1、TSINGHUA UNIVERSITY 第第11章章 達朗貝爾原理及其應用達朗貝爾原理及其應用 引入慣性力的概念，應用達朗貝爾原理，將靜力學中求解引入慣性力的概念，應用達朗貝爾原理，將靜力學中求解 平衡問題的方法用于分析和解決動力學問題。這種方法稱為平衡問題的方法用于分析和解決動力學問題。這種方法稱為 “動靜法動靜法”。“動動”代表研究對象是動力學問題；代表研究對象是動力學問題；“靜靜”代代 表研究問題所用的方法是靜力學方法。表研究問題所用的方法是靜力學方法。 達朗貝爾原理雖然與動力學普遍定理具有不同的思路，達朗貝爾原理雖然與動力學普遍定理具有不同的思路， 但卻獲得了與動量定理、動量矩定理形式

2、上等價的動力學方但卻獲得了與動量定理、動量矩定理形式上等價的動力學方 程，并在某些應用領域也是等價的。程，并在某些應用領域也是等價的。 達朗貝爾原理提供了有別于動力學普遍定理的新方法，尤達朗貝爾原理提供了有別于動力學普遍定理的新方法，尤 其適用于受約束質點系統(tǒng)求解動約束力和動應力等問題。因此其適用于受約束質點系統(tǒng)求解動約束力和動應力等問題。因此 在工程技術中有著廣泛應用，并且為在工程技術中有著廣泛應用，并且為“分析力學分析力學”奠定了理論奠定了理論 基礎。基礎。 TSINGHUA UNIVERSITY 爆破時煙囪怎樣倒塌爆破時煙囪怎樣倒塌 第第11章章 達朗貝爾原理及其應用達朗貝爾原理及其應用

3、 TSINGHUA UNIVERSITY 第第11章章 達朗貝爾原理及其應用達朗貝爾原理及其應用 TSINGHUA UNIVERSITY 第第11章章 達朗貝爾原理及其應用達朗貝爾原理及其應用 TSINGHUA UNIVERSITY 慣性力與慣性力與達朗貝爾原理達朗貝爾原理 結論與討論結論與討論 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 達朗貝爾原理的應用示例達朗貝爾原理的應用示例 參考性例題參考性例題 第第11章章 達朗貝爾原理及其應用達朗貝爾原理及其應用 在慣性參考系在慣性參考系Oxyz中，設一中，設一 非自由質點的質量為非自由質點的質量為m，加速度，加速度 為為a，在主動力、約束力作用下，在主動力、

4、約束力作用下 運動。由牛頓第二定律，有運動。由牛頓第二定律，有 N FFam 若將上式左端的若將上式左端的ma移至右端，則有移至右端，則有 0 N aFFm aFm I 0 IN FFF 質點的慣性力與達朗貝爾原理質點的慣性力與達朗貝爾原理 可以假想可以假想FI是一個力，它的大小等于質點的質量與是一個力，它的大小等于質點的質量與 加速度的乘積，方向與質點加速度的方向相反。因其與加速度的乘積，方向與質點加速度的方向相反。因其與 質點的質量有關，故稱為達朗貝爾慣性力，簡稱質點的質量有關，故稱為達朗貝爾慣性力，簡稱慣性力慣性力。 0 IN FFF 上述方程形式上是一靜力平衡方程。可見，由于引上述方程

5、形式上是一靜力平衡方程。可見，由于引 入了達朗貝爾慣性力，質點動力學問題轉化為形式上的入了達朗貝爾慣性力，質點動力學問題轉化為形式上的 靜力平衡問題。靜力平衡問題。 假想在運動的質點上加上慣性力，則可認為作用在質假想在運動的質點上加上慣性力，則可認為作用在質 點上的主動力、約束力以及慣性力，在形式上組成平衡力點上的主動力、約束力以及慣性力，在形式上組成平衡力 系。此即系。此即達朗貝爾原理，亦即動靜法達朗貝爾原理，亦即動靜法。 0 IN FFF 動靜法平衡方程的矢量形式動靜法平衡方程的矢量形式 動靜法平衡方程的投影形式動靜法平衡方程的投影形式 0 0 0 IN IN IN zzz yyy xxx

6、 FFF FFF FFF 慣性力與慣性力與達朗貝爾原理達朗貝爾原理 質點的慣性力與達朗貝爾原理質點的慣性力與達朗貝爾原理 應用上述方程時，除了要分析主動力、約束力外，還應用上述方程時，除了要分析主動力、約束力外，還 必須分析慣性力，并假想地加在質點上。其余過程與靜力必須分析慣性力，并假想地加在質點上。其余過程與靜力 學完全相同。學完全相同。 0 IN FFF 動靜法方程的矢量形式動靜法方程的矢量形式 動靜法方程的投影形式動靜法方程的投影形式 0 0 0 IN IN IN zzz yyy xxx FFF FFF FFF 需要注意的是，慣性力只是為了應用靜力學方法求解需要注意的是，慣性力只是為了應

