1、23.4中位線課前知識管理1、連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.如圖1.在 abc中，點e, f分別是ab ac的中點，則線段 ef就是 abc的一條中位線.定理：三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半 .用符號語言表述為：如圖，1在 abc中，點e, f分別是ar ac的中點，貝u ef/ bc,并且ef = bc .2名師導學互動典例精析：知識點1:用三角形中位線判斷四邊形形狀例1、在梯形 abcd中，ad/ bc, ab=cd e、f、g h分別是ar bg cd da的中點，則 四邊形efgh （）（a）等腰梯形（b）矩形（c）菱形（d）正方形【解題思路】因為梯形a

2、bcd中，ad/ bg ab=cd所以梯形為等腰梯形，等腰梯形的對角 線長相等，即 ac=bd而根據三角形中位線定理，可知ef與hgb平行且等于 ac的一半,同理，eh和fg都平行且等于bg的一半，所以ef=fg=gh=he所以四邊形為菱形.【解】選c.【方法歸納】順次連結四邊形各邊中點， 原四邊形的兩條對角線和中點四邊形之間的關系為：原四邊形兩條對角線中點四邊形互相垂直矩形相等菱形互相垂直且相等正方形既不互相垂直也不相等平行四邊形對應練習：順次連結等腰梯形四邊中點得到一個四邊形，再順次連結所得四邊形各邊中點得到的圖形是.答案：矩形.知識點2:利用三角形中位線計算例2、如圖，在等腰梯形 abc

3、d中，ad / bc , ad =3, bc =5 , ac, bd相交于o點，且/ boc =60 ,順次連結等腰梯形各邊中點所得四邊形的周長是（）b. 20c. 16a . 24d. 12【解題思路】過d作fd/ ac交bc的延長線交于 e,由已知條件易知 adbe是等邊三角形, 而四邊形ace的平行四邊形，易得ac=bd=be=de=ad+bc=8三角形中位線定理可得，中位線 等于第三邊的一半，所以順次連結等腰梯形各邊中點所得的四邊形的周長為16.【解】選c.【方法歸納】梯形中常見的輔助線常有平移一腰，作底邊上的高線，平移一條對角線，延長兩腰等方法.通過輔助線將梯形轉化為特殊三角形，或平

4、行四邊形，矩形等以便找出等量關 系.對應練習：如圖所示，ef是 abc的中位線，bd平分/abc交ef于d ,若ed=2 ,則eb=知識點3:應用三角形中位線定理說明角相等ba、fe例3、已知，如圖，四邊形 abcd中，ab=cd, e、f分別是ad、bc的中點, 的延長線相交于點 m, cd、fe的延長線相交于點 n.試說明：/ ame=/dne.ad、bc的中點，可考慮連結 bd,構造出中位線.【解】連結bd ,取bd的中點o,連結oe、of.易得eo=ab ,且eo / ab , fo= - cd, 22且 fo/cd. . oef = /ame , / ofe = /dne.又因為 a

5、b = cd, .1. eo=fo,oef=z ofe, . / ame =z dne.【方法歸納】要善于利用點構造“中位線”研究相關問題，一般是由“中點”聯想到“中位線”，多數情況下這個想法是行得通的.對應練習：如圖所示，在 abc中，ac=5 ,中線ad=4 ,則ab邊的取值范圍是（）a. 1 a ab :二 9 b. 3 :二 ab 二 13 c. 5 :二 ab 二 13 d. 9 :二 ab 二 13答案：b知識點4:應用三角形中位線定理證明線段相等例4、如圖所示，在 abc中，d e分別是 ab ac上的點，且 bd=ce m n分別是be cd 的中點，過 m n的直線交 ab于

6、 巳 交ac于點q.求證：ap=aq.【解題思路】 欲證ap=aq可考慮證明/apq =/aqp .根據題設條件，可取 bc的中點f, 連結fm fn,（如圖3）則 mf nf分別是 bc訝口 bcd勺中位線.利用bd=ce證fm=fn 從而n1 =n2 ,由平行線的性質可知 n1 =/apq,/2 =/aqp ,于是napq =naqp成 立，進而結論成立 .【解】證明：取bc的中點f,連結fm fn,由條彳知：mr nf分別是 bc訝口 bcd勺中11位線，. fm/ ac, fn/ bd, fm = - ce,fn = - bd , . . /apq =21,/aqp =/ 2 .又因

