1、等差數列前n項和性質及應用 等差數列前n項和的性質及應用 2018年3月 等差數列前n項和性質及應用 知識回顧： 1. an為等差數列為等差數列 . ， an= ， 更一般的，更一般的，an= ，d= . a n+1 - an=d2a n+1 =a n+2 +an a1+(n-1)dan=an+b a、b為常數為常數 am+(n-m)d mn aa mn 2 )( 1n aan d nn na 2 )1( 1 2.等差數列前n 項和Sn = = . 等差數列前n項和性質及應用 復習：復習： 等差數列的前等差數列的前n項和公式項和公式 2 )( 1n n aan S 2 ) 1( 1 dnn n

2、aS n 等差數列前n項和性質及應用 1、通項公式與前、通項公式與前n項和的關系：項和的關系： nnS n 2 1 2 例例1、已知數列、已知數列a n的前的前n項和項和 為為 ，求這個數列的通項，求這個數列的通項 公式。這個數列是等差數列嗎？如果是，公式。這個數列是等差數列嗎？如果是， 它的首項與公差分別是什么？它的首項與公差分別是什么？ 等差數列前n項和性質及應用 分析：分析： nnn aaaaaS 1321 ) 1( 13211 naaaaS nn 所以當所以當n 1時，時， 2 1 2)1( 2 1 ) 1( 2 1 22 1 nnnnnSSa nnn 當當n = 1時，時， 2 3

3、11 Sa也滿足上式。也滿足上式。 因而，數列因而，數列 n a是一個首項為是一個首項為 2 3 ，公差為，公差為2的等差數列。的等差數列。 等差數列前n項和性質及應用 注：由上例得注：由上例得S n與與 n a之間的關系：之間的關系： 由由 n S的定義可知，當的定義可知，當n = 1時，時， 11 aS 當當n 2時，時， 1 nnn SSa )2( ) 1( 1 1 nSS nS a nn n 即 等差數列前n項和性質及應用 新課1 等差數列前n項和性質及應用 n a 2 n Spnqnr 0p 探究：如果一個數列探究：如果一個數列的前的前n項和為項和為 ，其中，其中p、q、r為常數，且

4、為常數，且 ，那么這個數列一定是，那么這個數列一定是 等差數列嗎？如果是，它的首項與公差分別是多少？等差數列嗎？如果是，它的首項與公差分別是多少？ 1nnn aSS 2 n Spnqnr 11 Sapqr 分析：由分析：由 ，得，得 令令p + q + r = 2p (p + q)，得，得r = 0。 時當2n 22 () (1)(1)pnqnrp nq nr2()pnpq = = n a所以當所以當r = 0時，數列時，數列 是等差數列，首項是等差數列，首項a 1 = p + q， pqpnpqppnaad nn 2)() 1(2)(2 1 公差 等差數列前n項和性質及應用 有有最最大大值值

5、 n Sda, 0, 0 1 0 0 1n n a a 有有最最小小值值 n Sda, 0, 0 1 0 0 1n n a a 2 , n SAnBn二、配方，看對稱軸 等差數列的前等差數列的前n項的最值問題項的最值問題 一、 11 =0 mmm SSa 三、特別的 等差數列前n項和性質及應用 例題：已知等差數列例題：已知等差數列 的前的前 n 項和項和 為為 ，求使得，求使得 最大的序號最大的序號 n 的值。的值。 n S 7 4 3 , 7 2 4 , 5 n S 的的值值。二二次次函函數數來來求求 以以利利用用一一些些點點。因因此此，我我們們可可的的圖圖象象是是一一條條拋拋物物線線的的