7、用靜力學方法求解 動力學問題而假設的虛擬力，所謂的平衡方程，仍然反映動力學問題而假設的虛擬力，所謂的平衡方程，仍然反映 了真實力與運動之間的關系。了真實力與運動之間的關系。 質點的慣性力與達朗貝爾原理質點的慣性力與達朗貝爾原理 慣性力與慣性力與達朗貝爾原理達朗貝爾原理 已知：已知： m1球球A、B 的質量；的質量；m2重錘重錘C 的質量；的質量； l桿件的長度；桿件的長度； O1 y1軸的旋轉角速度。軸的旋轉角速度。 求：求： 的關系。的關系。 BA C O1 x1 y1 l l l l 解：解： 1. 分析受力：以球分析受力：以球 B(或或A)和重錘和重錘C 為研究對象，分析所受的主動力和為

8、研究對象，分析所受的主動力和 約束力約束力 B FT1 FT2 C FT3 F T1 m1 g m2 g 2. 分析運動：分析運動： 球繞球繞 O1y1軸作等速圓周軸作等速圓周 運動，慣性力方向與法向運動，慣性力方向與法向 加速度方向相反，其值為加速度方向相反，其值為 FIm1l 2sin 重錘靜止，無慣性力。重錘靜止，無慣性力。 00 00 11 2 11 )cos( )sin(sin T2T1 T2T1 FFgmF FFlmF y x 3. 應用動靜法：應用動靜法： m1球球A、B 的質量；的質量；m2重錘重錘C 的質量；的質量； l桿件的長度；桿件的長度； O1 y1軸的旋轉角速度。軸的

9、旋轉角速度。 C B m1 gm2 g FT1 FT2 FT3F T1 FI 對于重錘對于重錘 C T1T1T1T3T1 , cos ,FF gm FFF 2 2 對于球對于球 B: g lm mm 2 1 21 cos 00 00 11 2 11 )cos( )sin(sin T2T1 T2T1 FFgmF FFlmF y x T1T1T1T3T1 , cos ,FF gm FFF 2 2 C B m1 gm2 g FT1 FT2 FT3F T1 FI TSINGHUA UNIVERSITY 將質點的達朗貝爾原理推廣至質點系。考察由將質點的達朗貝爾原理推廣至質點系。考察由n個個 質點組成的非

10、自由質點系，對每個質點都施加慣性力，質點組成的非自由質點系，對每個質點都施加慣性力， 則則n個質點上所受的全部主動力、約束力和假想的慣個質點上所受的全部主動力、約束力和假想的慣 性力均形成空間一般力系。性力均形成空間一般力系。 對于每個質點，達朗貝爾原理均成立，即認為作對于每個質點，達朗貝爾原理均成立，即認為作 用在質點上的主動力、約束力和慣性力組成形式上的用在質點上的主動力、約束力和慣性力組成形式上的 平衡力系，則由平衡力系，則由n個質點組成的質點系上的主動力、個質點組成的質點系上的主動力、 約束力和慣性力，也組成形式上的約束力和慣性力，也組成形式上的平衡力系平衡力系。 質點系的達朗貝爾原理

11、質點系的達朗貝爾原理 慣性力與慣性力與達朗貝爾原理達朗貝爾原理 質點系的達朗貝爾原理質點系的達朗貝爾原理 TSINGHUA UNIVERSITY 為方便起見，將真實力分為內力和外力（各自包含主為方便起見，將真實力分為內力和外力（各自包含主 動力和約束力）。主矢、主矩同時等于零可以表示為動力和約束力）。主矢、主矩同時等于零可以表示為 ei RI ei I 0 ()()()0 FFFF MMFMFMF iii OOiOiOi 注意到質點系中各質點間的內力總是成對出現，注意到質點系中各質點間的內力總是成對出現， 且等值、反向，故上式中且等值、反向，故上式中 i 0F i i ()=0MF Oi 上述

12、方程變?yōu)樯鲜龇匠套優(yōu)? 0)()( 0 I e I e iOiO ii FMFM FF TSINGHUA UNIVERSITY 質點系的達朗貝爾原理質點系的達朗貝爾原理 這兩個矢量式可以寫出六個投影方程。這兩個矢量式可以寫出六個投影方程。 0)()( 0 I e I e iOiO ii FMFM FF 根據達朗貝爾原理，只要在質點系上施加慣性根據達朗貝爾原理，只要在質點系上施加慣性 力，就可以應用上述方程求解動力學問題，這就是力，就可以應用上述方程求解動力學問題，這就是 質點系的動靜法質點系的動靜法。 慣性力與慣性力與達朗貝爾原理達朗貝爾原理 TSINGHUA UNIVERSITY 慣性力系的

