1、4-6 剛體角動量和角動量守恒定律剛體角動量和角動量守恒定律 1. 1. 定軸轉動剛體的角動量定理定軸轉動剛體的角動量定理 剛體定軸轉動定理：剛體定軸轉動定理：J dt d M z 則該系統對該軸的角動量為：則該系統對該軸的角動量為： 由幾個物體組成的系統，如果它們對同一給由幾個物體組成的系統，如果它們對同一給 定軸的角動量分別為定軸的角動量分別為 、 、， 11 J 22 J i i iz JL , 2 , 1i 對于該系統還有對于該系統還有 i ii Z Z J tt L M d d d d 0 0 dJJtM t t t t tM 0 d 為為 時間內力矩時間內力矩M M 對給定軸的沖量

2、矩。對給定軸的沖量矩。 0 ttt 角動量定理的微分形式：角動量定理的微分形式： 在外力矩作用下，從在外力矩作用下，從tt 0 角動量角動量0 0 JLz變為變為JLZ ， ， 則由則由J dt d M z 得得 定軸轉動剛體的角動量定理定軸轉動剛體的角動量定理 2. 2. 定軸轉動剛體的角動量守恒定律定軸轉動剛體的角動量守恒定律 角動量守恒定律：角動量守恒定律：若一個系統一段時間若一個系統一段時間 內所受合外力矩內所受合外力矩M M 恒為零，則此系統的總角恒為零，則此系統的總角 動量動量L L 為一恒量。為一恒量。 JL恒量恒量 討論：討論： a. .對于繞固定轉軸轉動的剛體，因對于繞固定轉

3、軸轉動的剛體，因J J 保持不變，保持不變， 當合外力矩為零時，其角速度恒定。當合外力矩為零時，其角速度恒定。 時，當0 z M 時，當0 z MJ = =恒量恒量 = =恒量恒量 b. .若系統由若干個剛體構成若系統由若干個剛體構成, ,當合外力矩為零時當合外力矩為零時, ,系系 統的角動量依然守恒。統的角動量依然守恒。J J 大大 小小, ,J J 小小 大。大。 時，當0 z M 恒量 2211 JJLz c.c.若系統內既有平動也有轉動現象若系統內既有平動也有轉動現象 發生，若對某一定軸的合外力矩為發生，若對某一定軸的合外力矩為 零零, ,則系統對該軸的角動量守恒。則系統對該軸的角動量

4、守恒。 定軸轉動剛體的角動量守恒定律定軸轉動剛體的角動量守恒定律 L A B A B C C 常平架上的回轉儀常平架上的回轉儀 應用事例：應用事例： 定軸轉動剛體的角動量守恒定律定軸轉動剛體的角動量守恒定律 精確制導精確制導 應用事例：應用事例： 定軸轉動剛體的角動量守恒定律定軸轉動剛體的角動量守恒定律 直升飛機直升飛機 直線運動與定軸轉動規律對照直線運動與定軸轉動規律對照 質點的直線運動質點的直線運動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動 t x v d d 2 2 d d d d t x t v a td d 2 2 d d d d tt mvP 2 2 1 mvEKJL 2 2 1 JEK F m

5、MJ xFAddtF dddMA tM d maF JM 0 dPPtF 0 dLLtM 2 0 2 2 1 2 1 dmvmvxF 2 0 2 2 1 2 1 dJJM 定軸轉動剛體的角動量守恒定律定軸轉動剛體的角動量守恒定律 例題例題4-11 4-11 一勻質細棒長為一勻質細棒長為l ，質量為，質量為m，可繞通過其端，可繞通過其端 點點O的水平軸轉動，如圖所示。當棒從水平位置自由釋的水平軸轉動，如圖所示。當棒從水平位置自由釋 放后，它在豎直位置上與放在地面上的物體相撞。該物放后，它在豎直位置上與放在地面上的物體相撞。該物 體的質量也為體的質量也為m ，它與地面的摩擦系數為，它與地面的摩擦系

6、數為 。相撞后物。相撞后物 體沿地面滑行一距離體沿地面滑行一距離s而停止。求相撞后棒的質心而停止。求相撞后棒的質心C 離地離地 面的最大高度面的最大高度h，并說明棒在碰撞后將向左擺或向右擺，并說明棒在碰撞后將向左擺或向右擺 的條件。的條件。 解：解： 這個問題可分為三個階段這個問題可分為三個階段 進行分析。第一階段是棒自由進行分析。第一階段是棒自由 擺落的過程。這時除重力外，擺落的過程。這時除重力外， 其余內力與外力都不作功，所其余內力與外力都不作功，所 以機械能守恒。我們把棒在豎以機械能守恒。我們把棒在豎 直位置時質心所在處取為勢能直位置時質心所在處取為勢能 C O 定軸轉動剛體的角動量守恒