6、關關于于，容容易易知知道道時時的的函函數數值值。另另一一方方面面當當 可可以以看看成成函函數數，所所以以 項項和和公公式式可可以以寫寫成成等等差差數數列列的的前前 n n SnxNx x d ax d ySn d a n d Sn n n n )( ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 1 2 1 2 分析：分析： 等差數列的前等差數列的前n項的最值問題項的最值問題 等差數列前n項和性質及應用 1：數列an是等差數列，是等差數列， 1 50,0.6ad （1）從第幾項開始有）從第幾項開始有0 n a （2）求此數列前）求此數列前n項和的最大值項和的最大值 練習： 1011 2 nS =S n n1

7、，設為等差數列a ，公差d=-2， S 為其前 項和，若則a 等差數列前n項和性質及應用 有有最最大大值值 n Sda, 0, 0 1 0 0 1n n a a 有有最最小小值值 n Sda, 0, 0 1 0 0 1n n a a 配方，看對稱軸配方，看對稱軸, 2 BnAnSn 小結：小結：aan n 為等差數列，求為等差數列，求S Sn n的最值。的最值。 等差數列前n項和性質及應用 已知等差數列已知等差數列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n 取何值時取何值時,Sn取最大值取最大值. 解法解法1由由S3=S11得得 11 3 133211 1311 10 22 dd d=2 1

8、 13(1) ( 2) 2 n Snn n 2 14nn 2 (7)49n 當當n=7時時,Sn取最大值取最大值49. 7 n 1 1 3 S n 能力提升 等差數列前n項和性質及應用 已知等差數列已知等差數列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n 取何值時取何值時,Sn取最大值取最大值. 解法解法2由由S3=S11得得d=2 當當n=7時時,Sn取最大值取最大值49. an=13+(n-1) (-2)=2n+15 由由 1 0 0 n n a a 得得 15 2 13 2 n n 等差數列前n項和性質及應用 已知等差數列已知等差數列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n 取何值時

9、取何值時,Sn取最大值取最大值. 解法解法3由由S3=S11得得d=20,S130 13a1+136d0 24 3 7 d 等差數列等差數列an前前n項和的性質項和的性質 等差數列前n項和性質及應用 (2) 1 1 (1) 2 n Snan nd 1 (122 )(1) 2 ndn nd 2 5 (12) 22 dd nn Sn圖象的對稱軸為圖象的對稱軸為 512 2 n d 由由(1)知知 24 3 7 d 由上得由上得 51213 6 22d 13 6 2 n即即 由于由于n為正整數為正整數,所以當所以當n=6時時Sn有最大值有最大值. Sn有最大值有最大值. 等差數列前n項和性質及應用

10、作業作業 求集合求集合 的元素個數，并求這些元素的和的元素個數，并求這些元素的和. . 60, 12 mNnnmmM 等差數列前n項和性質及應用 作業作業 1 1、已知等差數列、已知等差數列25,21,19, 25,21,19, 的前的前n項和為項和為Sn, ,求使求使 得得Sn最大的序號最大的序號n的值的值. . 2 2：已知在等差數列：已知在等差數列 an n 中中, ,a10=23, , a25=-22 , ,Sn為其前為其前n項和項和. . （1 1）問該數列從第幾項開始為負？）問該數列從第幾項開始為負？ （2 2）求）求S10 （3 3）求使）求使 Sn0的最小的正整數的最小的正整數

11、n. . (4) (4) 求求| |a1 1|+|+|a2 2|+|+|a3 3|+|+|+|a20 20| |的值 的值 等差數列前n項和性質及應用 1.1.根據等差數列前根據等差數列前n n項和，求通項公式項和，求通項公式. . 1 1 1 2 n nn an a SSn 2 2、結合二次函數圖象和性質求、結合二次函數圖象和性質求 的最值的最值. . n d an d Sn) 2 ( 2 1 2 等差數列前n項和性質及應用 3.等差數列等差數列an前前n項和的性質項和的性質 性質性質1:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也在等差數列也在等差數列, 公差為公差為 在等差數列在等差數列an中中