13、簡化慣性力系的簡化 第第11章章 達朗貝爾原理及其應用達朗貝爾原理及其應用 慣性力系的主矢與主矩慣性力系的主矢與主矩 剛體平移時慣性力系的簡化結果剛體平移時慣性力系的簡化結果 剛體作定軸轉動時慣性力系的簡化結果剛體作定軸轉動時慣性力系的簡化結果 剛體作平面運動時慣性力系的簡化結果剛體作平面運動時慣性力系的簡化結果 TSINGHUA UNIVERSITY 慣性力系的主矢與主矩慣性力系的主矢與主矩 所有慣性力組成的力的系統(tǒng)，稱為所有慣性力組成的力的系統(tǒng)，稱為慣性力系慣性力系。 與一般力系相似，慣性力系中所有慣性力的矢量與一般力系相似，慣性力系中所有慣性力的矢量 和稱為慣性力系的和稱為慣性力系的主矢

14、主矢： Cii i mmaaFF )( I IR 慣性力系中所有力向同一點簡化，所得力偶的力慣性力系中所有力向同一點簡化，所得力偶的力 偶矩矢量的矢量和，稱為慣性力系的偶矩矢量的矢量和，稱為慣性力系的主矩主矩： II ()MMF OOi 慣性力系的主矢與剛體的運動形式無關；慣性力慣性力系的主矢與剛體的運動形式無關；慣性力 系的主矩與剛體的運動形式有關。系的主矩與剛體的運動形式有關。 TSINGHUA UNIVERSITY 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 剛體平移時慣性力系的簡化結果剛體平移時慣性力系的簡化結果 剛體平移時，由于同一瞬時剛體內各質點的加剛體平移時，由于同一瞬時剛體內各質點的加 速度

15、都相同，慣性力系為平行力系，所以，慣性力速度都相同，慣性力系為平行力系，所以，慣性力 系簡化結果為通過質心系簡化結果為通過質心C的合力，用的合力，用FIR表示：表示： C maF IR 其中其中m為剛體的質量為剛體的質量; aC為剛體的質心加速度。為剛體的質心加速度。 剛體平移時慣性力系的簡化結果剛體平移時慣性力系的簡化結果 TSINGHUA UNIVERSITY 這里僅討論剛體有這里僅討論剛體有 質量對稱面且轉軸與質量對稱面且轉軸與 質量對稱面垂直的情質量對稱面垂直的情 形。這種情形下，可形。這種情形下，可 以先將慣性力系簡化以先將慣性力系簡化 在質量對稱面內，然在質量對稱面內，然 后再進一

16、步簡化。后再進一步簡化。 剛體作定軸轉動時慣性力系的簡化結果剛體作定軸轉動時慣性力系的簡化結果 剛體作定軸轉動時慣性力系的簡化結果剛體作定軸轉動時慣性力系的簡化結果 設剛體的質量為設剛體的質量為m ；剛體對軸；剛體對軸O 的轉動慣量為的轉動慣量為J O ；角速度與角加速；角速度與角加速 度分別為度分別為與與。對稱平面上。對稱平面上第第i個個質質 點的質量為點的質量為mi；至軸至軸O的距離為的距離為ri ； 切向加速度和法向加速度分別為切向加速度和法向加速度分別為ati和和 ani ，相應的慣性力分別為，相應的慣性力分別為F tIi和和F nIi 。 所有質點的慣性力組成平面力系。所有質點的慣性

17、力組成平面力系。 i 2n ii t i rara i 2 i n ii n Ii ii t ii t Ii rmamF rmamF 再將平面慣性力系向點再將平面慣性力系向點 O簡化，得一力和一力偶。簡化，得一力和一力偶。 因為所有質點的法向慣性力因為所有質點的法向慣性力 都通過都通過O點，所以所有質點點，所以所有質點 法向慣性力對法向慣性力對O點之矩的和點之矩的和 等于零：等于零： 0)( n I iO MF 于是，剛體作定軸轉動時慣性力系向點于是，剛體作定軸轉動時慣性力系向點O簡化，得到簡化，得到 nt IR )( CCCii amamamamF OiiiOO JrmMM )()( 2t

