1、1 1 系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 第四章第四章 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換連續(xù)時(shí)間傅立葉變換 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換 傅立葉級數(shù)與傅立葉變換之間的關(guān)系 傅立葉變換的性質(zhì) 2 2 在工程應(yīng)用中有相當(dāng)廣泛的信號是非周期在工程應(yīng)用中有相當(dāng)廣泛的信號是非周期 信號，本章要解決的問題有兩個(gè)：信號，本章要解決的問題有兩個(gè)： 4.0 4.0 引引 言言 1. 1. 對非周期信號應(yīng)該如何進(jìn)行分解？對非周期信號應(yīng)該如何進(jìn)行分解？ 2. 2. 什么是非周期信號的頻譜表示？什么是非周期信號的頻譜表示？ 3 3 4.1 4.1 非周期信號的表示非周期信號的表示 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換連續(xù)時(shí)間傅立葉變換 本節(jié)主要內(nèi)容本節(jié)主要內(nèi)

2、容 非周期信號傅里葉變換公式推導(dǎo)非周期信號傅里葉變換公式推導(dǎo) 傅里葉變換的收斂條件傅里葉變換的收斂條件 常見信號的傅里葉變換常見信號的傅里葉變換 4 4 包絡(luò)的譜線間隔包絡(luò)的譜線間隔 ，被采樣的間隔越來越小，被采樣的間隔越來越小 。 一一. .從傅立葉級數(shù)到傅立葉變換從傅立葉級數(shù)到傅立葉變換 0 T 0 10 0 00 10 22 k Tk aT Tk Tk a kk sinsin a b (a) 01 4TT(b) 01 8TT 0 0 20 2 0 4 0 4 0 k aT 0 k aT0 k aT 0 當(dāng)當(dāng) 周期矩形脈沖周期矩形脈沖: 1 10 1, 0, / 2 tT x t TtT

3、頻譜系數(shù)為：頻譜系數(shù)為： 4.1 非周期信號的表示 非周期信號的表示 5 5 周期趨近于無窮大時(shí)，即周期趨近于無窮大時(shí)，即 時(shí)，原來時(shí)，原來 的的周期方波就趨近于一個(gè)矩形脈沖周期方波就趨近于一個(gè)矩形脈沖，此時(shí)傅里，此時(shí)傅里 葉系數(shù)的采樣間隔也越來越密集，因此，傅里葉系數(shù)的采樣間隔也越來越密集，因此，傅里 葉系數(shù)更加趨近于包絡(luò)函數(shù)。葉系數(shù)更加趨近于包絡(luò)函數(shù)。 0 T 非周期信號傅里葉表示的基本思想：非周期信號傅里葉表示的基本思想： 把非周期信號當(dāng)作一個(gè)周期信號在周期任意把非周期信號當(dāng)作一個(gè)周期信號在周期任意 大時(shí)的極限來看待，并且研究這個(gè)周期信號傅里大時(shí)的極限來看待，并且研究這個(gè)周期信號傅里 葉

4、表示式的極限特性。葉表示式的極限特性。 4.1 非周期信號的表示 非周期信號的表示 6 6 它在 時(shí)可以是有限的。 周期性矩形脈沖信號將演變成為 非周期的單個(gè)矩形脈沖信號，即 txtx)( )( tx :周期性矩形脈沖信號； tx :等于一個(gè)周期內(nèi)的 ，具有有限持續(xù)期。)( tx dtetxaT tjk T T k 0 0 0 2 2 0 ，時(shí)當(dāng) 0 T 考查 的變化: k aT 0 0 T 0 T令 由 4.1 非周期信號的表示 非周期信號的表示 7 7 得 即 j t Xjx t edt 表明：表明：1.而非周期信號的頻譜是周期信號頻譜的包絡(luò)；而非周期信號的頻譜是周期信號頻譜的包絡(luò)； 2.