12、,其前其前n項的和為項的和為Sn,則有則有 性質性質2:若若Sm=p,Sp=m(mp),則則Sm+p= 性質性質3:若若Sm=Sp (mp),則則 Sp+m= 性質性質4:(1)若項數為偶數若項數為偶數2n,則則 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1為中為中 間兩項間兩項), 此時有此時有:S偶 偶 S奇 奇= , S S 奇奇 偶偶 n2d 0 nd 1 n n a a (m+p) 等差數列前n項和性質及應用 性質性質4:(1)若項數為奇數若項數為奇數2n1,則則 S2n-1=(2n 1)an (an為中間項為中間項), 此時有此時有:S偶 偶 S奇 奇= ,

13、S S 奇奇 偶偶 兩等差數列前兩等差數列前n項和與通項的關系項和與通項的關系 性質性質6:若數列若數列an與與bn都是等差數列都是等差數列,且且 前前n項的和分別為項的和分別為Sn和和Tn,則則 n n a b 性質性質5: 為等差數列為等差數列. n S n an 1 n n 21 21 n n S T 等差數列前n項和性質及應用 新課5 等差數列前n項和性質及應用 倒序法求和倒序法求和 倒序相加法：倒序相加法：將數列的順序倒過來排列，與原數列兩式將數列的順序倒過來排列，與原數列兩式 相加，若有公因式可提，并且剩余項的和易于求得，這相加，若有公因式可提，并且剩余項的和易于求得，這 樣的數列

14、可用倒序相加法求和。樣的數列可用倒序相加法求和。 等差數列前n項和性質及應用 倒序法求和倒序法求和 22 1 )( x xf 23 例例1.1.若若 )6()5()4()5(ffff ，則，則 的值為的值為 。 22 1 )( x xf x x x xf 222 2 22 1 )1 ( 1x x 22 2 2 1 2 2 22 2 2 1 1 )1 ()( x x xfxf 【解析】【解析】 等差數列前n項和性質及應用 裂項法求和裂項法求和 一些常用的裂項公式一些常用的裂項公式: : 1 1 ) 1 ( nn 12) 12( 1 )2( nn )2( 1 )3( nn nn 1 1 )4( 1

15、 11 nn ) 12 1 12 1 ( nn 2 1 nn1) 2 11 ( nn 2 1 等差數列前n項和性質及應用 1111 2. 11 21 231 2 n S n 例 求的值 解解： n an 21 1 設設 )1( 2 nn ) 1 11 (2 nn ) 1 11 () 1 1 1 () 3 1 2 1 () 2 1 1(2 nnnn 1 2 2) 1 1 1(2 nn Sn )1( 2 )1( 2 32 2 21 2 nnnn Sn 等差數列前n項和性質及應用 利用數列周期性求和利用數列周期性求和 有的數列是周期數列，把握了數列的周期則可順利求和有的數列是周期數列，把握了數列的周

16、期則可順利求和. .關關 鍵之處是尋找周期。鍵之處是尋找周期。 n a nnn aaaaaa 12321 , 2, 3, 1 2002 S 例例3 3：在數列：在數列中，中， 求求 nnn aaaaaa 12321 , 2, 3, 1 , 2, 3, 1 654 aaa , 2, 3, 1, 2, 3, 1 121110987 aaaaaa 解：由解：由 可得可得 等差數列前n項和性質及應用 利用數列周期性求和利用數列周期性求和 2, 3, 1, 2, 3, 1 665646362616 kkkkkk aaaaaa 0 665646362616 kkkkkk aaaaaa 2002 S)()()( 66261612876321 kkk aaaaaaaaaa 2002200120001999199819941993 )(aaaaaaa 2002200120001999 aaaa 5 4321 aaaa 而而 等差數列前n項和性質及應用 例例4 4：求和：求和 其它方法求和其它方法求和 合合 并 并 求 求 和 和 法 法 ) 12() 1(531n n 解：設解：設) 12() 1(531nS n n 當當n n為偶數時，設為偶數時，設n=2kn=2k，則，則 ) 14()34(531 2 kkS k )14