18、II F 剛體作定軸轉動時慣性力系的簡化結果剛體作定軸轉動時慣性力系的簡化結果 上述結果表明，有質量對稱面的上述結果表明，有質量對稱面的 剛體作定軸轉動，且轉軸垂直于對稱剛體作定軸轉動，且轉軸垂直于對稱 平面時，其慣性力系向軸心簡化的結平面時，其慣性力系向軸心簡化的結 果為對稱面內的一力和一力偶。果為對稱面內的一力和一力偶。 力（力（通過軸通過軸O）大小等于剛體質量與質心加速度的大小等于剛體質量與質心加速度的 乘積，方向與質心加速度相反。乘積，方向與質心加速度相反。 力偶的力偶矩等于慣性力系對轉軸的主矩，其大小力偶的力偶矩等于慣性力系對轉軸的主矩，其大小 為剛體對轉軸的轉動慣量與角加速度的乘積

19、，方向與角為剛體對轉軸的轉動慣量與角加速度的乘積，方向與角 加速度的方向相反。加速度的方向相反。 n C t CCIR mamamaF OiiiOO JrmMM )()F( 2t II 剛體作定軸轉動時慣性力系的簡化結果剛體作定軸轉動時慣性力系的簡化結果 剛體作定軸轉動時慣性力系的簡化結果剛體作定軸轉動時慣性力系的簡化結果 討論：討論： 1）轉軸通過剛體的質心）轉軸通過剛體的質心 ，角加速度，角加速度 不等于零，不等于零， 0, 0 cIRc maFa 慣性力系的簡化成一個力偶：慣性力系的簡化成一個力偶： OIO JM 2 2）剛體作勻角速度運動，）剛體作勻角速度運動，角加速度角加速度 等于零

20、，等于零，轉軸轉軸 不通過剛體的質心不通過剛體的質心， 慣性力系的簡化成一個力：慣性力系的簡化成一個力： cIR maF 慣性力大小：慣性力大小： 2 cIR mrF n C t CCIR mamamaF Oii t iIOOI J)rm()F(MM 2 TSINGHUA UNIVERSITY 在工程構件中，作平面運動的剛體往往都有質量在工程構件中，作平面運動的剛體往往都有質量 對稱面，而且剛體在平行于這一平面的平面內運動。對稱面，而且剛體在平行于這一平面的平面內運動。 因此，仍先將慣性力系簡化為對稱面內的平面力系，因此，仍先將慣性力系簡化為對稱面內的平面力系， 然后再作進一步簡化。然后再作進

21、一步簡化。 設剛體的質量為設剛體的質量為m，對對 質心軸的轉動慣量為質心軸的轉動慣量為JC，角角 速度和角加速度分別為速度和角加速度分別為和和 。 剛體作平面運動時慣性力系的簡化結果剛體作平面運動時慣性力系的簡化結果 運動學分析的結果表明，平面圖形的運動可以分解為運動學分析的結果表明，平面圖形的運動可以分解為 隨質心的平移和繞質心的轉動。隨質心的平移和繞質心的轉動。 C maF IR 因此，簡化到對稱平面內的慣因此，簡化到對稱平面內的慣 性力系由兩部分組成：剛體隨質心平性力系由兩部分組成：剛體隨質心平 移的慣性力系簡化為一移的慣性力系簡化為一通過質心的力通過質心的力； 繞質心轉動的慣性力系簡化

22、為一力偶。繞質心轉動的慣性力系簡化為一力偶。 該力和力偶分別為該力和力偶分別為 CiiiCC JrmMM )()( 2t II F 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 剛體作平面運動時慣性力系的簡化結果剛體作平面運動時慣性力系的簡化結果 TSINGHUA UNIVERSITY 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 剛體作平面運動時慣性力系的簡化結果剛體作平面運動時慣性力系的簡化結果 上述簡化結果表明，有質量對稱面的剛體作平面上述簡化結果表明，有質量對稱面的剛體作平面 運動，且運動平面平行于對稱平面時，其慣性力系向運動，且運動平面平行于對稱平面時，其慣性力系向 質心質心C簡化的結果為對稱面內的簡化的結果為對稱

23、面內的一力和一力偶一力和一力偶。 C maF IR 這一力這一力(通過質心的力通過質心的力) 大小為剛體質量與質心大小為剛體質量與質心 加速度的乘積，方向與質心加速度相反；這一力偶的加速度的乘積，方向與質心加速度相反；這一力偶的 力偶矩等于慣性力系對質心力偶矩等于慣性力系對質心C的主矩，其大小為剛體的主矩，其大小為剛體 對軸對軸C的轉動慣量與角加速度的乘積，方向與角加速的轉動慣量與角加速度的乘積，方向與角加速 度的方向相反。度的方向相反。 CiiiCC JrmMM )()( 2t II F TSINGHUA UNIVERSITY 達朗貝爾原理應用示例達朗貝爾原理應用示例 第第11章章 達朗貝爾

