1、1、已知函數 f(x)=(2x2 -xkxk) e( ) 當 k 為何值時， f (x ) 無極值； ( ) 試確定實數 k 的值，使 f ( x) 的極小值為 02、已知函數 f (x) ax ln x (a R) .( ) 若 a 2，求曲線 y f (x) 在 x 1處切線的斜率； ( ) 求 f (x) 的單調區間；（）設2g (x) x 2x 2 ，若對任意 x1 (0, ) ，均存在 x2 0,1 ，使得 f (x1) g (x2) ，求 a 的取值范圍.3、設函數x 1f x x ae 。（I ）求函數 f x 單調區間； （II ）若 f x 0對x R 恒成立，求 a 的取值

2、范圍；a a a（III ）對任意 n 的個正整數 1 2na1,a2 ,a A記 nn（1）求證：aai1i A 1,2,e i nA（2）求證： A n a1a2 ana a 13 24、已知函數 x x b f ( x) x ，其中 a,b R3 2（）若曲線 y f (x) 在點 P( 2, f (2) 處的切線方程為 y 5x 4，求函數 f (x) 的解析式；（）當 a 0時，討論函數 f (x) 的單調性5、已知函數2 xf (x) ( ax 2x 1) e (a R，e 為自然對數的底數 ).(I) 當時，求函數 f (x) 的極值；( ) 若函數 f (x) 在-1 ，1 上

3、單調遞減，求 a 的取值范圍6、已知函數2 xf (x) (x 3x 3) e ，設 t 2 , f ( 2) m, f (t) n .（）試確定 t 的取值范圍 , 使得函數 f (x) 在 2,t 上為單調函數；（）試判斷 m, n 的大小并說明理由；（）求證：對于任意的 t 2 , 總存在 x0 ( 2,t ) ，滿足f (x ) 20xe032(t 1), 并確定這樣的 x0 的個數 .7、已知函數2f (x) ln x ax (a 2)x（）若 f (x) 在 x 1處取得極值，求 a 的值；（）求函數 y f (x) 在2a ,a 上的最大值8、已知函數2 1 2f (x) (ax

4、 x )ln x ax x . (a R) .2（I ）當 a 0時，求曲線 y f (x) 在(e, f (e) 處的切線方程（ e 2.718.）；（II ）求函數 f (x) 的單調區間 .9、已知函數 f (x) (1 a )ex (x 0)x，其中 e 為自然對數的底數 .（）當 a 2時，求曲線 y f ( x) 在(1, f (1)處的切線與坐標軸圍成的面積；（）若函數 f ( x) 存在一個極大值點和一個極小值點，且極大值與極小值的積為5e ，求 a 的值.33 a x x210、已知函數 ( 2) 6 3f ( x) ax . 2（1）當 a 1時，求函數 f (x) 的極小

5、值；（2）試討論曲線 y f (x)與 x 軸的公共點的個數。11、已知函數xf x e ， g x ax 1（a 是不為零的常數且 a R ）。（1）討論函數 F x f x g x 的單調性；（2）當 a 1時，方程 f x g x t 在區間 1,1 上有兩個解，求實數 t 的取值范圍；（ 3 ） 是 否 存 在 正 整 數 N ， 使 得 當 n N 且 n N 時 ， 不 等 式1 1 1f 1 f f L f n 2011 恒成立，若存在，找出一個滿足條件的 N ，并證明；2 3 n若不存在，說明理由。12、設函數 f (x) ax (a 1)ln( x 1)(a 1).（1）求

6、f (x) 的單調區間；（2）當 a 0時，設 f (x) 的最小值為 g(a),若g( a) t 恒成立，求實數 t 的取值范圍。13、設函數 f ( x)=ax3-( a+b) x2+bx+c，其中 a0，b，cR(1) 若 (1)f =0，求函數 f ( x) 的單調增區間；3(2) 求證：當 0x1 時，| f (x) | max f (0), f (1) ( 注：maxa，b 表示 a，b 中的最大值 )214、已知函數 ( ) ln 1 1f x .p x p x（）討論函數 f (x) 的單調性；（）當 p 1時， f (x) kx 恒成立，求實數 k 的取值范圍；（）證明：1

