？ 分析此題初看似乎缺總人數

6、.但解決問題的實質在送賀年卡的張數的奇 偶性上，因此與總人數無關。解：由于是兩人互送賀年卡，給每人分別標記送出賀年卡一次.那么 賀年卡的總張數應能被2整除，所以賀年卡的總張數應是偶數。送賀年卡的人可以分為兩種：一種是送出了偶數張賀年卡的人：他們送出賀年卡總和為偶數。另一種是送出了奇數張賀年卡的人：他們送出的賀年卡總數;所有人 送出的賀年卡總數-所有送出了偶數張賀年卡的人送出的賀年卡總數=偶 數-偶數二偶數。他們的總人數必須是偶數，才使他們送出的賀年卡總數為偶數。所以，送出奇數張賀年卡的人數一定是偶數。例4已知a、b、c中有一個是5, 一個是6, 一個是7.求證a-1, b-2, c-3 的乘積

7、一定是偶數。證明：a、b、c中有兩個奇數、一個偶數，a、c中至少有一個是奇數，aa-1, c-3中至少有一個是偶數。又二偶數x整數=偶數,(a-1) x (b-2) x (c-3)是偶數。例5任意改變某一個三位數的各位數宇的順序得到一個新數.試證新數與 原數之和不能等于999。則有a+a =b+b =c+c =9,因為9不會是進位后得到的又因為a、b、c是a、b、c調換順序得到的，所以 a+b+c=a +b +c。因此，又有(a+a ) + (b+b ) + (c+c ) =9+9+9,即 2 (a+b+c) =3x9。可見：等式左邊是偶數，等式的右邊(3x9=27)是奇數.偶數a奇數. 因此

8、，等式不成立.所以，此假設“原數與新數之和為999”是錯誤的，命 題得證。這個證明過程教給我們一種思考問題和解決問題的方法.先假設某種 說法正確，再利用假設說法和其他性質進行分析推理，最后得到一個不可 能成立的結論，從而說明假設的說法不成立.這種思考證明的方法在數學 上叫“反證法”。例6用代表整數的字母a、b、c、d寫成等式組：ax b xc xd-a=1991axbxcxd-b=1993axbxcxd-c=2019axbxcx d-d=2019試說明：符合條件的整數a、b、c、d是否存在。解：由原題等式組可知：a (bcd-1) =1991, b (acd-1) =1993,c (abd-1

9、) =2019, d (abc-1) =2019。1991、1993、2019、2019 均為奇數,且只有奇數x奇數二奇數，.a、b、c、d分別為奇數。.axbxcxd=奇數。a b、c、d的乘積分別減去a、b、c、d后，一定為偶數.這與原題 等式組矛盾。.不存在滿足題設等式組的整數a、b、c、do例7桌上有9只杯子，全部口朝上，每次將其中6只同時“翻轉”.請說 明：無論經過多少次這樣的“翻轉”，都不能使9只杯子全部口朝下。解：要使一只杯子口朝下，必須經過奇數次“翻轉” .要使9只杯子 口全朝下，必須經過9個奇數之和次“翻轉”.即“翻轉”的總次數為奇 數.但是，按規定每次翻轉6只杯子，無論經過

10、多少次“翻轉”，翻轉的 總次數只能是偶數次.因此無論經過多少次“翻轉”，都不能使9只杯子 全部口朝下。例8假設n盞有拉線開關的燈亮著，規定每次拉動(n-1)個開關，能否 把所有的燈都關上？請證明此結論，或給出一種關燈的辦法。證明：當n為奇數時，不能按規定將所有的燈關上。因為要關上一盞燈，必須經過奇數次拉動它的開關。由于n是奇數，所以n個奇數的和二奇數，因此要把所有的燈（n盞）都關上，拉動拉線開關的總次數一定是奇 數。但因為規定每次拉動n-1個開關，且n-1是偶數，故按規定拉動開關的總次數一定是偶數。二.奇數大偶數，當n為奇數時，不能按規定將所有燈都關上。當n為偶數時，能按規定將所有燈關上.關燈

11、的辦法如下：設燈的編號為1, 2, 3, 4,，n.做如下操作：第一次，1號燈不動，拉動其余開關；第二次，2號燈不動，拉動其余開關；第三次，3號燈不動，拉動其余開關；第n次，n號燈不動，拉動其余開關.這時所有的燈都關上了。例9在圓周上有1987個珠子，給每一珠子染兩次顏色，或兩次全紅，或 兩次全藍，或一次紅、一次藍.最后統計有1987次染紅，1987次染藍.求 證至少有一珠子被染上過紅、藍兩種顏色。證明：假設沒有一個珠子被染上過紅、藍兩種顏色，即所有珠子都是 兩次染同色.設第一次染m個珠子為紅色，第二次必然還僅染這m個珠子 為紅色.則染紅色次數為2m次。/2ml987 （偶數h奇數）假設不成立