24、原理及其應用達朗貝爾原理及其應用 將達朗貝爾原理即動靜法應用于分析和求將達朗貝爾原理即動靜法應用于分析和求 解剛體動力學問題，一般應按以下步驟進行：解剛體動力學問題，一般應按以下步驟進行： 畫受力圖分別畫出真實力和慣性力；畫受力圖分別畫出真實力和慣性力； 建立平衡方程，得到所需要的解答。建立平衡方程，得到所需要的解答。 進行受力分析先分析主動力，再根進行受力分析先分析主動力，再根 據剛體的運動，對慣性力系加以簡化；據剛體的運動，對慣性力系加以簡化； 例例 題題 1 電動機外殼和定子的總電動機外殼和定子的總 質量為質量為m1，質心質心O與轉子的與轉子的 中心重合；轉子的質量為中心重合；轉子的質量

25、為 m2 ，由于制造或安裝誤差，由于制造或安裝誤差， 轉子的質心轉子的質心O1到定子的質到定子的質 心心O的距離為的距離為e，已知轉子已知轉子 以等角速以等角速 轉動。轉動。 求：求：電動機機座的約束力偶。電動機機座的約束力偶。 達朗貝爾原理應用示例達朗貝爾原理應用示例 解：解：現在，采用動靜法現在，采用動靜法 可以確定約束力偶。可以確定約束力偶。 電機所受真實力有電機所受真實力有 FI 達朗貝爾原理應用示例達朗貝爾原理應用示例 慣性力慣性力 m1g M2 g Fx Fy M aO2 m1g、 m2g 、 Fx 、Fy、M； FI 2 2I emF 慣性力的大小為慣性力的大小為 2 2I em

26、F 方向與質心加速度相反。因轉子方向與質心加速度相反。因轉子 勻速轉動，只有法向加速度，故勻速轉動，只有法向加速度，故 慣性力方向沿慣性力方向沿O1O2向外。向外。 應用動靜法，由平衡方程應用動靜法，由平衡方程 0 A M FI m1g m2g Fx Fy M aO2 電機所受真實力有電機所受真實力有m1g、 m2g 、 Fx 、Fy、M；慣性力如圖所示。；慣性力如圖所示。 0tetF tehtFtegmM I I2 )cos(sin )sin(coscos 0thFtegmM I2 coscos 2 2I emF )(coscoscos 2 2I2 hgtemthFtegmM TSINGHU

27、A UNIVERSITY 達朗貝爾原理應用示例達朗貝爾原理應用示例 例例 題題 2 長為長為l、重為重為W 的均質桿的均質桿 AB，其其A端閏接在鉛垂軸端閏接在鉛垂軸z上，上， 并以勻角速繞此軸轉動。并以勻角速繞此軸轉動。 求求: 當桿當桿AB與軸間的夾角與軸間的夾角 60時，時， 的數值及鉸鏈的數值及鉸鏈A處處 的約束力。的約束力。 解：解：作定軸轉動的桿作定軸轉動的桿AB對對 z軸沒有質量對稱面。但注意軸沒有質量對稱面。但注意 到在轉動的過程中，桿到在轉動的過程中，桿AB上上 的點均在垂直于軸的平面內的點均在垂直于軸的平面內 作圓周運動，且由于勻速轉作圓周運動，且由于勻速轉 動，各點僅有法

28、向加速度。動，各點僅有法向加速度。 同時由于同時由于 角為常數，所以桿角為常數，所以桿AB上的慣性力沿上的慣性力沿z方向線性方向線性 分布分布(三角形分布三角形分布)，并位于桿和軸的軸線所組成的平面內。，并位于桿和軸的軸線所組成的平面內。 長為長為l、重為重為W 的均質桿的均質桿AB，其其A端鉸接在鉛垂軸端鉸接在鉛垂軸z上，上， 并以勻角速繞此軸轉動。求并以勻角速繞此軸轉動。求: 當桿當桿AB與軸間的夾角與軸間的夾角60時，時， 的數值及鉸鏈的數值及鉸鏈A處的約束力。處的約束力。 慣性力合力的大小為慣性力合力的大小為 2 I sin 2 l g W maF C 根據三角形分布慣性力的特根據三角

29、形分布慣性力的特 點，慣性力合力作用線應通過三點，慣性力合力作用線應通過三 角形的重心，即角形的重心，即 lAD 3 2 0sin 2 cos 3 2 0 I L W lFM A 00 I xx FFF 00 WFF yy 應用動靜法，重力、應用動靜法，重力、A處的約束力和慣性力組處的約束力和慣性力組 成平衡力系成平衡力系, 有有 解得解得 0sin 2 cos 3 2 0 I L W lFM A 00 I xx FFF 00 WFF yy L g3 l W FFx 4 33 I WFy 2 I sin 2 l g W maF C 長為長為l、重為、重為W 的均質桿的均質桿AB，求，求: 當桿

