1、4.1 市場經濟中的蛛網模型市場經濟中的蛛網模型 4.2 減肥計劃減肥計劃節食與運動節食與運動 4.3 差分形式的阻滯增長模型差分形式的阻滯增長模型 4.4 按年齡分組的種群增長按年齡分組的種群增長 第四講第四講 差分方程模型差分方程模型 4.1 市場經濟中的蛛網模型市場經濟中的蛛網模型 問問 題題 供大于求供大于求 現現 象象 商品數量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩定商品數量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩定 當不穩定時政府能采取什么干預手段使之穩定當不穩定時政府能采取什么干預手段使之穩定 價格下降價格下降減少產量減少產量 增加產量增加產量價格上漲價格上漲供不應求供不應求 描述商品數量與價格的

2、變化規律描述商品數量與價格的變化規律 數量與價格在振蕩數量與價格在振蕩 蛛蛛 網網 模模 型型 g x0 y0P0 f x y 0 xk第第k時段商品數量；時段商品數量；yk第第k時段商品價格時段商品價格 消費者的需求關系消費者的需求關系)( kk xfy 生產者的供應關系生產者的供應關系 減函數減函數 增函數增函數供應函數供應函數 需求函數需求函數 f與與g的交點的交點P0(x0,y0) 平衡點平衡點 一旦一旦xk=x0，則，則yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )( 1kk yhx )( 1 kk xgy x y 0 f g y0 x0 P0 設設x1

3、偏離偏離x0 x1 x2 P2 y1 P1 y2 P3 P4 x3 y3 32211 xyxyx 0321 PPPP 00, yyxx kk P0是穩定平衡點是穩定平衡點 P1 P2 P3 P4 P0是不穩定平衡點是不穩定平衡點 gf KK x y 0 y0 x0 P0 f g )( kk xfy )( 1kk yhx )( 1 kk xgy 00, yyxx kk gf KK 曲線斜率曲線斜率 蛛蛛 網網 模模 型型 0321 PPPP )( kk xfy )( 1kk yhx 在在P0點附近用直線近似曲線點附近用直線近似曲線 )0()( 00 xxyy kk )0()( 001 yyxx

4、kk )( 001 xxxx kk )()( 0101 xxxx k k 1 P0穩定穩定 P0不穩定不穩定 0 xxk k x f K g K/1 )/ 1( )/ 1( 1 方方 程程 模模 型型 gf KK gf KK 方程模型與蛛網模型的一致方程模型與蛛網模型的一致 )( 00 xxyy kk 商品數量減少商品數量減少1單位單位, 價格上漲幅度價格上漲幅度 )( 001 yyxx kk 價格上漲價格上漲1單位單位, (下時段下時段)供應的增量供應的增量 考察考察 , 的含義的含義 消費者對需求的敏感程度消費者對需求的敏感程度 生產者對價格的敏感程度生產者對價格的敏感程度 小小, 有利于

5、經濟穩定有利于經濟穩定 小小, 有利于經濟穩定有利于經濟穩定 結果解釋結果解釋 xk第第k時段商品數量；時段商品數量；yk第第k時段商品價格時段商品價格 1經濟穩定經濟穩定 結果解釋結果解釋 經濟不穩定時政府的干預辦法經濟不穩定時政府的干預辦法 1. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0 以行政手段控制價格不變以行政手段控制價格不變 2. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0 靠經濟實力控制數量不變靠經濟實力控制數量不變 x y 0 y0 g f x y 0 x0 g f 結果解釋結果解釋 需求曲線變為水平需求曲線變為水平 供應曲線變為豎直供應曲線變為豎直 2/ )( 0101 yyyxx kkk 模

6、型的推廣模型的推廣 生產者根據當前時段和前一時生產者根據當前時段和前一時 段的價格決定下一時段的產量。段的價格決定下一時段的產量。 )( 00 xxyy kk 生產者管理水平提高生產者管理水平提高 設供應函數為設供應函數為 需求函數不變需求函數不變 , 2 , 1,)1 (22 012 kxxxx kkk 二階線性常系數差分方程二階線性常系數差分方程 x0為平衡點為平衡點研究平衡點穩定，即研究平衡點穩定，即k, xkx0的條件的條件 )( 1kk yhx 2 1 1 kk k yy hx 4 8)( 2 2, 1 012 )1 (22xxxx kkk 方程通解方程通解 kk k ccx 221

7、1 (c1, c2由初始條件確定由初始條件確定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 02 2 平衡點穩定，即平衡點穩定，即k, xkx0的條件的條件:1 2,1 2平衡點穩定條件平衡點穩定條件 比原來的條件比原來的條件 放寬了放寬了1 2 2, 1 模型的推廣模型的推廣 4.2 減肥計劃減肥計劃節食與運動節食與運動 背背 景景 多數減肥食品達不到減肥目標，或不能維持多數減肥食品達不到減肥目標，或不能維持 通過控制飲食和適當的運動，在不傷害身體通過控制飲食和適當的運動，在不傷害身體 的前提下，達到減輕體重并維持下去的目標的前提下，達到減輕體重并維持下去的目標 分分 析析 體重變化由

