1、1.3.1 圓的極坐標方程 本文在學習極坐標的基礎上來進一步學習簡單曲線的 極坐標方程，具體為教材：P12-P13。先學習體會極坐 標方程的定義（任意一點）；不同圓心的圓的極坐標方程 的求法和方程的表示；感受課本的遞進研究方法。最后鞏 固并復習在平面直角坐標系中圓的方程的求法。 本節課的關鍵在于讓學生體會到極坐標方程是涉及長 度與角度的問題，列方程實質是解直角或斜三角形問題， 要使用舊的三角知識。 1.會求圓心不同的圓的極坐標方程。 2.體會圓的極坐標方程的推出過程。 3.類比直角坐標系中求圓心不同的圓的方程，感受 極坐標系中求曲線方程的方法。 1.在平面直角坐標系中,曲線C和方程f(x,y)

2、=0滿足 (1)曲線C上點的坐標都是方程的解 (2)以方程f(x,y)=0的解為坐標的點都在曲線C上 則稱方程f(x,y)=0為曲線C的方程，曲線C是方程 f(x,y)=0 的曲線。 3.圓的一般式方程： x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 22 (DE4F0) 2.圓的標準方程： (x-a)2 + (y-b)2 =r2 4.極坐標與直角坐標的互化關系式: 設點M的直角坐標是 (x, y)，極坐標是 (,) x=cos, y=sin 222 , tan(0) xy y x x 5、正弦定理： R C c B b A a 2 sinsinsin （其中：（其中：R為為ABC的外接

3、圓半徑）的外接圓半徑） 222 2cosabcbcA 6.余弦定理： 222 cos 2 bca A bc 如圖，半徑為a的圓的圓心坐標為C(a,0)(a 0) 你能用一個等式表示圓上任意一點的極坐標 (, )滿足的條件嗎？ x C(a,0) O A 2 , ( , ) cos2 cos .(1) (0,), (2 ,0)(1) 2 OAOAa MOAOMAM Rt AMOOMOAMOAa OAa 圓經過極點 。設圓與極軸的另一個交點是 ，那么 設為圓上除點 ， 以外的任意一點，那么。 在中即 可以驗證， 點的坐標滿足等式 解： 的點都在這個圓上。等式 ，可以驗證，坐標適合滿足的條件，另一方面

4、 坐標就是圓上任意一點的極所以，等式 ) 1 ( ),() 1 ( 的極坐標方程。叫做曲線那么方程 上，的點都在曲線并且坐標適合方程 一個滿足方程一點的極坐標中至少有 上任意，如果平面曲線一般地，在極坐標系中 Cf Cf f C 0),( 0),( 0),( 的圓的極坐標方程。為 半徑就是圓心在所以， a aaCa),0)(0 ,(cos2 極坐標方程：極坐標方程： 一、定義：一、定義：如果曲線上的點與方程如果曲線上的點與方程f( , )=0有如下關系有如下關系 （）曲線上任一點的坐標（所有坐標中至少有一個）（）曲線上任一點的坐標（所有坐標中至少有一個） 符合方程符合方程f( , )=0; （

5、）方程（）方程f( , )=0的所有解為坐標的點都在曲線上。的所有解為坐標的點都在曲線上。 則稱曲線的方程是則稱曲線的方程是f( , )=0 。 二、求曲線的極坐標方程到底是求什么？ 與直角坐標系里的情況一樣，求曲線的極坐標方程就是找與直角坐標系里的情況一樣，求曲線的極坐標方程就是找 出曲線上動點的坐標出曲線上動點的坐標 與與 之間的關系，然后列出方程之間的關系，然后列出方程 f( , )=0 ，再化簡并說明。，再化簡并說明。 1.1.建極坐標系，設動點建極坐標系，設動點M M ( ( , , ) )； 2.2.找曲線上任一點滿足的幾何條件；找曲線上任一點滿足的幾何條件； 3.3.把上面的幾何

6、條件轉化為把上面的幾何條件轉化為 與與 關系關系 4.4.化簡，說明化簡，說明 三三. .求曲線極坐標方程步驟：求曲線極坐標方程步驟： 5.5.極坐標方程與直角坐標方程可以相互轉化極坐標方程與直角坐標方程可以相互轉化 某些時候，用極坐標方程解決比較方便，這是一個重要的解題某些時候，用極坐標方程解決比較方便，這是一個重要的解題 技巧技巧. .在極坐標系中，當研究的問題用極坐標方程難以決時，在極坐標系中，當研究的問題用極坐標方程難以決時， 可轉化為直角坐標方程求解可轉化為直角坐標方程求解. . 例1、已知圓O的半徑為r，建立怎樣的極坐標系， 可以使圓的極坐標方程簡單？ xO r M 簡單。上比 式