5、周期信號的頻譜系數(shù)，是與它對應(yīng)的非周期信號周期信號的頻譜系數(shù)，是與它對應(yīng)的非周期信號 頻譜的等間隔樣本，并與之成正比。頻譜的等間隔樣本，并與之成正比。 周期延拓后周期 信號的頻譜系數(shù) dtetxaT tjk k T 0 0 0 lim 0 0 00 11 k k aX jX jk TT 非周期信號的傅立葉變換非周期信號的傅立葉變換 )( 令 jX 4.1 非周期信號的表示 非周期信號的表示 具有頻譜隨頻率分布的 物理含義，因而稱其為頻譜密度函數(shù)。 000 0 ,0 0 ()limlim k k TTf a X jTa f 8 8 k tjk k tjk k tjk k ejkXejkX T e

6、atx 000 0 000 2 11 根據(jù)周期信號的傅立葉系數(shù)表示： 當(dāng) 0 T 時(shí)， 0 0 2 ,d T 0 ,k 于是 1 ( )() 2 j t x tX jed txtx)( 傅里葉逆變換傅里葉逆變換 dejXtx tj 2 1 )( 此時(shí) 4.1 非周期信號的表示 非周期信號的表示 上式表明，非周期信號可以分解成無數(shù)多個(gè)頻率連續(xù)上式表明，非周期信號可以分解成無數(shù)多個(gè)頻率連續(xù) 分布的、振幅為分布的、振幅為 的復(fù)指數(shù)信號之和。的復(fù)指數(shù)信號之和。 djX 2 1 9 9 和傅立葉級數(shù)的收斂條件一致，也有相應(yīng) 的兩組條件： 表明表明: :能量有限的信號其傅立葉變換一定存在。能量有限的信號其

7、傅立葉變換一定存在。 1.1.平方可積條件平方可積條件 二二. .傅立葉變換的收斂傅立葉變換的收斂 若 2 ( )x tdt ，則 存在()X j 4.1 非周期信號的表示 非周期信號的表示 1 ( )() 2 j t j t X jx t edt x tX jed 傅立葉變換對公式：傅立葉變換對公式： 1010 b. 在任何有限區(qū)間內(nèi)， 只有有限個(gè)極值點(diǎn)，且 極值有限。 ( )x t c. 在任何有限區(qū)間內(nèi)， 只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)。 ( )x t 和周期信號的情況一樣，當(dāng)和周期信號的情況一樣，當(dāng) 的傅立葉變換存在，其傅的傅立葉變換存在，其傅 立葉變換在立葉變換在 的連續(xù)處收斂于信號本身的連

8、續(xù)處收斂于信號本身, ,在間斷點(diǎn)處收斂于左在間斷點(diǎn)處收斂于左 右極限的平均值，在間斷點(diǎn)附近會(huì)產(chǎn)生右極限的平均值，在間斷點(diǎn)附近會(huì)產(chǎn)生GibbsGibbs現(xiàn)像。現(xiàn)像。 ( )x t ( )x t 2. 2. DirichletDirichlet 條件條件 ( )x t dt a. 絕對可積條件： ( )x t 注意：這些條件只是傅立葉變換存在的充分條件，這兩 組條件并不等價(jià)。 4.1 非周期信號的表示 非周期信號的表示 1111 三、三、 常用信號的傅立葉變換：常用信號的傅立葉變換： 例例1 1.( )( ),0 at x te u t a 實(shí)信號，求傅立葉變換，畫出其模、相位特性圖。 0 ()

9、atj t X je edt 1 22 1 (), ()X jX jtg a a 則模：相位： ( )x t t 0 1 aa 0 1/a ()X j 2 2a 2 2 aa ()X j dtetxjX tj 解: 4.1 非周期信號的表示 非周期信號的表示 0 atj t t ee aj 1 aj 1212 例例2.2.( ),0 at x tea ，求其傅里葉變換。 結(jié)論結(jié)論: :實(shí)偶信號實(shí)偶信號 的傅立葉變換是的傅立葉變換是 實(shí)偶函數(shù)實(shí)偶函數(shù), ,如圖如圖 示信號的頻譜。示信號的頻譜。 ()()X jX j則模： ( )x t t 1 0 0 0 () atj tatj t X je e

10、dte edt 解： ()0X j ()X j 2 a 1 a aa 0 22 0 112 () atj tatj t a X je edte edt ajaja 4.1 非周期信號的表示 非周期信號的表示 1313 例例3.3. ( )( )x tt，求其傅里葉變換。 ()( )1 j t Xjt edt 解： 這表明 中包括了所有的頻率成分,所有 頻率分量的幅度、相位都相同。因此單位沖激響 應(yīng) 才能完全描述一個(gè)LTI系統(tǒng)特性， 才在 信號與系統(tǒng)分析中具有如此重要的意義。 0 ( ) t t ()X j 0 ( ) t ( )h t( ) t 1 4.1 非周期信號的表示 非周期信號的表示