8、體內能量守恒破壞引起體重變化由體內能量守恒破壞引起 飲食（吸收熱量）引起體重增加飲食（吸收熱量）引起體重增加 代謝和運動（消耗熱量）引起體重減少代謝和運動（消耗熱量）引起體重減少 體重指數體重指數BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超重超重; BMI30 肥胖肥胖. 模型假設模型假設 1）體重增加正比于吸收的熱量）體重增加正比于吸收的熱量 每每8000千卡增加體重千卡增加體重1千克；千克； 2）代謝引起的體重減少正比于體重）代謝引起的體重減少正比于體重 每周每公斤體重消耗每周每公斤體重消耗200千卡千卡 320千卡千卡(因人而異因人而異), 相當于相當于70千克的人每天消耗

9、千克的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡； 3）運動引起的體重減少正比于體重，且與運動）運動引起的體重減少正比于體重，且與運動 形式有關；形式有關； 4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5 千克，每周吸收熱量不要小于千克，每周吸收熱量不要小于10000千卡。千卡。 某甲體重某甲體重100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收20000千卡熱量，千卡熱量， 體重維持不變。現欲減肥至體重維持不變。現欲減肥至75千克。千克。 第一階段：每周減肥第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減千克，每周吸收熱量逐漸減 少，直至達到下限（少，直至達到下

10、限（10000千卡）；千卡）； 第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達到目標第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達到目標 2）若要加快進程，第二階段增加運動，試安排計劃。）若要加快進程，第二階段增加運動，試安排計劃。 1）在不運動的情況下安排一個兩階段計劃。）在不運動的情況下安排一個兩階段計劃。 減肥計劃減肥計劃 3）給出達到目標后維持體重的方案。）給出達到目標后維持體重的方案。 )()1()()1(kwkckwkw 千卡）千克 /(80001 確定某甲的代謝消耗系數確定某甲的代謝消耗系數 即每周每千克體重消耗即每周每千克體重消耗 20000/100=200千卡千卡 基本模型基本模型 w(k)

11、 第第k周周(末末)體重體重c(k) 第第k周吸收熱量周吸收熱量 代謝消耗系數代謝消耗系數(因人而異因人而異) 1）不運動情況的兩階段減肥計劃）不運動情況的兩階段減肥計劃 每周吸收每周吸收20000千卡千卡 w=100千克不變千克不變 wcww025. 0 1008000 20000 w c 第一階段第一階段: w(k)每周減每周減1千克千克, c(k)減至下限減至下限10000千卡千卡 1) 1()(kwkw k20012000 )() 1()() 1(kwkckwkw 第一階段第一階段10周周, 每周減每周減1千克，第千克，第10周末體重周末體重90千克千克 10k kwkw)0()( )

12、1( 1 )0()1(kwkc 80001 025.0 9, 1 , 0,20012000) 1(kkkc吸收熱量為吸收熱量為 1）不運動情況的兩階段減肥計劃）不運動情況的兩階段減肥計劃 1)( 1 )1(kwkc 10000 m C )1 ()1 (1 )()1 ()( 1 n m n Ckwnkw 第二階段：每周第二階段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)減至減至75千克千克 代入得以10000, 8000 1 ,025. 0 m C 5050)(975. 0)(kwnkw n mm n CC kw)()1 ( 1）不運動情況的兩階段減肥計劃）不運動情況的兩階段減肥計劃 )() 1()(

13、) 1(kwkckwkw基本模型基本模型 m Ckwkw)()1 () 1( nnkwkw求，要求已知75)(,90)( 50)5090(975.075 n 第二階段：每周第二階段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)減至減至75千克千克 5050)(975.0)(kwnkw n 第二階段第二階段19周周, 每周吸收熱量保持每周吸收熱量保持10000千卡千卡, 體重按體重按 減少至減少至75千克。千克。)19, 2 , 1(50975. 040)(nnw n 19 975. 0lg )40/25lg( n )028. 0()025. 0(t24,003. 0tt即取 運動運動 t=24 (每周

14、每周跳舞跳舞8小時或自行車小時或自行車10小時小時), 14周即可。周即可。 2）第二階段增加運動的減肥計劃）第二階段增加運動的減肥計劃 根據資料每小時每千克體重消耗的熱量根據資料每小時每千克體重消耗的熱量 (千卡千卡): 跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓 自行車自行車(中速中速) 游泳游泳(50米米/分分) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 t每周運動每周運動 時間時間(小時小時)()( ) 1()() 1( kwt kckwkw 基本基本 模型模型 6 .44)6 .4490(972. 075 n 14n mm n CC kwnkw)()1()( 3）達到目標體重）達到目標體重75千克后

15、維持不變的方案千克后維持不變的方案 )()() 1()() 1(kwtkckwkw 每周吸收熱量每周吸收熱量c(k)保持某常數保持某常數C，使體重，使體重w不變不變 wtCww)( wt C )( )(1500075025. 08000千卡C 不運動不運動 )(1680075028. 08000千卡C 運動運動(內容同前內容同前) )1()( N x rxtx ,2, 1),1 ( 1 k N y ryyy k kkk 4.3 差分形式的阻滯增長模型差分形式的阻滯增長模型 連續形式連續形式的阻滯增長模型的阻滯增長模型 (Logistic模型模型) t, xN, x=N是是穩定平衡點穩定平衡點(

