1、數學建模中的灰色方法 在數學建模的過程中，常常遇到一些諸如：人 口模型、全國的物資調運、運輸、生產銷售等問 題，其中有許多信息都無法確定，要建立這樣的 模型很困難。 現有的系統分析方法量化分析方法，大都是 數理統計方法但這種方法多用于少因素的、線性 的情形。對于多因素的、非線性的則難以處理。 針對這些不足，鄧聚龍教授創立了一種就數找 數的方法，即灰色系統生成法。創立灰色系統的 學科體系和灰色系統“概念與公理體系”，提出 灰生成空間、灰關聯空間理論、灰建模理論并創 立灰預測理論及方法體系。 一、灰色系統 .定義：系統作為一個包含若干相互關聯、相互制約的 任意種類元素組成的具有某種特定功能的整體。

2、系 統內部存在有物質流、信息流、能量流。 系統 （根據信息明確程度） 黑色系統 （信息毫無所知 或知之甚少） 灰色系統 （既含有已知信息 又有未知信息） 白色系統 （信息完全明確） （一）灰色系統公理： 1.信息不完全、不確定的解是非唯一的；（解的非唯一性原理） 2.信息是認識的根據；（認識根據原理） 3.灰色系統理論的特點是充分開發利用已占有的“最小信息”； （最小信息原理） 4.新信息對認識的作用大于老信息；（新信息優先原理） （二）灰色系統的描述： 灰色系統用灰色參數、灰色方程、灰色矩陣、灰色度等綜 合描述，其中灰數是灰色系統的基本單元。 1.灰色參數（灰數） 灰數是那些只知道大概范圍而

3、不知其確切值的數 （只知道部分數學特征，而不知道具體數值的參數）。 例如：“某人的身高約為170cm、體重大致為60kg”， 這里的“（約為）170（cm）”、“60”都是灰數， 分別記為 、 。又如，“那女孩身高在157 160cm之間”，則關于身高的灰數 。 記為灰數的白化默認數，簡稱白化數白化數。在灰色系 統理論中，把隨機變量看成灰數，即是在指定范圍內 變化的所有白色數的全體。如代購一件價格為100元 左右的衣服，100可作為預購衣服價格的白化值。 灰數有離散灰數（ 屬于離散集）和連續灰數 （ 屬于某一區間）。 160,157)( h 17060 2.灰色代數方程含有灰色系數的代數方程

4、如： 灰色微分方程為含有灰色導數或灰色微分的 方程，如 3.灰色矩陣行列數確知而含有灰元的矩陣 若在A的m*n個元素中，有N個灰色元素，則 可以用d表示這一矩陣的灰色度 03 x032 2 xx )( )( tbxa dt tdx nm N d 二、灰色生成數列 灰色系統理論認為，盡管客觀表象復雜， 但總是有整體功能的，因此必然蘊含某種內 在規律。關鍵在于如何選擇適當的方式去挖 掘和利用它。灰色系統是通過對原始數據的 整理來尋求其變化規律的，這是一種就數據 尋求數據的現實規律的途徑，即為灰色序列 的生成。一切灰色序列都能通過某種生成弱 化其隨機性，顯現其規律性。數據生成的常 用方式有累加生成、

5、累減生成和加權累加生 成。 （1）累加生成 把數列各項（時刻）數據依次累加的過程稱為累加生 成過程（AGO ）。由累加生成過程所得的數列稱為累加 生成數列。 設原始數列為 ，令 稱所得到的新數列 為數列 的1次累加生成數列。類似地有 稱為 的r次累加生成數列。 )(,),2(),1 ( )0()0()0()0( nxxxx , 2 , 1, )()( 1 )0()1( nkixkx k i )(,),2(),1 ( )1()1()1()1( nxxxx )0( x 1, 2 , 1, )()( 1 )1()( rnkixkx k i rr )0( x （2）累減生成 對于原始數據列依次做前后相

6、鄰的兩個數據相減的運算 過程稱為累減生成過程IAGO。如果原始數據列為 令 稱所得到的數列 為 的1次累減生成數列。 注：從這里的記號也可以看到，從原始數列 ，得到新數 列 ，再通過累減生成可以還原出原始數列。實際運用 中在數列 的基礎上預測出 ，通過累減生成得到預 測數列 。 )(,),2(),1( )1()1()1()1( nxxxx , 3 , 2),1()()( )1 ()1 ()0( nkkxkxkx )0( x )1( x )0( x )1( x )1( x )1( x )0( x （3）加權鄰值生成 設原始數列為 稱 為數列 的鄰值。 為后鄰值， 為前鄰值，對于常 數 ，令 由此