7、定律定軸轉動剛體的角動量守恒定律 零點，用零點，用 表示棒這時的角速度表示棒這時的角速度, ,則則 222 3 1 2 1 2 1 2 mlJ l mg （1 1） 第二階段是第二階段是碰撞過程碰撞過程。因碰撞時間極短，自由。因碰撞時間極短，自由 的沖力極大，物體雖然受到地面的摩擦力，但可以的沖力極大，物體雖然受到地面的摩擦力，但可以 忽略。這樣，棒與物體相撞時，它們組成的系統所忽略。這樣，棒與物體相撞時，它們組成的系統所 受的對轉軸受的對轉軸O的外力矩為零，所以，這個系統的對的外力矩為零，所以，這個系統的對O 軸的角動量守恒。我們用軸的角動量守恒。我們用v表示物體碰撞后的速度，表示物體碰撞后

8、的速度， 則則 （2 2） 22 3 1 3 1 mlmvlml 式中式中 棒在碰撞后的角速度，它可正可負。棒在碰撞后的角速度，它可正可負。 取正取正 值，表示碰后棒向左擺；反之，表示向右擺。值，表示碰后棒向左擺；反之，表示向右擺。 定軸轉動剛體的角動量守恒定律定軸轉動剛體的角動量守恒定律 第三階段是物體在碰撞后的第三階段是物體在碰撞后的滑行過程滑行過程。物體作勻減。物體作勻減 速直線運動，加速度由牛頓第二定律求得為速直線運動，加速度由牛頓第二定律求得為 mamg （3 3） 由勻減速直線運動的公式得由勻減速直線運動的公式得 asv20 2 gsv 2 2 （4）亦即亦即 由式（由式（1 1）

9、、（）、（2 2）與（）與（4 4）聯合求解，即得）聯合求解，即得 l gsgl 233 （5） 定軸轉動剛體的角動量守恒定律定軸轉動剛體的角動量守恒定律 亦即亦即l6l6 s；當；當 取負值，則棒向右擺，其條件 取負值，則棒向右擺，其條件 為為 0233 gsgl 亦即亦即l 6 s 棒的質心棒的質心C C上升的最大高度，與第一階段情上升的最大高度，與第一階段情 況相似，也可由機械能守恒定律求得：況相似，也可由機械能守恒定律求得： 22 3 1 2 1 mlmgh 把式（把式（5 5）代入上式，所求結果為）代入上式，所求結果為 sls l h63 2 當當 取正值，則棒向左擺，其條件為取正值

10、，則棒向左擺，其條件為 0233 gsgl (6)(6) 定軸轉動剛體的角動量守恒定律定軸轉動剛體的角動量守恒定律 例題例題4-12 4-12 工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它 們以相同的轉速一起轉動。如圖所示，們以相同的轉速一起轉動。如圖所示，A和和B兩飛輪兩飛輪 的 軸 桿 在 同 一 中 心 線 上 ，的 軸 桿 在 同 一 中 心 線 上 ， A 輪 的 轉 動 慣 量 為輪 的 轉 動 慣 量 為 JA=10kg m2，B B的轉動慣量為的轉動慣量為JB=20kg m2 。開始時。開始時A A 輪的轉速為輪的轉速為600r/min，B輪靜止。輪靜止。C

11、為摩擦嚙合器。為摩擦嚙合器。 求兩輪嚙合后的轉速；在嚙合過程中，兩輪的機械求兩輪嚙合后的轉速；在嚙合過程中，兩輪的機械 能有何變化？能有何變化？ A A C B A C B 定軸轉動剛體的角動量守恒定律定軸轉動剛體的角動量守恒定律 解解 以飛輪以飛輪A A、B B和嚙合器和嚙合器C C作為一系統來考慮，在作為一系統來考慮，在 嚙合過程中，系統受到軸向的正壓力和嚙合器間的嚙合過程中，系統受到軸向的正壓力和嚙合器間的 切向摩擦力，前者對轉軸的力矩為零，后者對轉軸切向摩擦力，前者對轉軸的力矩為零，后者對轉軸 有力矩，但為系統的內力矩。系統沒有受到其他外有力矩，但為系統的內力矩。系統沒有受到其他外 力

12、矩，所以系統的角動量守恒。按角動量守恒定律力矩，所以系統的角動量守恒。按角動量守恒定律 可得可得 BABBAA JJJJ 為兩輪嚙合后共同轉動的角速度，于是為兩輪嚙合后共同轉動的角速度，于是 BA BBAA JJ JJ 以各量的數值代入得以各量的數值代入得srad /9.20 定軸轉動剛體的角動量守恒定律定軸轉動剛體的角動量守恒定律 或共同轉速為或共同轉速為 min/200 rn 在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所以機在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所以機 械能不守恒，部分機械能將轉化為熱量，損械能不守恒，部分機械能將轉化為熱量，損 失的機械能為失的機械能為 J JJJJE BABA BA 4 222