7、1 1*ln( n 1) 1 (n N ). 2 3 n15、已知 f (x) 是二次函數， f ( x) 是它的導函數，且對任意的 x R ，2f (x) f (x 1) x 恒成立( ) 求 f ( x) 的解析表達式；( ) 設t 0，曲線 C ： y f (x) 在點 P(t , f (t ) 處的切線為 l ， l 與坐標軸圍成的三角形面積為 S(t) 求S(t) 的最小值16、設函數2f (x) x aln x 與1g( x) x x a的圖象分別交直線 x 1 于點 A，B，且曲線 y f ( x) 在點 A處的切線與曲線 y g( x) 在點 B 處的切線平行。（1）求函數 f

8、 ( x), g( x) 的表達式；（2）當 a 1時，求函數 h( x) f (x) g( x) 的最小值；（3）當1a 時，不等式 f (x) m g (x) 在21 1x , 上恒成立，求實數 m 的取值范圍。4 2函數與導數解答題1、解：（I ）x x2 kx k ef ( x) (4x k)e (2 )( 1)x=k2 3 分x x e x2x (4 k)x 2ke 2(x )( 2)2k x x e f x2 x4 f 0, ( )時， ( ) ( 2) 在 R上單調遞減，所以， f(x) 無極值 6 分k k x e x（II ）當 k 4時，令 )( 2) 0f (x) 2(x

9、 ，得 x1 , x 222 2k（1） k4 時， 22，有令 f (2) 0 ，得 k=8 所以，由（ 1）（2）知， k=0 或 8 時， f (x) 有極小值 02、解：( ) 由已知 f (x) 2 1 (x 0)xf (1) 2 1 3 .，2 分故曲線 y f (x) 在 x 1處切線的斜率為 3. 4 分( ) 1 ax 1f ( x) a (x 0) x x. 5 分當 a 0 時，由于 x 0，故 ax 1 0 ， f (x) 0所以， f ( x) 的單調遞增區間為 (0, ) . 6 分當 a 0 時，由 f (x ) 0 ，得x1a.在區間 (0, 1)a上， f (

10、x) 0 ，在區間1( , )a上 f (x) 0 ，所以，函數 f (x) 的單調遞增區間為1(0, )a，單調遞減區間為1( , )a. 7 分（）由已知，轉化為f (x) g (x) . 8 分max maxg( x) 2 9 分max由( ) 知，當 a 0時， f ( x) 在 (0, ) 上單調遞增，值域為 R ，故不符合題意 .( 或者舉出反例：存在3 3f (e ) ae 3 2 ，故不符合題意 .) 10 分當 a 0時， f (x) 在 1(0, ) a上單調遞增，在1( , ) a上單調遞減，故 f (x) 的極大值即為最大值，1 1f ( ) 1 ln( ) 1 ln(

11、 a) a a，1 1 分所以 2 1 ln( a) ，解得1a . 1 2 分3e3、解：（I ）x 1f (x) 1 ae 1 分當 a 0時， f (x) 0， f (x) 在 R上是增函數 2 分當 a 0時，令 f (x) 0 得 x 1 ln a 3 分若 x 1 ln a則 f (x) 0 ，從而 f (x) 在區間 ( ,1 ln a) 上是增函數若 x 1 ln a 則 f (x) 0，從而 f (x) 在區間 (1 ln a, ) 上是減函數綜上可知：當 a 0時， f ( x) 在區間 ( , ) 上是增函數。當 a 0時，在區間 ( ,1 ln a) 上是增函數， f

12、(x) 在區間 (1 ln a, ) 上是減函數 4 分（II ）由（ I ）可知：當 a 0時， f (x) 0不恒成立 5 分又當 a 0時， f (x) 在點 x 1 lna 處取最大值，且ln af (1 ln a) 1 ln a ae ln a 6 分令 ln a 0得 a 1故若 f ( x) 0對 x R恒成立，則 a 的取值范圍是 1, 7 分（III ）證明：（1）由（ II ）知：當 a 1時恒有x 1f ( x) x e 0成立即xx e1aa ii AeA1 9 分（2）由（ 1）知：a1Aa1 1Ae；a2Aa2 1Ae；aann AeA1把以上 n 個式子相乘得a