7、得到的數列 稱為數列 在權 下的鄰值生 成數，權 也稱為生成系數。 特別地，當生成系數 時，則稱 為均值生成數，也稱等權鄰值生成數。 )(,),2(),1 ( )0()0()0()0( nxxxx )(),1( )0()0( kxkx )0( x ) 1( )0( kx )( )0( kx 1 , 0 , 3 , 2),1()1 ()()( )0()0()0( nkkxkxkz )0( z )0( x 5 . 0 , 3 , 2),1(5 . 0)(5 . 0)( )0()0()0( nkkxkxkz 灰色系統理論的主要方法 關聯度分析法最基本的方法（一個由眾 多因素構成的系統中哪些因素對系統

8、的影 響大/中/小？） 基于白化權函數的灰色統計和灰色聚類法。 灰色預測法（如GM（1，1）。 灰色決策。 灰色優化技術（如灰色規劃等）。 三、灰色預測模型GM(m,n) 灰色系統理論是基于關聯空間、光滑離散函數等概念定義 灰導數與灰微分方程，進而利用離散數據列建立微分方程 形式的動態模型，稱為灰色模型（GM）。 灰色預測是應用灰色模型GM對灰色系統進行分析、建模、 求解、預測的過程。由于灰色建模理論應用數據生成手段， 弱化了系統的隨機性，使紊亂的原始序列呈現某種規律， 規律不明顯的變得較為明顯，建模后還能進行殘差辨識， 即使較少的歷史數據，任意隨機分布，也能得到較高的預 測精度。因此，灰色預

9、測在社會經濟、管理決策、農業規 劃、氣象生態等各個部門和行業都得到了廣泛的應用 (一)GM（1，1）模型 設 為原始數列，其1次累加生 成數列為 ，其中 定義 的灰導數為 令 為數列 的鄰值生 成數列，即 于是定義GM（1，1）的灰微分方程模型為 )(,),2(),1 ( )0()0()0()0( nxxxx )(,),2(),1 ( )1()1()1()1( nxxxx , 2 , 1, )()( 1 )0()1( nkixkx k i )1( x ).1()()()( )1()1()0( kxkxkxkd )(,),3(),2( )1()1()1()1( nxxxz )1( x ),1()

10、1 ()()( )1()1()1( kxkxkz ,)()( )1( bkazkd 即或 （1） 在式（1）中， 稱為灰導數，a稱為發展系數， 稱為 白化背景值，b稱為灰作用量。 將時刻表 代入（1）式有 引入矩陣向量記號： 數據向量 參數向量 數據矩陣 ,)()( )1()0( bkazkx )( )0( kx)( )1( kz nk, 3 , 2 ,)()( ,)3()3( ,)2()2( )1()0( )1()0( )1()0( bnaznx bazx bazx )( )3( )2( )0( )0( )0( nx x x Y b a u 1)( 1)3( 1)2( )1( )1( )1(

11、 nz z z B 于是GM（1，1）模型可表示為 現在問題歸結為求a,b在值。用一元線性回歸，即最小二乘法求它 們的估計值為 注：實際上回歸分析中求估計值是用軟件計算的，有標準程序求 解，如matlab等。 GM（1，1）的白化型 對于GM（1，1）的灰微分方程（1），如果將灰導數 的時 刻 視為連續變量t，則 視為時間t函數 ， 于是 對應于導數量級 ，白化背景值 對應于導數 。于是GM（1，1）的灰微分方程對應于的白 微分方程為 （2） . uYB .)( 1 YBBB b a u TT )( )0( kx nk, 3 , 2 )1( x )( )1( tx )( )0( kx dt t

12、dx)( )1( )( )1( kz )( )1( tx ,)( )( )1( )1( btax dt tdx （二）GM（1，1）灰色預測的步驟 1.數據的檢驗與處理 為了保證GM（1，1）建模方法的可行性，需要對已知數 據做必要的檢驗處理。 設原始數據列為了 ， 計算數列的級比 如果所有的級比都落在可容覆蓋區間 內，則數據列 可以建立GM（1，1）模型且可以進行灰 色預測。否則，對數據做適當的變換處理，如平移變換： 取C使得數據列 的級比都落在可容覆蓋內。 )(,),2(),1 ( )0()0()0()0( nxxxx ., 3 , 2, )( ) 1( )( )0( )0( nk kx

13、kx k ),( 1 2 1 2 nn eeX )0( x , 2 , 1,)()( )0()0( nkckxky 2. 建立GM（1，1）模型 不妨設 滿足上面的要 求，以它為數據列建立GM（1，1）模型 用回歸分析求得a,b的估計值，于是相應的白化模型為 解為 （4） 于是得到預測值 從而相應地得到預測值： )(,),2(),1 ( )0()0()0()0( nxxxx ,)()( )1()0( bkazkx ,)( )( )1( )1( btax dt tdx .) 1 ()( )1()0()1( a b e a b xtx ta , 1, 2 , 1,) 1 () 1( )0()1(