13、 1032.1 2 1 2 1 2 1 定軸轉動剛體的角動量守恒定律定軸轉動剛體的角動量守恒定律 例題例題4-13 4-13 恒星晚期在一定條件下，會發生超新星恒星晚期在一定條件下，會發生超新星 爆發，這時星體中有大量物質噴入星際空間，同時爆發，這時星體中有大量物質噴入星際空間，同時 星的內核卻向內坍縮，成為體積很小的中子星。中星的內核卻向內坍縮，成為體積很小的中子星。中 子星是一種異常致密的星體，一湯匙中子星物體就子星是一種異常致密的星體，一湯匙中子星物體就 有幾億噸質量！設某恒星繞自轉軸每有幾億噸質量！設某恒星繞自轉軸每4545天轉一周，天轉一周， 它的內核半徑它的內核半徑R0約為約為2

14、2 1010 7 7m，坍縮成半徑 ，坍縮成半徑R僅為僅為 6 6 10103 3m的中子星。試求中子星的角速度。坍縮前后的中子星。試求中子星的角速度。坍縮前后 的星體內核均看作是勻質圓球。的星體內核均看作是勻質圓球。 解解 在星際空間中，恒星不會受到顯著的外力矩，因在星際空間中，恒星不會受到顯著的外力矩，因 此恒星的角動量應該守恒，則它的內核在坍縮前后的此恒星的角動量應該守恒，則它的內核在坍縮前后的 角動量角動量J J0 0 0 0和和J J 應相等。因應相等。因 22 0 5 2 5 2 0 mRJmRJ， 定軸轉動剛體的角動量守恒定律定軸轉動剛體的角動量守恒定律 代入代入J0 0=J 中

15、，整理后得中，整理后得 sr sr R R /3 / 606024 1 106 102 45 1 2 3 7 2 0 0 由于中子星的致密性和極快的自轉角速度，在由于中子星的致密性和極快的自轉角速度，在 星體周圍形成極強的磁場，并沿著磁軸的方向發出星體周圍形成極強的磁場，并沿著磁軸的方向發出 很強的無線電波、光或很強的無線電波、光或X X射線。當這個輻射束掃過地射線。當這個輻射束掃過地 球時，就能檢測到脈沖信號，由此，中子星又叫脈球時，就能檢測到脈沖信號，由此，中子星又叫脈 沖星。目前已探測到的脈沖星超過沖星。目前已探測到的脈沖星超過300300個。個。 定軸轉動剛體的角動量守恒定律定軸轉動剛

16、體的角動量守恒定律 例題例題4-14 4-14 圖中的宇宙飛船對其中心軸的轉動慣量為圖中的宇宙飛船對其中心軸的轉動慣量為 J= 2 103kg m2 ，它以，它以 =0.2rad/s的角速度繞中心軸旋的角速度繞中心軸旋 轉。宇航員用兩個切向的控制噴管使飛船停止旋轉。轉。宇航員用兩個切向的控制噴管使飛船停止旋轉。 每個噴管的位置與軸線距離都是每個噴管的位置與軸線距離都是r=1.5m。兩噴管的噴。兩噴管的噴 氣流量恒定，共是氣流量恒定，共是 =2kg/s 。廢氣的噴射速率（相對。廢氣的噴射速率（相對 于飛船周邊）于飛船周邊）u=50m/s，并且恒定。問噴管應噴射多，并且恒定。問噴管應噴射多 長時間

17、才能使飛船停止旋轉。長時間才能使飛船停止旋轉。 r dm/2 dm/2 u u L0Lg 解解 把飛船和排出的把飛船和排出的 廢氣看作一個系統，廢氣看作一個系統， 廢氣質量為廢氣質量為m m。可以。可以 認為廢氣質量遠小于認為廢氣質量遠小于 飛船的質量，飛船的質量， 定軸轉動剛體的角動量守恒定律定軸轉動剛體的角動量守恒定律 所以原來系統對于飛船中心軸的角動量近似地等所以原來系統對于飛船中心軸的角動量近似地等 于飛船自身的角動量，即于飛船自身的角動量，即 在噴氣過程中，以在噴氣過程中，以dm表示表示dt時間內噴出時間內噴出 的氣體，這些氣體對中心軸的角動量為的氣體，這些氣體對中心軸的角動量為dm