13、a L aa a L a1 2 nn1 2 n A 1enAnA a a L a1 2 n故A n a a L a 121 2 n4、 解：（）2f ( x) ax (a 1)x 1 ，-1 分由導數的幾何意義得 f (2) 5 ，于是 a 3-3 分由切點 P (2, f (2) 在直線 y 5x 4上可知 2 b 6，解得 b 4-5 分所以函數 f (x) 的解析式為3 2f (x) x 2x x 4 -6 分（）2 1f ( x) ax (a 1)x 1 a(x )(x 1)a，-7 分當 0 a 1時，1a1，函數 f (x) 在區間 ( , 1)及1( , ) a上為增函數；在區間

14、1(1, )a上為減函數； -9 分當 a 1時， 1 1，函數 f ( x) 在區間 ( , ) 上為增函數； -10 分 a當 a 1時，1a1，函數 f ( x) 在區間1( , )a及(1, ) 上為增函數；在區間 (1 , 1)a上為減函數 -12 分命題意圖：本題考查了導數的幾何意義、利用導數求函數的單調區間的方法以及分類討論的數學思想。5、解：（I ）當 a 1時，2f (x) (x 2x 1)ex，x x2 x e x x x e x 2 分 f (x) (2x 2) e ( 2 1) ( 1)( 3)當 x變化時， f (x) ， f (x) 的變化情況如下表：所以，當 a

15、1時，函數 f ( x) 的極小值為 f (1 ) 0，極大值為3f (3) 4e . 5 分x 2 x e e ax ax xx x 2（II ） ( ) (2 2) ( 2 1) 2 2 3f x ax e ax2 a x令 ( ) 2( 1) 3g x ax若 a 0，則 g( x) 2x 3 ，在 ( 1，1) 內， g( x) 0 ，即 f (x) 0 ，函數 f (x) 在區間 1，1 上單調遞減. 7 分a 12 a x 若 a 0，則 ( ) 2( 1) 3g x ax ，其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為 x 1，a當且僅當 g (1) 0 ，即 0 a 1時，在 ( 1，1

16、) 內 g(x) 0 ， f (x) 0 ，函數 f (x) 在區間 1，1 上單調遞減 . 9 分2 a x 若 a 0，則 ( ) 2( 1) 3g x ax ，其圖象是開口向下的拋物線，當且僅當g(g(1)1) 0 05，即 a 0時，在 ( 1，1) 內 g(x) 0， f (x) 0，3函數 f (x) 在區間 1，1 上單調遞減 . 11 分5綜上所述，函數 f (x) 在區間 1，1 上單調遞減時， a的取值范圍是 1 a 12 分36、 解：（）因為2 x x xf (x) (x 3x 3) e (2 x 3) e x(x 1) e -1 分由 f (x) 0 x 1或x 0

17、；由 f (x) 0 0 x 1,所以 f (x) 在 ( ,0),(1, ) 上遞增 , 在(0,1) 上遞減 -3 分要使 f (x) 在 2,t 上為單調函數 , 則 2 t 0-4 分（）因為 f (x) 在 ( ,0),(1, ) 上遞增 , 在(0,1) 上遞減， f (x) 在 x 1處有極小值 e-5 分又13f ( 2) e，2e f (x) 在 2, 上的最小值為 f ( 2) -7 分從而當 t 2時, f ( 2) f (t) ，即 m n -8 分（）證：f ( x )0xe02x x0 0，又f (x ) 20xe032(t 1)，22 2x x (t 1) ,0

18、03令2 2 2g( x) x x (t 1) , 從而問題轉化為證明方程3個數-9 分2 2 2g( x) x x (t 1) =0 在 ( 2, t) 上有解 , 并討論解的32 22g( 2) 6 (t 1) (t 2)(t 4) , 3 32 12g(t ) t(t 1) (t 1) (t 2)( t 1),-10 分3 3 當t 4或 2 t 1時, g( 2) g(t) 0,所以 g(x) 0 在( 2,t) 上有解 , 且只有一解 -11 分22當 1 t 4 時, g( 2) 0且g(t ) 0 , 但由于g (0) (t 1) 0 ,3所以 g (x) 0在 ( 2,t) 上