7、22為 bd=ce 所以 fm=fz/1=/2,所以 zapq =/aqp ,所以 ap=aq.【方法歸納】 若已知條件中有中點， 常取某一邊中點，構造三角形的中位線，運用三角形中 位線性質定理得到某些線段相等或角相等.對應練習：已知，如圖，四邊形 abcd中，ac、bd相交于點。，且ac = bd , e、f分另 是ad、bc的中點，ef分別交ac、bd于點m、n.試說明：om =on.c解：取 ab 的中點 p,連zep、fp易得 ep= 1 bd 且 ep / bd , fp=ac 且 fp/ ac.，/ 22dne = / pen , / cmf = / pfm ,又acmbd,pe=

8、 pf, . pen = /pfm , . / dne = / cmf知識點5:應用中位線定理求面積,om = on./ acb的平分線 cf交6,求 abd的面積.【解題思路】由題意，易得ef / bd ,efbd1 ,并推出 aaef s、abd2即 -小匹=（一）2, 從而可求出 s.abd2abd的面積.【解】cf 平分 zacb ,z1 =/2 .又: dc = ac ,cf 是 acd 的中線,，點f是ad的中點.點e是ab的中點，ef/ bd,ef aefa abd ,bd二（羅,s.aef = s.abd - sg邊形 bdfe - sabd-6s.，abd - 6 _ j 2

9、） , ,一 （一 ）s.abd2sbd =8 ,aabd的面積為8.【方法歸納】在運用相似三角形的面積比等于相似比的平方”這一性質時，同樣要注意是對例5、如圖，在 abc中，bcac,點d在bc上，且 dc=ac, ad于f,點e是ab的中點，連結 ef,若四邊形bdfe的面積為應二角形的面積比.不要犯由ef ： bd=1 ： 2,得saaef : saabd =1 ： 2,或saaef : s四邊形bdfe 二1 ： 2,之類的錯誤.對應練習：已知，如圖， abc的中線ad、be交于點g試說明： sabg = s 四邊形 cegd.解：連結de,易得de /ab , sabe = saab

10、d .又因為 ad 是 abc 的 bc 邊上的中線，saabd = sacd ,saabe = sacd .sabe 一 saeg=saacd saaeg ,即 saabg = s 四邊形 cegd.易錯警示例6、已知等腰 abc中，/c=90 , ab=10, d、e分別是ab、ac的中點，求 de的長. 錯解：由已知可得，de是4abc的中位線，所以 de=1ab=5.2錯因分析：de是4abc的中位線沒錯，但中位線 de的第三邊卻不是 ab ,而是bc,造成 錯解的原因是對中位線定理中的“第三邊”理解不透 正解：由已知可得：bc=a b+ 2 =5 2 ,因此de= 1 bc=旦2 .

11、22課堂練習評測考點1：三角形中位線1、如圖， abc中，點 d、e分別是 ab、ac的中點，則下列結論： bc=2de ;ad ab adesabc； 一=一 .其中正確的有（）ae ac（a） 3 個 一（b） 2 個 （c） 1 個（d）。個2、如圖，ad是a abc的中線，zadc=45 ,把a adc沿ad 對折，點c落在點c的位置, 則bc與bc之間的數量關系是 .r d c3、如圖，de 是 abc 的中位線，de =2cm, ab+ac =12cm,則 bc=cm, 梯形dbce的周長為 cm.課后作業練習【基礎過關】1 .連結三角形 的線段叫做三角形的中位線.2 .三角形的中