16、與與r大小無關大小無關) 離散離散 形式形式 x(t) 某種群某種群 t 時刻的數量時刻的數量(人口人口) yk 某種群第某種群第k代的數量代的數量(人口人口) 若若yk=N, 則則yk+1,yk+2,=N 討論平衡點的穩定性，即討論平衡點的穩定性，即k, ykN ？ y*=N 是平衡點是平衡點 kk y Nr r x ) 1( 1rb記 ) 1 ()1 ( 1 N y ryyy k kkk 離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩定性離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩定性 kkk y Nr r yry ) 1( 1) 1( 1 )2()1 ( 1kkk xbxx 一階一階(非線性非線性)差分方程差

17、分方程 (1)的平衡點的平衡點y*=N 討論討論 x* 的穩定性的穩定性 變量變量 代換代換 (2)的平衡點的平衡點 br r x 1 1 1 * (1)的平衡點的平衡點 x*代數方程代數方程 x=f(x)的根的根 穩定性判斷穩定性判斷 )2()()( * 1 xxxfxfx kk (1)的近似線性方程的近似線性方程 x*也是也是(2)的平衡點的平衡點 1)( * x f x*是是(2)和和(1)的穩定平衡點的穩定平衡點 1)( * x f x*是是(2)和和(1)的不穩定平衡點的不穩定平衡點 補充知識補充知識 一階非線性差分方程一階非線性差分方程) 1 ()( 1kk xfx 的平衡點及穩定

18、性的平衡點及穩定性 )21()( * xbxf 1)( * x f 0 y x xy )(xfy 4/b * x2/1 1 )1 ()(xbxxfx )1 ( 1kkk xbxx 的平衡點及其穩定性的平衡點及其穩定性 平衡點平衡點 b x 1 1 * 穩定性穩定性 31 b 2/ 1/ 11 * bx * xxk（單調增） 0 x 1 x 1 x 2 x x* 穩定穩定 21)1( b ) 1)(3 * xfbx* 不不穩定穩定 另一平衡另一平衡 點為點為 x=0 1 rb 1)0(bf 不穩定不穩定 b 2 3)3(b 01/21 y 4/b xy )(xfy 0 x 1 x * x 2 x

19、 x 32)2( b 2/ 1/ 11 * bx * xxk（振蕩地） y 0 x xy )(xfy 0 x 1 x 2 x * x2/11 4/b * xxk（不） )1 ( 1kkk xbxx 的平衡點及其穩定性的平衡點及其穩定性 )1 ( 1kkk xbxx 初值初值 x0=0.2 數值計算結果數值計算結果 b x 1 1 * b 3.57, 不存在任何收斂子序列不存在任何收斂子序列 混沌現象混沌現象 4倍周期收斂倍周期收斂 )1 ( 1kkk xbxx 的收斂、分岔及混沌現象的收斂、分岔及混沌現象 b 4.4 按年齡分組的種群增長按年齡分組的種群增長 不同年齡組的繁殖率和死亡率不同不同

20、年齡組的繁殖率和死亡率不同 建立差分方程模型，討論穩定狀況下種群的增長規律建立差分方程模型，討論穩定狀況下種群的增長規律 假設與建模假設與建模 種群按年齡大小等分為種群按年齡大小等分為n個年齡組，記個年齡組，記i=1,2, , n 時間離散為時段，長度與年齡組區間相等，記時間離散為時段，長度與年齡組區間相等，記k=1,2, 以雌性個體數量為對象以雌性個體數量為對象 第第i 年齡組年齡組1雌性個體在雌性個體在1時段內的時段內的繁殖率繁殖率為為bi 第第i 年齡組在年齡組在1時段內的死亡率為時段內的死亡率為di, 存活率存活率為為si=1- di 1, 2 , 1),() 1( 1 nikxskx

21、 iii 假設假設 與與 建模建模 xi(k)時段時段k第第i 年齡組的種群數量年齡組的種群數量 )() 1(kLxkx )0()(xLkx k T n kxkxkxkx)(),(),()( 21 按年齡組的分布向量按年齡組的分布向量 預測任意時段種群預測任意時段種群 按年齡組的分布按年齡組的分布 00 0 000 1 2 1 121 n nn s s s bbbb L Leslie矩陣矩陣(L矩陣矩陣) )() 1( 1 1 kxbkx i n i i (設至少設至少1個個bi0) 穩定狀態分析的數學知識穩定狀態分析的數學知識 nk k , 3 , 2, 1 L矩陣存在矩陣存在正單特征根正單特征根 1， 若若L矩陣存在矩陣存在bi, bi+10, 則則 nk k , 3 ,2, 1 )0()(xLkx k 1 1 ),( PdiagPL n P的第的第1列是列是x* )0()0, 0 , 1 ( )( lim 1 1 xPPdiag kx k k T n