11、1414 例例4.4.求矩形脈沖的傅里葉變換: 1 1 1, ( ) 0, tT x t tT 。 1 1 1111 111 1 22 ()2()2() T j t T Sin TTSin TT X jedtTSaTTSinc T 解： 將 中的 代之以 再乘以 ,即是相應(yīng)周期信號的頻譜。()X j 0 k 0 1 T 0111 01 0001 22 () k SinkTTT aSa kT TTkT ( )x t t 1 T 1 T 1 0 ( )x t t 1 2T 1 2T 1 0 ()X j 0 1 T 1 2T 1 2T ()X j 1 2 T 1 4T 脈寬變寬時(shí) 4.1 非周期信號

12、的表示 非周期信號的表示 1515 例例5.理想低通濾波器 ()X j WW 1 0 ( )x t t W 0 W 1 ( )()() 2 W j t W SinWtWWWt x te dSaWtSinc t 1 ( )() 2 j t x tX jed 解：由 1, () 0, W X j W ，求其時(shí)域表達(dá)式。 4.1 非周期信號的表示 非周期信號的表示 1616 4.1 非周期信號的表示 非周期信號的表示 結(jié)論：信號在時(shí)域和頻域之間有相反關(guān)系結(jié)論：信號在時(shí)域和頻域之間有相反關(guān)系, ,即信號即信號 在時(shí)域脈沖越窄在時(shí)域脈沖越窄, ,則其頻譜主瓣越寬則其頻譜主瓣越寬, ,反之亦然。反之亦然。

13、 對偶情況如下圖所示對偶情況如下圖所示: : 1717 分析：分析：1 1）不滿足收斂條件，不能由傅立葉變換公式求；）不滿足收斂條件，不能由傅立葉變換公式求； 2 2）該信號在時(shí)域持續(xù)無限長，根據(jù)上例，在頻域）該信號在時(shí)域持續(xù)無限長，根據(jù)上例，在頻域 可能無限窄，即傅立葉變換可能是沖激信號；可能無限窄，即傅立葉變換可能是沖激信號； 3 3）用頻域的一個(gè)沖激信號）用頻域的一個(gè)沖激信號 ，求對應(yīng)時(shí)域信號。，求對應(yīng)時(shí)域信號。 可以想象，如果 ， 將趨向于一個(gè)沖激；反之時(shí) 域無限長時(shí)，頻域可能是個(gè)沖激。 例例6 6：求 的傅立葉變換 。 1x t Xj 11 22 j t x ted 12 FT x

14、t 1 2 FT 1 ( )() 2 j t x tX je d 解：由傅氏反變換公式：，的時(shí)域信號為: 4.1 非周期信號的表示 非周期信號的表示 1818 4.24.2周期信號的傅立葉變換周期信號的傅立葉變換 周期信號不滿足收斂條件, 不能用4.1節(jié)非周期信 號的傅立葉變換公式求其傅里葉變換。 但是周期信號在時(shí)域的持續(xù)時(shí)間是無限長的，那么 其頻域可能是一系列的沖激，而原點(diǎn)處的沖激對應(yīng)的是 常數(shù)（課件4.1節(jié)例6所示），所以這里觀察頻移的沖激 對應(yīng)的時(shí)域信號。 0 2 1919 頻移的沖激信號： 傅立葉反變換得： tjtj edetx 0 0 2 2 1 0 2jX 表明：周期性復(fù)指數(shù)信 號

15、的頻譜是一個(gè)沖激。 0 0 2 F jkt ek 0 0 ( )2() F jkt kk kk x ta eak 即周期信號的傅立葉變換為：即周期信號的傅立葉變換為： 0 ()2() k k Xjak 這表明這表明, ,周期信號的傅立葉變換由一系列沖激組成周期信號的傅立葉變換由一系列沖激組成, ,每一個(gè)沖激分別每一個(gè)沖激分別 位于信號各次諧波的頻率處位于信號各次諧波的頻率處, ,其強(qiáng)度正比于傅立葉級數(shù)系數(shù)其強(qiáng)度正比于傅立葉級數(shù)系數(shù) 。 k a 0 0 2 F jt e 4.2周期信號的傅立葉變換 周期信號的傅立葉變換 2020 例例1 1： 00 0 1 ( ) 2 jtjt x tSinte