12、位線 于第三邊，并且等于 .3 . 一個三角形的中位線有 條.4 .如圖（1）所示，ef是4abc的中位線，若 bc=8cm貝u ef=cm(2)5.三角形的三邊長分別是3cm,5cm（4）6cm,則連結三邊中點所圍成的三角形的周長是cm.6 .在rtabc中，/ c=90 , ac=?5, ?bc=?12, ?則連結兩條直角邊中點的線段長為 7 .若三角形的三條中位線長分別為2cm, 3cm, 4cm,則原三角形的周長為（）a. 4.5cm b . 18cm c . 9cm d . 36cm8 .如圖（2）所示，a b兩點分別位于一個池塘的兩端，小聰想用繩子測量a b間的距離，但繩子不夠長，

13、一位同學幫他想了一個主意：先在地上取一個可以直接到達a, b的點c,找到ac, bc的中點d, e,并且測出de的長為10m,則a, b間的距離為（）a. 15m b . 25m c . 30m d . 20m9.已知 abc的周長為1,連結 abc的三邊中點構成第二個三角形,形的三邊中點構成第三個三角形，依此類推，第a.2006b.-2007.220062007個三角形的周長是1d . 22007?再連結第二個三角（ ）rp的)a.線段ef的長逐漸增大bc.線段ef的長不變d11.如圖（4）, 的周長是（a. 10 b【應用拓展】12.如圖所示,在 abc中，e ).20 c.線段ef的長逐

14、漸減少.線段ef的長不能確定d, f分別是ab, bc, ca的中點，ab=6, ac=4,則四邊形30 d . 40 abcd勺對角線ag bd相交于點 o, ae=eb求證:aedf?10.如圖（3）所示，已知四邊形 abcd r, p分別是dq bc上的點，e, f分別是ap, 中點，當點p在bc上從點b向點c移動而點r不動時，那么下列結論成立的是（13.如圖所示,1在 abc中，點 d 在 bc上且 cd=ca cf平分/ acb ae=eb 求證：ef= bd.2a14 .如圖所示，已知在 dabcd, e, f分別是ad, bc的中點，求證： mn/ bc.【綜合提高】15 .某廠

15、有一塊如圖所示的 abc鐵板，根據需要，現要把它加工成一個平行四邊形鐵板.要把材料完全利用起來，可怎樣加工？請你利用學過的知識幫助工人師傅把切割的線用虛線畫出來，并指出加工后的平行四邊形.能否將此三角形鐵板加工成長方形？請予以探索.16、如圖所示，在 abc中，ad是中線，e是ad的中點,f是be的延長線與ac的交點.試說明af、fc的關系.rd17、如圖所示， ae平分/ bac , bex ae ,垂足為 e, d為bc的中點，/ bae=3 6 ,則試求/ bed的度數.18、已知：如圖所示，bd、ce分別是 abc?的外角平分線，過點 a作afxbd , agxce,垂足分別為 f、g

16、.連結fg,延長af、ag ,與直線bc相交，？易證fg=1-（ab+bc+ac ）.若（1） bd、ce分別是 abc的內角平分線（如圖）；（2） ?bd?為2 abc的內角平分線，ce為 abc的外角平分線（如圖），則在圖、圖兩種情況下，?線段fg與4abc三邊又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，？并對其中的一種情況給予證明. 23.4課堂作業參考答案:1、a,22、bc = - bc 點撥：因為/ adc=45 ,由軸對稱性質可知 dc =dc, / c dc=90 .又bd=cd,由勾股定理可知， bc = j2bc3、 4, 12課后作業參考答案：1、兩邊中點2、平行，第三邊的一半3

17、、34、45、76、6.57、b8、d9、c10、c11、a12、由bo=dg口 ea=eb導oe是中位線，所以 oe/ bc.13、由等腰三角形三線合一得 fa=fd又由e是中點，所以ef是中位線，即得結論.14、提示：證 aem fbm導me=mb同理得ne=nc于是mna ebc的中位線，即得結論.15、參照圖形：16、取bf的中點g,連結 dg,則dg是4bcf的中位線，dg=fc,再證明 af=dg.217、延長be交ac于f,則 mbe =mfe，那么/ afb = 54 , de是 bcf的中位線，所以有 /bed=/bfc=126。.18.解：猜想結果：圖中，fg=1 (ab+ac-bc )；圖中，