30、當桿 AB與軸間的夾角與軸間的夾角 60 時，時， 的數值及鉸的數值及鉸 鏈鏈A處的約束力。處的約束力。 TSINGHUA UNIVERSITY 車載桿件車載桿件AB在在B 處為鉸鏈約束，處為鉸鏈約束，A處為光滑面約束處為光滑面約束 ，若已知汽車以等加速度，若已知汽車以等加速度 a 在平坦的路面上行駛，桿件在平坦的路面上行駛，桿件 的重量為的重量為W、長度為長度為 l ,桿件與車廂水平面的夾角為桿件與車廂水平面的夾角為。 A、B二處的約束力。二處的約束力。 參考性例題參考性例題 2. 受力分析受力分析: 桿件桿件AB跟隨汽車作平移，因此桿件上各點都具有與汽車跟隨汽車作平移，因此桿件上各點都具有

31、與汽車 行駛加速度行駛加速度a相同的加速度。相同的加速度。 應用達朗貝爾原理，在桿件應用達朗貝爾原理，在桿件AB各點上施加慣性力各點上施加慣性力ma； 解：解：1. 運動分析與加速度分析運動分析與加速度分析 桿件重力桿件重力W； 約束力約束力FNA，FBx, FBy 。 解：解：3. 應用動靜法應用動靜法 0 2 cos 2 sin0,)( N l W l malFFM AB N cossin ( cossin) 22 A WmaW Fga g 車載桿件車載桿件AB在在B處為鉸鏈約束，處為鉸鏈約束，A處為光滑面約束，汽車處為光滑面約束，汽車 以等加速度以等加速度a在平坦的路面上行駛，桿件的重量

32、為在平坦的路面上行駛，桿件的重量為W、長度為長度為l , 桿件與車廂水平面的夾角為桿件與車廂水平面的夾角為。 解：解：3. 應用動靜法應用動靜法 0sin0, N ABxx FmaFF 2 sin2 (1cos) 22 Bx Wa F g 車載桿件車載桿件AB在在B處為鉸鏈約束，處為鉸鏈約束，A處為光滑面約束，汽車處為光滑面約束，汽車 以等加速度以等加速度a在平坦的路面上行駛，桿件的重量為在平坦的路面上行駛，桿件的重量為W、長度為、長度為l , 桿件與車廂水平面的夾角為桿件與車廂水平面的夾角為 。 TSINGHUA UNIVERSITY 解：解：3. 應用動靜法應用動靜法 0cos0, N A

33、Byy FWFF 2 4 (1-sin) 4 By ga FW g 車載桿件車載桿件AB在在B處為鉸鏈約束，處為鉸鏈約束，A處為光滑面約束，處為光滑面約束， 汽車以等加速度汽車以等加速度a在平坦的路面上行駛，桿件的重量為在平坦的路面上行駛，桿件的重量為W 、長度為長度為l , 桿件與車廂水平面的夾角為桿件與車廂水平面的夾角為。 均質圓盤質量均質圓盤質量mA， 半徑半徑r，AB長長2r,質質 量為量為m,在在A處加力處加力F 使圓輪沿水平面作使圓輪沿水平面作 純滾。純滾。 問施加多大的力問施加多大的力F才使桿的才使桿的B端剛離開地面，此時輪與端剛離開地面，此時輪與 地面的靜摩擦系數是多大？地面的

34、靜摩擦系數是多大？ 解：畫出桿解：畫出桿B端剛離開地面受力圖（右），慣性力：端剛離開地面受力圖（右），慣性力： ga mgrrFFMmaF ICAIC 3 030cos30sin, 0)(, 整個系統(tǒng)受力圖，慣性力：整個系統(tǒng)受力圖，慣性力： r am r a rmMamF A AIAAIA 22 1 , 2 圓盤質量圓盤質量mA，半，半 徑徑r，AB長長2r,質量質量 為為m。 對整個和圓輪列平衡方程：對整個和圓輪列平衡方程： 0)(, 0 gmmFF ANygmmfFfF AsNss )( r am MamF A IAAIA 2 , gm am FMrFFM A A sIAsA 2 3 2