16、e j 00 () ()()X j j ()X j 0 0 j j 0 求周期信號 解解： 的傅里葉變換。 0 ()2() k k X jak 代入周期信號的傅立葉變換公式： 4.2周期信號的傅立葉變換 周期信號的傅立葉變換 1-1 11 ( )=0 22 kk - x taaaa jj 的頻譜系數(shù) 為：，其他 例例2.2. 00 0 1 ( )cos 2 jtjt x ttee 求 1-1 1 =0 2 k a aa，其他，則 00 () ()()X j 的傅立葉變換。 解解： ()X j 0 0 0 例例2.2. 00 0 1 ( )cos 2 jtjt x ttee 求 的傅立葉變換。

17、例例2.2. 2121 例例3.3.( )() n x ttnT 求的傅立葉變換。 2 22 22 111 ( )( ) TT jkt T k TT at edtt dt TTT 解： 22 ()() k X jk TT 0 ()2() k k X jak 4.2周期信號的傅立葉變換 周期信號的傅立葉變換 2222 例例4.4.周期性矩形脈沖的傅里葉變換。周期性矩形脈沖的傅里葉變換。 0 ()2() kk k X jaka 解：由，先求 4.2周期信號的傅立葉變換 周期信號的傅立葉變換 2323 周期信號的傅立葉變換存在條件： 周期信號不滿足無窮時(shí)間內(nèi)的絕對可積條件； 引入沖激信號后，周期信號

18、的傅立葉變換是存在的； 周期信號的頻譜是離散的，其頻譜密度，即傅立葉變 換是一系列沖激。 4.2周期信號的傅立葉變換 周期信號的傅立葉變換 2424 4.3 4.3 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換的性質(zhì)連續(xù)時(shí)間傅立葉變換的性質(zhì) 討論連續(xù)時(shí)間傅立葉變換的性質(zhì), 揭示信號時(shí)域、頻域特 性間的關(guān)系,同時(shí)掌握和運(yùn)用這些性質(zhì)，以簡化傅立葉變換對 的求取。 j j FF x tXy tY 一一. .線性線性 如果 jb j b YaXtytax 則 二二. .時(shí)移時(shí)移 jXtx如果 0 0 t eXttx j j 則 表明：信號的時(shí)移只影響表明：信號的時(shí)移只影響 它的相頻特性，其相頻特它的相頻特性，其相頻特 性會(huì)增加

19、一個(gè)線性相移。性會(huì)增加一個(gè)線性相移。 4.3 連續(xù)時(shí)間 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換傅立葉變換性質(zhì)性質(zhì) 2525 三三. .共軛對稱性共軛對稱性 , jXtx 如果 j- Xtx 則 證明： j dtetxX tj dtetxdtetxX tjtj j 1. 若 tx 是實(shí)信號， txtx txFdtetxX tj j- 即得證。 則 jj-XX 兩邊同取共軛 在上述結(jié)論的基礎(chǔ)上，有如下推論： 4.3 連續(xù)時(shí)間 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換傅立葉變換性質(zhì)性質(zhì) 2626 用直角坐標(biāo)表示實(shí)信號頻譜 jImjRejXjXX j-Rej-RejReXXX 實(shí)部偶函數(shù) j-Imj-ImjImXXX 虛部奇函數(shù) 用極坐標(biāo)表示

20、實(shí)信號頻譜： j jj Xj eXX 則由 j-j-jXXX jj-XX 由由，傅里葉變換的實(shí)部和虛部分別為： jj-XX 得 j-j-j XXX 即相位是奇函數(shù) 即模是偶函數(shù) jX 4.3 連續(xù)時(shí)間 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換傅立葉變換性質(zhì)性質(zhì) 2727 2. 若 txtx信號是實(shí)偶函數(shù)，則 jdtetxX tj j- Xdexdtetx jtj 表明：偶信號的傅里葉變換是偶函數(shù) 對實(shí)信號j j- XX j X是關(guān)于的實(shí)偶信號 結(jié)論：實(shí)偶信號的傅里葉 變換是實(shí)偶函數(shù) 3. 若 txtx信號是實(shí)奇函數(shù)，則其傅里葉變換有 ()()X jXj * ()()X jXj 結(jié)論：實(shí)奇信號的傅里葉 變換是純虛的奇

