1、正弦定理典型例題與知識點正弦定理教學重點：正弦定理教學難點：正弦定理的正確理解和熟練運用,邊角轉化。多解問題1.正弦定理：在任一個三角形中，各邊和它所對角的正弦比相等，即= 2. 三角形面積公式 在任意斜ABC當中SABC=3.正弦定理的推論：=2R（R為ABC外接圓半徑）4.正弦定理解三角形1）已知兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；2）已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角。3）已知a, b和A, 用正弦定理求B時的各種情況:（多解情況）若A為銳角時:若A為直角或鈍角時:1、已知中，則角等于 ( D)A B C D2、ABC的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若s

2、inA=，b=sinB，則a等于( D )A3 B C D1. 在中，若，則一定是( )A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、等腰或直角三角形解析： 3.在ABC中，C=，則的最大值是_.解析 在ABC中，C=， ，時，取得最大值。4. 若中，則角C的大小是_解析7.在ABC中，已知，試判斷ABC的形狀。解：由正弦定理得：，。所以由可得：，即：。又已知，所以，所以，即，因而。故由得：，。所以，ABC為等邊三角形。在中，是成立的 ( C ) 必要不充分條件 充分不必要條件充要條件 既不充分也不必要條件1.ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若c=，b=，B=120,則 a等

3、于（ ）A.B.2C.D.答案 D3.下列判斷中正確的是（ ）A.ABC中，a=7，b=14，A=30,有兩解B.ABC中，a=30,b=25,A=150，有一解C.ABC中，a=6,b=9，A=45，有兩解D.ABC中，b=9,c=10,B=60,無解答案 B4. 在ABC中，若2cosBsinA=sinC,則ABC一定是（ ）A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形D.等邊三角形答案 B10. 在ABC中，已知a=,b=,B=45,求A、C和c.解 B=4590且asinBba,ABC有兩解.由正弦定理得sinA= =,則A為60或120.當A=60時，C=180-(A+B)=7

4、5,c=.當A=120時，C=180-(A+B)=15,c=.故在ABC中，A=60,C=75,c=或A=120,C=15,c=.12. 在ABC中，a、b、c分別表示三個內角A、B、C的對邊，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判斷三角形的形狀.解 方法一 已知等式可化為a2sin（A-B）-sin（A+B）=b2-sin（A+B）-sin(A-B)2a2cosAsinB=2b2cosBsinA由正弦定理可知上式可化為：sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinAsinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0sin2A=sin2B,由02

5、A,2B2得2A=2B或2A=-2B,即A=B或A=-B,ABC為等腰或直角三角形.方法二 同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcosB由正、余弦定理,可得a2b= b2a a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0a=b或a2+b2=c2ABC為等腰或直角三角形.2在ABC中，已知B45，c2，b，則A等于()A15 B75 C105 D75或15解析：根據正弦定理 ，sin C.C60或C120，因此A75或A15.答案：D例1已知a、b為ABC的邊，A、B分別是a、b的對角，且，求 的值.解：(這是角的關系)， (這是邊的關系)于是，由合比定理得例2已知ABC中，三邊a、b、c所對的角分別是A、B、C，且a、b、c成等差數列求