18、 r(u+v)，方向與飛船的角動量相同。因，方向與飛船的角動量相同。因 u=50m/s遠大于飛船的速率遠大于飛船的速率v(= r) ，所以此，所以此 角動量近似地等于角動量近似地等于dm ru。在整個噴氣過程。在整個噴氣過程 中噴出廢氣的總的角動量中噴出廢氣的總的角動量Lg應為應為 mrurudmL m g 0 JL 0 定軸轉動剛體的角動量守恒定律定軸轉動剛體的角動量守恒定律 當宇宙飛船停止旋轉時，其角動量為零。系統這時當宇宙飛船停止旋轉時，其角動量為零。系統這時 的總角動量的總角動量L L1 1就是全部排出的廢氣的總角動量，即就是全部排出的廢氣的總角動量，即 為為 mruLL g 1 在整

19、個噴射過程中，系統所受的對于飛船中心軸的在整個噴射過程中，系統所受的對于飛船中心軸的 外力矩為零，所以系統對于此軸的角動量守恒，即外力矩為零，所以系統對于此軸的角動量守恒，即 L L0 0=L=L1 1 ，由此得，由此得 mruJ 即即 ru J m 定軸轉動剛體的角動量守恒定律定軸轉動剛體的角動量守恒定律 于是所需的時間為于是所需的時間為 ss ru Jm t67.2 505 .12 2 .0102 3 定軸轉動剛體的角動量守恒定律定軸轉動剛體的角動量守恒定律 例例1 一長為一長為l 、質量為、質量為m 的勻質細桿，可繞光滑軸的勻質細桿，可繞光滑軸O 在在 鉛直面內擺動。當桿靜止時，一顆質量

20、為鉛直面內擺動。當桿靜止時，一顆質量為m0 的子彈水的子彈水 平射入與軸相距為平射入與軸相距為a 處的桿內，并留在桿中，使桿能偏處的桿內，并留在桿中，使桿能偏 轉到轉到 =300，求子彈的初速，求子彈的初速v0。 解：分兩個階段進行考慮解：分兩個階段進行考慮 avmL 000 JL 22 0 3 1 mlamJ其中其中 a 0 m (1)子彈射入細桿子彈射入細桿,使細桿獲得初使細桿獲得初 速度。因這一過程進行得很快速度。因這一過程進行得很快,細細 桿發生偏轉極小桿發生偏轉極小,可認為桿仍處于可認為桿仍處于 豎直狀態。子彈和細桿組成待分豎直狀態。子彈和細桿組成待分 析的系統析的系統,無外力矩無外

21、力矩,滿足角動量滿足角動量 守恒條件。子彈射入細桿前、后守恒條件。子彈射入細桿前、后 的一瞬間的一瞬間,系統角動量分別為系統角動量分別為 定軸轉動剛體的角動量守恒定律定軸轉動剛體的角動量守恒定律 (2)(2)子彈隨桿一起繞軸子彈隨桿一起繞軸O O 轉轉 動。以子彈、細桿及地球構動。以子彈、細桿及地球構 成一系統，只有保守內力作成一系統，只有保守內力作 功，機械能守恒。選取細桿功，機械能守恒。選取細桿 處于豎直位置時子彈的位置處于豎直位置時子彈的位置 為為重力勢能零點重力勢能零點，系統在始，系統在始 末狀態的機械能為：末狀態的機械能為： 由角動量守恒，得：由角動量守恒，得： avmJ 00 (1

22、) ) 2 ( 2 1 2 0 l amgJE 勢能零點勢能零點 )cos 2 ()cos1 ( 0 l amggamE a 0 m 定軸轉動剛體的角動量守恒定律定軸轉動剛體的角動量守恒定律 由機械能守恒，由機械能守恒，E=E0, 代入代入 =300，得：得： ) 2 1 2 () 2 1 1 () 2 ( 2 1 0 2 l amggam l amgJ gammlamml am v)3)(2( 6 321 2 0 2 0 0 0 將上式與將上式與 聯立，并代入聯立，并代入J 值，得值，得avmJ 00 定軸轉動剛體的角動量守恒定律定軸轉動剛體的角動量守恒定律 例例2 2 A、B兩圓盤繞各自的中心軸轉動，角速度分別兩圓盤繞各自的中心軸轉動，角速度分別 為：為： A=50=50rad. .s-1 -1, , B=200=200rad. .s-1 -1。已知 。已知A A 圓盤半徑圓盤半徑 R RA A=0.2m, =0.2m, 質量質量m mA A=2kg, =2kg, B B 圓盤的半徑圓盤的半徑R RB B=0.1m, =0.1m, 質量質量 m mB B=4kg. =4kg. 試求兩圓盤對心銜接后的角速度試求兩圓盤對心銜接后的角速度 . . A B