35、, 0, 0)( )(2 3 mm m F F f A A N s s ga3 摩擦系數：摩擦系數： 圓盤質量圓盤質量mA，半，半 徑徑r，AB長長2r,質量質量 為為m。 水平方向力水平方向力F，對整個系統(tǒng)列平衡方程：，對整個系統(tǒng)列平衡方程： 0, 0 sICIAx FFFFF maFr am MamF IC A IAAIA , 2 , gmF As 2 3 ga3 水平方向力：水平方向力： gm m F A 3) 2 3 ( 達朗貝爾原理應用示例達朗貝爾原理應用示例 例例 題題 4 均質圓柱體重為均質圓柱體重為W，半徑，半徑 為為R，沿傾斜平板從靜止狀態(tài)開，沿傾斜平板從靜止狀態(tài)開 始，自固

36、定始，自固定O處向下作純滾動。處向下作純滾動。 平板相對水平線的傾角為平板相對水平線的傾角為 ，忽，忽 略板的重量。略板的重量。 試求：試求： 固定端固定端O處的約束力。處的約束力。 解：解：1. 首先確定圓柱體的質心加速度和角加速度。首先確定圓柱體的質心加速度和角加速度。 II sin0 C WRF RM 以圓柱體為研究對象，畫出包括真以圓柱體為研究對象，畫出包括真 實力和慣性力系的受力圖。對實力和慣性力系的受力圖。對A點取點取 矩，有矩，有 0 A M IICCC W FaMJ g , 由于圓柱體純滾動，因而有由于圓柱體純滾動，因而有 RaC R g 3 2 sin 2. 確定固定端的約束

37、力確定固定端的約束力 以整體為研究對象，畫出受力圖。以整體為研究對象，畫出受力圖。 動靜法的平衡方程為動靜法的平衡方程為 0 0 I I 00II 0cos0 0sin0 0sincos0 xx yy C FFF FFFW MMMFRWRWS IICCC W FaMJ g ,RaC 0 0 I 2 I 0II 2 cossin cossin2 33 2 sin(1sin) 3 sincos cos x y C WW FF FWFW MWRWsMF RWs R g 3 2 sin TSINGHUA UNIVERSITY 剛體慣性力剛體慣性力系的主矢與剛體運動形式無關系的主矢與剛體運動形式無關 I

38、R FaCm1. 平移平移 2. 定軸轉動定軸轉動 tn IR ()Faaa CCC mm 3. 平面運動平面運動 C maF IR 剛體慣性力系的簡化結果剛體慣性力系的簡化結果 TSINGHUA UNIVERSITY 慣性力慣性力系的主矩系的主矩 慣性力慣性力系的主矩系的主矩 與剛體的運動形式有關。與剛體的運動形式有關。 1. 平移平移 0 I C M 2. 定軸轉動定軸轉動 OO JM I 3. 平面運動平面運動 CC JM I 結論與討論結論與討論 剛體慣性力系的簡化結果剛體慣性力系的簡化結果 TSINGHUA UNIVERSITY 關于繞定軸轉動剛體的軸承動約束力關于繞定軸轉動剛體的軸

39、承動約束力 工程中，由于轉子繞定軸高速旋轉，常使軸承受巨工程中，由于轉子繞定軸高速旋轉，常使軸承受巨 大的附加的動約束力大的附加的動約束力(dynamics constraint force)，又稱動，又稱動 反力。尤其由于制造和安裝誤差等非設計原因，使得旋反力。尤其由于制造和安裝誤差等非設計原因，使得旋 轉零件或部件的質心與旋轉軸不重合轉零件或部件的質心與旋轉軸不重合(偏心偏心)，或者旋轉零，或者旋轉零 件或部件所在的平面與旋轉軸不垂直件或部件所在的平面與旋轉軸不垂直(偏角偏角)。偏心和偏角。偏心和偏角 引起的慣性力都會在旋轉軸的軸承處引起動約束力，從引起的慣性力都會在旋轉軸的軸承處引起動約

40、束力，從 而導致零件或部件的損壞和劇烈振動。而導致零件或部件的損壞和劇烈振動。 通常作用在旋轉軸上的約束力由兩部分組成：一部通常作用在旋轉軸上的約束力由兩部分組成：一部 分是由主動力引起的約束力稱為分是由主動力引起的約束力稱為靜反力靜反力；另一部分是由；另一部分是由 慣性力引起的約束力稱為慣性力引起的約束力稱為附加動反力附加動反力。靜反力是無法避。靜反力是無法避 免的，而附加的動反力卻是可以避免的。免的，而附加的動反力卻是可以避免的。 TSINGHUA UNIVERSITY TSINGHUA UNIVERSITY TSINGHUA UNIVERSITY 若剛體的轉軸通過質心，且剛體除重力外，沒