12、。至少有一個珠子被染上紅、藍兩種顏色。 例10如下圖，從起點始，隔一米種一棵樹，如果把三塊“愛護樹木”的 小牌分別掛在三棵樹上，那么不管怎樣掛，至少有兩棵掛牌的樹，它們之 間的距離是偶數（以米為單位），這是為什么？解：任意挑選三棵樹掛上小牌，假設第一棵掛牌的樹與第二棵掛牌的 樹之間相距a米，第二棵掛牌的樹與第三棵掛牌的樹之間相距b米，那么 第一棵掛牌的樹與第三棵掛牌的樹之間的距離c=a+b （米）（如下圖）， 如果a、b中有一個是偶數，題目已得證；如果a、b都是奇數，因為奇數 +奇數=偶數，所以c必為偶數，那么題目也得證。例u某校六年級學生參加區數學競賽，試題共40道，評分標準是：答 對一題給

13、3分，答錯一題倒扣1分.某題不答給1分，請說明該校六年級 參賽學生得分總和一定是偶數。解：對每個學生來說，40道題都答對共得120分，是個偶數.如果答 錯一道，相當于從12。分中扣4分.不論答錯多少道，扣分的總數應是4 的倍數，即扣偶數分.從120里減去偶數.差仍是偶數.同樣，如果有某題不 答，應從12。里減去（3-1）分.不論有多少道題沒答，扣分的總數是2的 倍數，也是偶數.所以從120里減去偶數，差仍是偶數.因此，每個學生得 分數是偶數，那么全年級參賽學生得分總和也一定是偶數.例12某學校一年級一班共有25名同學，教室座位恰好排成5行，每行5 個座位.把每一個座位的前、后、左、右的座位叫做

14、原座位的鄰位.問：讓 這25個學生都離開原座位坐到原座位的鄰位，是否可行？分析為了便于分析，我們可借助于下圖，且用黑白染色幫助分析.我們把每一個黑、白格看作是一個座位.從圖中可知，已在黑格“座 位”上的同學要換到鄰座，必須坐到白格上；已在白格“座位”上的同學 要換到鄰座，又必須全坐到黑格“座位”上.因此，要使每人換為鄰座位, 必須黑、白格數相等。解：從上圖可知：黑色座位有13個，白色座位有12個，13大12, w 此，不可能使每個座位的人換為鄰座位。例12的解法，采用了黑白兩色間隔染（著）色的辦法.因為整數按奇偶分 類只有兩類，所以將這類問題轉變為黑白兩色間隔著色，可以幫助我們較 直觀地理解和

15、處理問題.讓我們再看一道例題，再體會一下奇偶性與染色 的關系。例13在中國象棋競任意取定的一個位置上放置著一顆棋子“馬”，按中 國象棋的走法，當棋岫上沒有其他棋子時，這只“馬”跳了若干步后回到 原處，問：“馬”所跳的步數是奇數還是偶數？解：在中國象棋中，“馬”走“h”字，如果將棋荒上的各點按黑白 二色間隔著色（如圖），可以看出，“馬”走任何一步都是從黑色點走到 白色點，或從白色點走到黑色點.因此，“馬”從一色點跳到另一同色點， 必定要跳偶數步.因此，不論開始時“馬”在棋盤的哪個位置上，而且不論“馬”跳多 少次，要跳回原處，必定要跳偶數步。例14線段ab有兩個端點，一個端點染紅色，另一個端點染藍

16、色.在這個 ab線段中間插入n個交點，或染紅色，或染藍色，得到n+1條小線段 （不重疊的線段）.試證：兩個端點不同色的小線段的條數一定是奇數。證明：當在ab中插入第一點時，無論紅或藍色，兩端色不同的線段 仍是一條。插入第二點時有三種情況：插入點在兩端不同色的線段中，則兩端不同色線段條數不變。插入點在兩端同色的線段中，且插入點顏色與線段端點顏色相同， 則兩端不同色線段條數不變。插入點在兩端同色的線段中，但插入點顏色與線段端點顏色不同， 則兩端不同色線段條數增加兩條。因此插入第二個點時端點不同色的線段數比插入第一個點時端點不 同色的線段數（=1）多。或2,因此是奇數（1或3）。同樣,每增加一個點，

17、端點不同色的線段增加偶數（0或2）條炳此, 無論n是什么數，端點不同色的線段總是奇數條。第12頁/共12頁習題五1 .有100個自然數，它們的和是偶數.在這100個自然數中，奇數的個 數比偶數的個數多.問：這些數中至多有多少個偶數？2 .有一串數，最前面的四個數依次是1、9、8、7.從第五個數起，每 一個數都是它前面相鄰四個數之和的個位數字.問：在這一串數中，會依 次出現1、9、8、8這四個數嗎？3 .求證：四個連續奇數的和一定是8的倍數。4 .把任意6個整數分別填入右圖中的6個小方格內，試說明一定有一 個矩形，它的四個角上四個小方格中的四個數之和為偶數。5 .如果兩個人通一次電話，每人都記通話一次，在24小時以內，全 世界通話次數是奇數的那些人的總數為o(a)必為奇數，(b)必為偶數，(c)可能是奇數，也可能是偶數。6 . 一次宴會上，客人們相互握手.