19、有解 , 且有兩解 -12 分當 t 1時,2g( x) x x 0 x 0或x 1 , 故 g(x) 0 在( 2,t) 上有且只有一解；當 t 4時,2g(x) x x 6 0 x 2或x 3 ,所以 g (x) 0在 ( 2, 4) 上也有且只有一解 -13 分綜上所述 , 對于任意的 t 2, 總存在 x0 ( 2,t ) , 滿足 且當 t 4或 2 t 1時, 有唯一的 x0 適合題意；f (x ) 20xe 032(t 1),當1 t 4時, 有兩個 x0 適合題意 .-14 分（說明 : 第（ 3）題也可以令2(x) x x , x ( 2,t) , 然后分情況證明232(t

20、1) 在其值域內）7、 解：（）2f (x) ln x ax (a 2) x，函數的定義域為 (0, ) 1 分21 1 2 ax (a 2) x (2 x 1)( ax 1)f (x) 2ax (a 2)x x x3 分 f (x) 在 x 1處取得極值，即 f (1) (2 1)( a 1) 0 ， a 15 分當 a 1時，在1( ,1) 2內 f (x) 0 ，在 (1, ) 內 f (x) 0， x 1是函數 y f (x) 的極小值點 a 16 分（）2a a ， 0 a 17 分x (0, ) ， ax 1 0， f (x) 在1(0, )2上單調遞增；在1( , )2上單調遞減

21、， 9 分當01a 時， f (x) 在22a , a 單調遞增，3 2fmax (x) f (a) ln a a a 2a；10 分當a2a1212，即1 2a 時， f (x) 在2 22 1(a , )21( ,a)21 a a 2 af (x) f ( ) ln 2 1 ln 2 ；11 分max2 4 2 4當122a ，即22a 1時， f (x) 在2 a , a 單調遞減，2 5 3 2fmax (x) f (a ) 2ln a a a 2a 12 分綜上所述，當01a 時，函數 y f (x) 在22a , a 上的最大值是3 2ln a a a 2a ；當1 2a 時，函數

22、 y f ( x) 在2 22a a ,a 上的最大值是 1 ln 24；當2a 時，函數 y f ( x) 在22a ,a 上的最大值是5 3 22ln a a a 2a 13 分8、解：（I ）當 a 0時， f (x) x xln x ， f (x ) ln x ， 2 分所以 f (e) 0 ， f (e) 1， 4 分所以曲線 y f (x) 在 (e, f (e) 處的切線方程為 y x e. 5 分（II ）函數 f (x) 的定義域為 (0, )2 1f ( x) (ax x) (2 ax 1)ln x ax 1 (2 ax 1)ln xx， 6 分當 a 0 時， 2ax 1

23、 0 ，在 (0,1) 上 f (x) 0 ，在 (1, ) 上 f (x) 0所以 f (x) 在 (0,1) 上單調遞增，在 (1, ) 上遞減； 8 分當 0 1a 時，在 (0,1) 和21( , )2a上 f ( x) 0 ，在1(1, )2a上 f (x) 0所以 f (x) 在 (0,1) 和( 1 , )2a上單調遞增，在 1(1, ) 2a上遞減； 10 分當 1a 時，在 (0, ) 上 f (x) 0 且僅有 f (1) 0 ，2所以 f (x) 在 (0, ) 上單調遞增； 12 分當 1a 時，在21(0, )2a和 (1, ) 上 f ( x) 0 ，在1( ,1)

24、上 f (x) 02a所以 f (x) 在 (0, 1 ) 和(1, ) 上單調遞增，在 ( 1 ,1)上遞減 14 分 2a 2a2x ax ax9、 解：（） f ( x) e，3 分 2x2x 2x 2 1 2 2x 1當 a 2時， f (1) e e， f (1) e，f ( x) e，2 2x 1所以曲線 y f (x) 在(1, f (1)處的切線方程為 y ex 2e，5 分切線與 x 軸、 y軸的交點坐標分別為 ( 2,0) ，(0, 2e)，6 分所以，所求面積為122 2e 2e.7 分（）因為函數 f ( x) 存在一個極大值點和一個極小值點，所以，方程2 0x ax