41、有若剛體的轉軸通過質心，且剛體除重力外，沒有 其它主動力作用，則剛體可在任意位置靜止不動，這其它主動力作用，則剛體可在任意位置靜止不動，這 種現象稱為靜平衡；當剛體的轉軸是中心慣性主軸時，種現象稱為靜平衡；當剛體的轉軸是中心慣性主軸時， 剛體轉動時不出現動反力，這種現象稱為動平衡。剛體轉動時不出現動反力，這種現象稱為動平衡。 動平衡的剛體一定是靜平衡，靜平衡的剛體不一動平衡的剛體一定是靜平衡，靜平衡的剛體不一 定動平衡。定動平衡。 工程中為消除高速旋轉剛體的附加動反力，必須工程中為消除高速旋轉剛體的附加動反力，必須 先使其靜平衡，即把質心調整到轉軸上，然后再通過先使其靜平衡，即把質心調整到轉軸

42、上，然后再通過 增加或減少某些部位的質量使其動平衡，動平衡一般增加或減少某些部位的質量使其動平衡，動平衡一般 在動平衡機上進行。在動平衡機上進行。 結論與討論結論與討論 關于繞定軸轉動剛體的軸承動約束力關于繞定軸轉動剛體的軸承動約束力 研究表明，當旋轉軸為剛體（或質點系）的質量研究表明，當旋轉軸為剛體（或質點系）的質量 對稱軸時，軸承的動反力為零。對稱軸時，軸承的動反力為零。 關于動靜法與動量矩定理關于動靜法與動量矩定理 達朗貝爾原理雖與普遍定理的思路不同，但卻獲得了與達朗貝爾原理雖與普遍定理的思路不同，但卻獲得了與 動量定理、動量矩定理形式上等價的動力學方程。請大家結動量定理、動量矩定理形式

43、上等價的動力學方程。請大家結 合對例題合對例題4的分析過程與分析方法的再思考，研究：的分析過程與分析方法的再思考，研究： 例題例題4中，確定圓柱體的質心加速度時，以圓柱體為研究中，確定圓柱體的質心加速度時，以圓柱體為研究 對象，建立了真實力、慣性力對對象，建立了真實力、慣性力對C點的力矩平衡方程，加上運點的力矩平衡方程，加上運 動學分析結果，非常簡潔地求出質心加速度和角加速度；這與動學分析結果，非常簡潔地求出質心加速度和角加速度；這與 應用相對瞬心的動量矩定理得到的方程結果完全一致。應用相對瞬心的動量矩定理得到的方程結果完全一致。 應用動靜法時，可列出對任意點的力矩平衡方程；用動應用動靜法時，

44、可列出對任意點的力矩平衡方程；用動 量矩定理時，對圓柱體而言只能列出對質心量矩定理時，對圓柱體而言只能列出對質心C或對瞬心的動或對瞬心的動 量矩方程。這是為什麼？量矩方程。這是為什麼？ 根據動靜法和動量矩定理各自的特點，加以認真總結，根據動靜法和動量矩定理各自的特點，加以認真總結， 便于今后使用時能采用最佳的方法。便于今后使用時能采用最佳的方法。 動力學普遍定理與動靜法的綜合應用動力學普遍定理與動靜法的綜合應用 應用動靜法解題的關鍵是慣性力系的簡化，而正確簡化應用動靜法解題的關鍵是慣性力系的簡化，而正確簡化 慣性力的前提是準確的運動分析。因此將動力學普遍定理與慣性力的前提是準確的運動分析。因此

45、將動力學普遍定理與 動靜法綜合應用，往往會達到事半功倍的效果。動靜法綜合應用，往往會達到事半功倍的效果。 請分析研究直線行駛的卡車請分析研究直線行駛的卡車 分別用動量定理、動量矩定理和動能定理求運動，再分別用動量定理、動量矩定理和動能定理求運動，再 用動靜法求約束反力。用動靜法求約束反力。 結論與討論結論與討論 動力學普遍定理與動靜法的綜合應用動力學普遍定理與動靜法的綜合應用 應用動靜法解題的關鍵是慣性力系的簡化，而正確簡化應用動靜法解題的關鍵是慣性力系的簡化，而正確簡化 慣性力的前提是準確的運動分析。因此將動力學普遍定理與慣性力的前提是準確的運動分析。因此將動力學普遍定理與 動靜法綜合應用，往往會達到事半功倍的效果。動靜法綜合應用，往往會達到事半功倍的效果。 請分析研究安裝在懸臂請分析研究安裝在懸臂 梁端的電動機提升設備梁端的電動機提升設備 分別用動量定理、分別用動量定理、 動量矩定理和動能定理求動量矩定理和動能定理求 運動，再用動靜法求約束運動，再用動靜法求約束 反力。反力。 結論與討論結