21、函數(shù) 對偶函數(shù) 4.3 連續(xù)時(shí)間 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換傅立葉變換性質(zhì)性質(zhì) j -jXX 2828 4. 若實(shí)函數(shù)用奇、偶函數(shù)之和表示( )( )( ) eo x tx tx t 由傅里葉變換的線性： 對偶函數(shù)部分： 傅里葉變換是一個(gè)實(shí)數(shù) 對奇函數(shù)部分： 傅里葉變換是一個(gè)純虛的奇函數(shù) 且有 且有 jjj oe XXX j ee Xtx jRejXXe jImjXjXo j oo Xtx 4.3 連續(xù)時(shí)間 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換傅立葉變換性質(zhì)性質(zhì) 2929 例:求 的頻譜。 ( )u t ( )( )( ) eo u tu tu t 0 1 ( ) 2 1 ( )( ) 2 e u t u tSgn t

22、 ， 1 0 ( )u t t 1/2 0 ( ) e u t t -1/2 1/2 0 ( ) o u t t 0 ( ) 0 t t et f t et (其中0) 提示：符號函數(shù)sgn(t) 可看作 是下述函數(shù)在取極限趨近0時(shí) 的一個(gè)特例: 4.3 連續(xù)時(shí)間 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換傅立葉變換性質(zhì)性質(zhì) 解： 3030 解:實(shí)部的傅里葉變換為： 由于 虛部傅里葉變換為： 信號的傅里葉變換為： 4.3 連續(xù)時(shí)間 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換傅立葉變換性質(zhì)性質(zhì) 3131 四四. .時(shí)域微分與積分時(shí)域微分與積分 ()()x tX j ( ) () dx t jXj dt 時(shí)域微分特性時(shí)域微分特性 (提示： 1

23、( )() 2 j t x tX jed 兩邊對 微分) t 例：例：已知 由時(shí)域積分特性可得 ( )u t 1 ( )()(0)() t xdXjX j 時(shí)域積分特性時(shí)域積分特性 若 則 1t 1 dtettF tj 提示： 4.3 連續(xù)時(shí)間 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換傅立葉變換性質(zhì)性質(zhì) 1 () j 3232 五五. .時(shí)域和頻域的尺度變換時(shí)域和頻域的尺度變換 若( )()x tXj則 1 ()()x atX j aa 當(dāng) 時(shí),有 1a ( )()xtXj 尺度變換特性表明：信號如果在時(shí)域擴(kuò)展 a 倍，則其 頻域帶寬相應(yīng)壓縮 a 倍，反之,信號在時(shí)域中壓縮a倍，則 其帶寬相應(yīng)擴(kuò)展a 倍。其含義：信

24、號的波形在時(shí)域中壓縮a 倍，即信號隨時(shí)間變化加快a倍，所以它包含的頻率分量增 加a倍，所以頻譜展寬a倍。 從理論上證明了時(shí)域與頻域的相反關(guān)系。 4.3 連續(xù)時(shí)間 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換傅立葉變換性質(zhì)性質(zhì) 3333 時(shí)域中的壓縮（擴(kuò)展）等于頻域中的擴(kuò)展（壓縮） 4.3 連續(xù)時(shí)間 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換傅立葉變換性質(zhì)性質(zhì) 3434 六六. .對偶性對偶性 -xjtX2若若( )()x tXj則則 證明證明 4.3 連續(xù)時(shí)間 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換傅立葉變換性質(zhì)性質(zhì) 3535 jF jF 4.3 連續(xù)時(shí)間 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換傅立葉變換性質(zhì)性質(zhì) 3636 由對偶關(guān)系，可以方便地將時(shí)域的某些特征對偶到頻域。 例如：