14、nk a b e a b xkx ak , 1, 2 , 1),() 1() 1( )1()1()0( nkkxkxkx 3. 檢驗預測值 （1）殘差檢驗：計算相對殘差 如果對所有的 ，則認為達到較高的要求：否則，若 對所有的 ，則認為達到一般要求。 （2）級比偏差值檢驗：計算 如果對所有的 ，則認為達到較高的要求；否則 若對所有的 ，則認為達到一般要求。 , 2 , 1, )( )()( )( )0( )0()0( nk kx kxkx k 1 . 0| )(|k 2 . 0| )(|k ),( 5 . 01 5 . 01 1)(k a a k 1 . 0| )(|k 2 . 0| )(|k

15、 四、應用舉例 SARS疫情對某些經濟指標的影響問題 1.問題的提出 2003年的SARS疫情對中國部分行業的經濟發展 產生了一定的影響，特別是對部分疫情較嚴重的省市 的相關行業所造成的影響是明顯的，經濟影響主要分 為直接經濟影響和間接影響，直接經濟影響涉及商品 零售業、旅游業、綜合服務業等。很多方面難以進行 定量地評估，現僅就SARS疫情較嚴重的某市商品零 售業、旅游業、綜合服務業的影響進行定量的評估分 析。 究竟SARS疫情對 商品零售業、旅游業、 綜合服務業的影響有 多大,已知某市從1997 年1月到2003年12月 的商品零售額、接待 旅游人數、綜合服務 收入的統計數據如圖: 2.模型

16、分析 根據所掌握的歷史統計數據可以看出，在正常情況下，全 年的總和（或平均值）較好地反映了相關指標的變化規律。 從而我們把預測分成兩部分：利用灰色理論建立GM(1,1)模 型，由19972002年的各年度總和值預測2003年的年度總 和值；再通過歷史數據計算每個月的指標值與全年總和的 關系，就可以預測出2003年每個月的指標值。 假設： (1) 假設所給的統計數據可靠、準確的； (2)假設該市在SARS疫情流行期間和結束之后，數據的變化 只與SARS疫情的影響有關，不考慮其他隨即因素的影響。 3.建立灰色預測模型GM(1,1) 由已知數據，對于19972002年某項指標記為矩陣 計算每年的總和

17、，記為 檢驗比 （都符合要求）。對 作一次累加得數列 ，再作 的 鄰值加權平均，得數列 ，即 為確定參數，得到GM(1,1)的白化微分方程模型為 其中參數由灰微分方程 確定。 126 )( ij aA )6(,),2(),1 ( )0()0()0()0( xxxx )3307. 1 ,7515. 0(),()6 , 3 , 2( )( ) 1( )( 1 2 1 2 )0( )0( nn eek kx kx k )0( x )1( x )1( x ),( )6()2()1()1( zzzz ),1()1 ()()( )1()1()1( kxkxkz ,)( )( )1 ( )1 ( btax

18、dt tdx 6 , 3 , 2,)()( )1()0( kbkazkx 根據系數可求得白化微分方程的解： 故相應地可以求出 即得到2003年的年度總和值 。再根據歷史數據，統計出第 個月的指標值占全年總和值的比例 ，即 于是2003年的每個月的指標值(預測值)為 .) 1 ()( )1()0()1( a b e a b xtx ta ).)() 1 ()() 1() 1( )1()0()1()1()0( kaak ee a b xkxkxkx )7( )0( x j j v .12, 2 , 1, )( 6 1 )0( 6 1 6 1 12 1 6 1 j ix a a a v i i ij

19、 ij ij i ij j ).()7( )0( jvx 4.模型求解 (1)商品零售額 由題目所給數據計算得 計算表明 的所有級比都再可容覆蓋區間內。經計算，當 時，殘差檢驗中的相對誤差的絕對值之和最小，用 GM(1,1)模型計算得, 2003年的年度商 品零售額總和為 。 計算得各月的比例為 (0.0794,0.0807,0.0749,0.0786,0.0819,0.0818,0.0845,0.0838, 0.0872,0.0886,0.0866,0.0920) 因此2003年的各月的商品零售額的預測值為 (153.3065 155.8166 144.6178 151.7618 158.1335 157.9404 163.1536 161.8021 168.3668 171.0700 167.2083 177.6347) )9 .1744, 7 .1593,1421, 7 .130