25、a 在(0, )內存在兩個不等實根， 8 分則a2 4 0,a a0.9 分 所以 a 4 .10 分設x1,x2 為函數 f (x) 的極大值點和極小值點，則 x x a ， x1x2 a ，11 分1 25 1 2 5x a x a1 x 2 x因為， f (x ) f (x ) e ， 所以， e e e，12 分 1 2x x1 2 2 2 2x x a(x x ) a a a a1 2 1 2 x x 5 a 5 a 5即 e 1 2 e e e e e， ， ，x x a1 2解得， a 5，此時 f ( x) 有兩個極值點， 所以 a 5 .14 分10、（）方程2f (x) x

26、 x a , x a 1 2ln(1 x) 0 .記 g(x) x a 1 2ln(1 x), / 2 x 1g (x) 11 x x 1,由 g/ (x) 0 , 得 x1 或 x0所以| f ( x) | max f (0), f (1) 8 分a b ，即- ab2a，則當 0 13a2 2a b ab3a f (x) max f (0), f (1) (i) 當- aba2時，則 0a+b 3a2所以 f (1)2 2a b ab3a2 22a b 2ab3a2 23a (a b)3a142a 0所以| f ( x) | max f (0), f (1) 12 分(ii) 當a b2a

27、 時，則 ( )( 2 )a 2 52+bb b a 0，即 a2 2 2ab 02 2a b ab3a=2 24ab a b3a522 2ab a b3a0，即 f (0) 2 2a b ab3a所以 b所以| f ( x) | max f (0), f (1) 綜上所述： 當 0x1 時，| f (x) | max f (0), f (1) 16 分14、 解：（） f (x) 的定義域為（ 0，+），f2 p 2 p 1 x p x 2 p 1 x 2 分x x當 p 1時， f (x ) 0，故 f ( x) 在（0，+）單調遞增；當 p 0 時， f ( x) 0，故 f (x) 在

28、（0，+）單調遞減；4 分當 0 p 1 時，令 f (x ) =0，解得px .2 p 1則當p px 0, 時， f ( x) 0； x , 時， f ( x) 0. 2 p 1 2 p 1故 f (x) 在0,2pp1p單調遞增，在 ,2 p 1單調遞減. 6 分（）因為 x 0，所以當p1時， f (x) kx 恒成立1 ln x kx k1 lnxx令1 ln xh( x) ，則 k h( x)max , 8 分x因為ln xh( x) ，由 h( x) 0 得 x 1，2x且當 x (0 ,1) 時， h( x) 0；當 x (1 , )時， h( x) 0.所以 h( x) 在(

29、 0,1) 上遞增，在 (1, ) 上遞減 . 所以 h( ) (1 ) 1，故 k 1 10 分x max h（）由（）知當 k 1時，有 f (x) x ，當 x 1時， f (x) x 即ln x x 1，令n 1 nx，則n 1 1ln ，即n n1ln( n 1) ln n 12分n所以2 1ln ，1 13 1ln ，2 2n 1 1ln ，n n相加得ln21ln32lnn 1 1 1 1n 2 n2 3 n 1 2 3 n 1而 ln( 1)ln ln ln ln n1 2 n 1 2 n所以1 1 1*ln( n 1) 1 ， (n N ) . 14分2 3 n15、解： (

30、) 設 f (x) ax 2 bx c （ a 0），則 f (x) 2ax b ， (2 分 )2 2f (x 1) a( x 1) b(x 1) c ax (2a b)x a b c由已知，得22 ax b (a 1)x (2a b)x a b c ，a 1 0，解之，得 a 1，b 0，c 1， 2a b 2aa b c b f (x) x2 1 (4 分)2( ) 由（1）得， P( ,1 ) ，切線 l 的斜率 k f (t ) 2t ，t t2 t x t2切線 l 的方程為 (1 ) 2 ( )y t ，即 y 2tx t 1 (6 分)2t 12從而 l 與 x 軸的交點為 A , 0) ， l 與 y 軸的交點為 (0 , 1) ( B t ，2t 2 2(t 1) S(t ) （其中 t 0） (8 分)4