25、從時(shí)移到移頻。 由對偶性質(zhì) j 2- x tX X jtx ; e- 0 t-j xttjX2 0 右邊時(shí)移得 再次對偶得 0 22x tX j 0 -j t - e ； 由反轉(zhuǎn)性質(zhì) j - ;x tXx tXj 0 j t 0 ex tX j 這就是移頻特性。 4.3 連續(xù)時(shí)間 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換傅立葉變換性質(zhì)性質(zhì) 3737 七七. . 帕斯瓦爾定理帕斯瓦爾定理 若 , jXtx則則 表明：信號能量既可以在時(shí)域求得，也可以在頻域求得。表明：信號能量既可以在時(shí)域求得，也可以在頻域求得。 2 jX表示了信號能量在頻域的分布，因而稱其為表示了信號能量在頻域的分布，因而稱其為“能量能量 譜密度譜密度

26、”函數(shù)。函數(shù)。 4.3 連續(xù)時(shí)間 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換傅立葉變換性質(zhì)性質(zhì) 3838 4.4 卷積性質(zhì) jXjXtxtx jXtxjtx 2121 2211 ,X)( 證明：設(shè) dtxxtxtxty 2121 dtedtxxdtetytyF tjtj 21 一一. . 卷積性質(zhì)卷積性質(zhì) 12 j t xx tedtd 交換積分次序 則 jXjXdexjX j 1212 得證 12 j xX jed 3939 可以看出，頻率響應(yīng)控制著在每一個(gè)頻率 上，輸入 傅里葉變換復(fù)振幅的變化。 例如頻率選擇性濾波器，在一定的頻率范圍內(nèi)， 從而通帶內(nèi)的各頻率分量通過系統(tǒng)后，其分量不被衰減或變 換；在阻帶使 ,以消

27、除該頻率范圍內(nèi)分量。 x th tX jH j 由卷積性質(zhì)， j t Hjh t edt 系統(tǒng)頻率響應(yīng): 1jH 0jH 4.4 卷積性質(zhì) 卷積性質(zhì) Y j y t 4040 用傅里葉分析法研究LTI系統(tǒng)時(shí)， 一般僅限于穩(wěn)定系 統(tǒng)，因?yàn)榉€(wěn)定系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 才存在。 ()Hj 二二. . 系統(tǒng)互聯(lián)時(shí)的頻率響應(yīng)系統(tǒng)互聯(lián)時(shí)的頻率響應(yīng): : 1. 級聯(lián) 12 ( )( )*( )h th th t 12 ()()()H jHjHj 1( )Hj 2( )Hj 1( ) h t 2( ) h t 對不穩(wěn)定系統(tǒng)的研究，在9章用拉普拉斯變換法討論。 4.4 卷積性質(zhì) 卷積性質(zhì) 2.并聯(lián): 12 ( )( )

28、( )h th th t 12 ()()()H jHjHj 2( )Hj 1( )Hj + + 4141 三三. LTI. LTI系統(tǒng)的頻域分析法系統(tǒng)的頻域分析法: : j t H jh t edt 4.4 卷積性質(zhì) 卷積性質(zhì) ()()()Y jX jH j 已知任意兩個(gè)，可求第三個(gè)量，然后反變換求其時(shí)域表達(dá)。 例例1515.已知LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為 求已 知輸入為 時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng) 。 0 ,h tt t x t 解：解： 0 j t tt edt 0 j t e 0 j t Y jX jH jX je 1 0 y tFY jx t t 例例1616.已知微分系統(tǒng) ，求系統(tǒng)頻率響應(yīng) Y j

29、 Y jj X jH j X j .H j ( ) () dx t j X j dt 解：解：由微分性質(zhì) dx t y t dt y t 4242 例例1717.已知積分系統(tǒng) ，求系統(tǒng)頻率響應(yīng)。 4.4 卷積性質(zhì) 卷積性質(zhì) t y tx t dt 解：解：由積分性質(zhì) 1 ( )()(0) () t xdXjX j 11 ()(0) ( ) ( ) Y j Y jX jXH j jX jj 例例1919.已知輸入 和單位沖激響應(yīng) 求輸出。 解解: ,0 bt x te u t b ,0 at hte u t a 11 , FTFT btat x te u th te u t bjaj 1 ()Y

