1、.證明:(1) .如果A是對稱正定矩陣，則 A 1也是對稱正定矩陣(2) .如果A是對稱正定矩陣，則A可以唯一地寫成 ALTL,其中L是具有正對角元的下三角矩陣。證明：(1).因A是對稱正定矩陣，故其特征值匚皆大于0,因此A1的特征值i1也皆大于0。因此i1也皆大于0,故A是可逆的。又/典1、T/典丁、1典1(A ) (A ) A則A 1也是對稱正定矩陣。(2).由A是對稱正定，故它的所有順序主子陣均不為零，從而有唯一的杜利特爾分解A LU。又U11U11U22U1nU11U2nDUoUnn其中D為對角矩陣,Uo為上三角矩陣，于是A LU LDUo由A的對稱性，得A AT UI D LT由分解

2、的唯一性得從而A LDLT由A的對稱正定性，如果設Dj(i 1,2,n)表示A的各階順序主子式，則有did2因此其中d1 D1dn0，i 2,3, ,n dndid21DD 1 1 L D2D LT 1 1L D2(L D2)Tllt， 1L L D2為對角元素為正的下三角矩陣。.用列主元消去法解線性方程組12為 3x2 3x31518為 3x2 x315X1X2X3并求出系數矩陣 A的行列式(即det A)的值。8m21m311831157017/35m32607/617/1831/6183115017/350011/311所以解為 x3 3, x2 2 , x-i 1 , det A 66

3、。.用追趕法解三對角方程組 Ax b，其中2 111 2112121112 11 2由公式解設A有分解1 1123131414151210001121000A01210 ，b0。0012100001205D i ,cii i ,bii1i, i2,3,4,5,cii , I2,3,4其中 bi(i 1,2,5) ,q(i 1,2,4）分別是系數矩陣的主對角元素及其下邊和上邊的次對角線元素。具體計算，可得453，44，33，44yiy2yay46y55100 ,00得Y12y23ya1 15，y56 ；再由112X, 213X21 X34X41Xs 514y412131415166Xa2X23，

4、X1解A中2 0，故不能分解。但由于 det A100，所以若交換A的第1行與第3行,則可以分解且分解是唯一的。在B中，230，B故不能分解。但B可以分解為111 12 100 1，3 132100 u33.下述矩陣能否分解為LU（其中L為單位下三角矩陣，U為上三角矩陣）若能分解，那么分解是否唯一12 3111126A 24 1，B 221，C2515。46 733161546其中132，U33為任意常數，且U奇異，故分解不唯一。對于C ,0(i1,2,3)，故C可以分解且分解唯一。1 12 6C 2113。63 11.求證：(1). xX1(2).1n afAf。證明(1).由定義知max

5、xi1 i nXimax Xix nx1故 x X1 nx 。(2).由范數定義,a2max(A A)1(ATA)2(ATA)n(ATA)tr(ATA)2ai12ai22 aini 1max (A A)2 aijAF京 1(A A)2(ATA)1n(ATA)-|An12 lA F。所以一|Af.n.設P Rn n且非奇異，又 x設為Rn上一向量范數，定義NIp冋試證明x P是Rn上向量的一種范數。證明只需證明卜P滿足向量范數的三個條件。(1) .因P非奇異，故對任意x 0,有Px 0,故|XPPx 0,當且僅當x 0時,有I x|p II px 0。(2) .對任意 R，有II x|p |P x I IIpx I 腳P。(3) .對任意x, y Rn，有|x y|p |P(x y) IPx Py| |Px| 冋 lixip IIy P，故 lixip是 Rn 上的向量 范數。1.設A為對稱正定矩陣，定義 x A Ax,x 2，試證明x p是Rn上向量的一種范數。證明只需證明|x A滿足向量范數的三個條件。1(1) .因A正定對稱，故當x 0， x A Ax, x 20 ；而當x 0時，1x A Ax,x 20。(2) .對任意 R，有x A A x, x 2 v( x)TA( x) | |J(xTAx | I x A。(3).因A正定，故有分解 A LLT，因而1 1(Ltx)