7、合時的極坐標方程在形顯然，使極點與圓心重 即為圓上任意一點，則設 都等于半徑何特征就是它們的極徑 幾圖），那么圓上各點的為極軸建立坐標系（如 出發的一條射線為極點，從解：如果以圓心 ) 1 ( ,),( . r rOMM r OO Ox M r =r Ox M a =2asin O A M C （a,0） =2acos r 2asin (0) 2acos 例2.求圓心在(0，0)，半徑為r的圓的方程 思路點撥結合圓的定義求其極坐標方程 O x M a O x M a =2asin( ) =-2asin =2acos( ) =-2acos 1.以極坐標系中的點以極坐標系中的點(1,1)為圓心，為

8、圓心，1為半徑的圓的方程為半徑的圓的方程 是（是（ ） .2cos.2sin 44 .2cos1.2sin1 AB CD C 2.求下列圓的極坐標方程求下列圓的極坐標方程 ()中心在極點，半徑為中心在極點，半徑為2； ()中心在中心在(a,0)，半徑為，半徑為a； ()中心在中心在(a, /2)，半徑為，半徑為a； ()中心在中心在( 0, )，半徑為 ，半徑為r。 2 2acos 2asin 2+ 0 2 -2 0 cos( - )= r2 已知一個圓的方程是5 3cos-5sin 求圓心坐 例3. 標和半徑。 2 2222 5 3cos5sin 5 3 cos5 sin 5 35 5 35

9、()()25 22 5 35 (,),5 22 xyxyxy 兩邊同乘以 得 即化為直角坐標為 即 所以圓心為 解 半徑是 ： 31 10(cossin)10cos(), 226 (5,),5, 6 解：原式可化為 所以圓心為半徑為 O a aaa 此圓過極點 圓的極坐標方程為 半徑為圓心為 )cos(2 )0)(,( 你可以用極坐標方程直接來求嗎？你可以用極坐標方程直接來求嗎？ 已知一個圓的方程是5 3cos-5sin 求圓心坐 例3. 標和半徑。 方程是什么？ 化為直角坐標、曲線的極坐標方程sin41 4)2( 22 yx 圓的圓心距是多少？ 的兩個和、極坐標方程分別是sincos2 1

10、cos( ,0) 2 sincos()cos() 22 12 sin( ,), 2 22 解：圓 圓心的坐標是 圓 圓 的圓心坐標是所以圓心距是 3cos() 4 、極坐標方程所表示的曲線是( ) A、雙曲線、雙曲線 B、橢圓、橢圓 C、拋物線、拋物線 D、圓、圓 D 為半徑的圓。為圓心，以 解：該方程可以化為 2 1 ) 4 , 2 1 ( ) 4 cos( 法一：法一： 4 1 ) 4 2 () 4 2 ( 0 2 2 2 2 sin 2 2 cos 2 2 4 sinsin 4 coscos 22 22 2 yx yxyx 即 解： 法二：法二： 410cos() 3 、圓 的圓心坐標是

11、( ) )0 , 5( 、A) 3 , 5( 、B ) 3 , 5( 、C) 3 2 , 5( 、D C 5(2,) 2 A 、寫出圓心在點處且過極點的圓的極坐標方程， 并把它化成直角坐標方程。 2 2222 4cos()4sin , 2 4 sin , 4(2)4.xyyxy 解： 化為直角坐標系為 即 2 12 6:2cos ,:2 3 sin20,CC、已知圓圓 試判斷兩圓的位置關系。 所以兩圓相外切。 半徑為，圓心 半徑為圓心 坐標方程為解：將兩圓都化為直角 2 1)3, 0(1)3(: 1)0 , 1 (, 1) 1( : 21 2 22 2 1 22 1 OO OyxC OyxC 78cosOCONON、從極點 作圓 ： 的弦，求的 中點的軌跡方程。 O N M C(4, 0) (4,0), 4, , 4cos . C rOC CM MONCMON M 如圖，圓 的圓心 半徑