30、 jX jH j bjaj 111 b a a jb j 1 atat y t e u te u t b a 例例4.184.18參看書參看書P225P225 4343 卷積性質(zhì)： 時(shí)域卷積-頻域相乘 利用對偶性：利用對偶性：時(shí)域相乘時(shí)域相乘-頻域卷積頻域卷積 4.5 相乘性質(zhì): (調(diào)制性質(zhì)) jXjXtxtx jXtxjtx 2121 2211 2 1 ,X)( 相乘性質(zhì)相乘性質(zhì) 幅度調(diào)制：幅度調(diào)制：兩個(gè)信號在時(shí)域相乘，可以看成是由一個(gè)信號 控制另一個(gè)信號的幅度。 其中一個(gè)信號為載波載波，另一個(gè)是調(diào)制信號調(diào)制信號（有用信號）。 4444 jXtxjtx 2211 ,X)( 2211 22xj

31、tXxjtX , 21 2 21 4xxjtXjtX 證明：已知 根據(jù)對偶性 由卷積性質(zhì)得 再次由對偶性 相乘性質(zhì)得證。 - jxjtXXtx2 4.5 相乘性質(zhì) 相乘性質(zhì): (調(diào)制性質(zhì)調(diào)制性質(zhì)) 兩邊同除以 ，并由反轉(zhuǎn)性質(zhì)可得 2 4 4545 例例1.1.復(fù)指數(shù)調(diào)制復(fù)指數(shù)調(diào)制 00 0 ( )X,2 ( ) jtjt x tjex t e ，求頻譜。 例例2.2. 正弦幅度調(diào)制，正弦幅度調(diào)制，其中 解： 正弦幅度調(diào)制，等效于在頻域?qū)⒄{(diào)正弦幅度調(diào)制，等效于在頻域?qū)⒄{(diào) 制信號的頻譜搬移到載頻位置。制信號的頻譜搬移到載頻位置。 求調(diào)制后信號 的頻譜。 )()()(tptstr 00 2 1 jS

32、jR 00 2 1 2 1 jSjS 由 000 tFjPcos)( 4.5 相乘性質(zhì) 相乘性質(zhì): (調(diào)制性質(zhì)調(diào)制性質(zhì)) 0 00 ( )X* 2 =X jt x t ejj 解： 4646 例例3.3. 同步解調(diào)。從上例 中恢復(fù)出原信號 。頻域?yàn)V波 00 2 1 2 1 jSjSjR 0000 111 222 S jS j 解：已知 這里用正弦信號再次調(diào)制： 000 2 1 jRttrcos 000 tF cos tr ts 4.5 相乘性質(zhì) 相乘性質(zhì): (調(diào)制性質(zhì)調(diào)制性質(zhì)) 00 2 4 1 2 4 1 2 1 jSjSjS 4747 其中 用一個(gè)頻率特性為 的系 統(tǒng)，即可從 恢復(fù)出原信號

33、。 jH tr 1 2 R jP j 4.5 相乘性質(zhì) 相乘性質(zhì): (調(diào)制性質(zhì)調(diào)制性質(zhì)) 4848 例例4.4.中心頻率可變的帶通濾波器。 1 X2 2 X c c Y jj j tf 1 W2 2 W c c F jj j e c jt c -j e t c t 2 e c j c 0 0 1 0 0 0 0 理想低通濾波器 4.5 相乘性質(zhì) 相乘性質(zhì): (調(diào)制性質(zhì)調(diào)制性質(zhì)) 4949 相當(dāng)于直接用一個(gè)帶通濾波器，從 中濾出 的頻率。表明整個(gè)系統(tǒng)相當(dāng)于一個(gè)中心頻率為 的 帶通濾波器，改變 即可實(shí)現(xiàn)中心頻率可變。 jX c c 0 c c 0 c 等效帶通濾波器等效帶通濾波器 4.5 相乘性質(zhì) 相乘性質(zhì): (調(diào)制性質(zhì)調(diào)制性質(zhì)) 4.6 4.6 傅立葉變換性質(zhì)與傅立葉變換對列表傅立葉變換性質(zhì)與傅立葉變換對列表 (P234)(P234) 5050 5151 5252 4.7 由線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng) k k M k k k k N k k dt txd b dt tyd a 00 線性常系數(shù)微分方程描述的LTI系統(tǒng)： 如何從上述微分