1、第八章 彈性體的應力和應變 8.1 彈性體的拉伸和壓縮彈性體的拉伸和壓縮 8.1.1外力外力內力與應力內力與應力 8.1.2直桿的線應變直桿的線應變 8.1.3胡克定律胡克定律 8.1.4拉伸和壓縮的形變勢能拉伸和壓縮的形變勢能 前面，我們討論的對象是從質點到剛體，都 是理想模型，質點不考慮物體的形狀、大小，剛 體有形狀大小但無形變。實際上，任何物體在力 的作用下，都會發生或多或少形狀大小的變（叫 做形變），有些物理現象，從本質上就是由形變 引起的，如聲音在彈性媒質中的傳播就和媒質內 發生的形變密切相關，而在工程技術的許多實際 問題中，形變常常起著重要的作用。 彈性形變彈性形變在外力作用下物體

2、變形，當外力不在外力作用下物體變形，當外力不 超過某一限度時，當外力撤除后，在外力作用下超過某一限度時，當外力撤除后，在外力作用下 所發生的形狀和體積的變化完全消失，而恢復原所發生的形狀和體積的變化完全消失，而恢復原 狀的形變狀的形變. 彈性體彈性體彈性形變的物體，是一種理想模型。彈性形變的物體，是一種理想模型。 物體在外力除去后的殘余變形很小時，一般就物體在外力除去后的殘余變形很小時，一般就 把它當作彈性體處理。把它當作彈性體處理。 彈性的形變有拉伸壓縮、剪切、扭轉和彎曲彈性的形變有拉伸壓縮、剪切、扭轉和彎曲. 拉伸壓縮和剪切形變是最基本的形變拉伸壓縮和剪切形變是最基本的形變. 作用在桿件上

3、的外力合力的作用線與桿件作用在桿件上的外力合力的作用線與桿件 軸線重合，桿件變形是沿軸線方向的伸長軸線重合，桿件變形是沿軸線方向的伸長 或縮短。或縮短。 桿的受力簡圖為桿的受力簡圖為 FF 拉伸拉伸 FF 壓縮壓縮 8.1 彈性體的拉伸和壓縮彈性體的拉伸和壓縮 8.1.1外力外力內力與應力內力與應力 工程實例工程實例 F F AB F F F F F F AB F F F F F n e F n e 外力外力 F F FF 內力內力 F 不計桿自身重量不計桿自身重量 FFF 應力應力 S Fn Fn是內力在外法線方向的投影是內力在外法線方向的投影, S是橫截面積是橫截面積 單位：帕單位：帕,

4、N/m2 1、縱向變形（軸向變形） 基本情況下(等直桿，兩端受軸向力)： 桿件在軸線方向的伸長 lll 1 縱向應變 l l Fl l S 引進比例常數E，且注意到F = FN，有 N F l l ES 胡克定律(Hookes law),適用于拉(壓)桿。 式中：E 稱為彈性模量(modulus of elasticity)（楊氏模量），由 實驗測定，其量綱為ML-1T-2，單位為Pa；ES 桿的拉伸(壓 縮)剛度。 N F l l ES 0 N Fl E Sl E E 單軸應力狀態下的胡克定律 低碳鋼(Q235)： GPa210GPa200 Pa1010. 2Pa1000. 2 1111 E

5、 E即： b bb b b 1 （僅形變較小時成立）（僅形變較小時成立） 胡克定律胡克定律 E E是彈性模量是彈性模量(楊氏模量楊氏模量),是描寫材料本身彈性的物理量是描寫材料本身彈性的物理量. F l O C D B O A B P P 是塑性應變是塑性應變. 斷裂點斷裂點 彈性極限彈性極限 骨骨馬馬牛牛豬豬人人 拉伸彈性模量拉伸彈性模量 股骨股骨25.525.014.917.6 脛骨脛骨23.824.517.218.4 肱骨肱骨17.818.314.617.5 橈骨橈骨22.825.915.818.9 壓縮彈性模量壓縮彈性模量 股骨股骨9.40.4 7 8.74.9 脛骨脛骨8.55.1

6、肱骨肱骨9.05.0 橈骨橈骨8.45.3 表表8.3 密質骨的彈性模量密質骨的彈性模量/GPa 常用材料的許用應力約值 (適用于常溫、靜荷載和一般工作條件下的拉桿和壓桿） 材料名稱 牌號 許用應力 /MPa 低碳鋼 低合金鋼 灰口鑄鐵 混凝土 混凝土 紅松（順紋） Q235 16Mn C20 C30 170 230 3454 0.44 0.6 6.4 170 230 160200 7 10.3 10 軸向拉伸軸向壓縮 8.1.4拉伸和壓縮的形變勢能拉伸和壓縮的形變勢能 設形變量設形變量 ，直桿形變前，直桿形變前 =0；發生形變；發生形變 l , = l 彈性力是保守力彈性力是保守力. 彈性力

7、所做的功等于彈性體彈性勢能的減少彈性力所做的功等于彈性體彈性勢能的減少. 0 n l SEF 胡克定律胡克定律 外力做功外力做功 d 0 n l FA l l ES 0 0 d 0 2 0 ) ( 2 1 Sl l l E 設未形變時勢能為零，設未形變時勢能為零， 則則 VEE 2 p 2 1 彈性勢能彈性勢能 彈性勢能密度彈性勢能密度 20 p 2 1 EE 例題例題本段標題為桿的拉伸壓縮，但并非僅直桿內存在拉本段標題為桿的拉伸壓縮，但并非僅直桿內存在拉 伸壓縮應力伸壓縮應力.如圖表示裝高壓氣體的薄壁圓柱形容器的橫如圖表示裝高壓氣體的薄壁圓柱形容器的橫 斷面。壁厚為斷面。壁厚為d 且圓柱的半

8、徑為且圓柱的半徑為R. 氣體壓強為氣體壓強為p ，求壁內，求壁內 沿圓周切向的應力沿圓周切向的應力.不計容器自重且不計大氣壓不計容器自重且不計大氣壓. R d 2pR d d 解解 受力如圖所示受力如圖所示 令令l為圓柱形容器的長度為圓柱形容器的長度 按平衡條件得按平衡條件得 即器壁沿圓周切向受拉應力即器壁沿圓周切向受拉應力. 022 dlpRl dRp/ 則，則， 8.2 彈性體的剪切形變彈性體的剪切形變 8.2.1剪切形變剪切形變切應切應力與切應變力與切應變 8.2.2剪切形變的胡克定律剪切形變的胡克定律 剪切的概念剪切的概念 l受力特征受力特征：作用在構件兩側面上的橫向外力的合力：作用在

9、構件兩側面上的橫向外力的合力 大小相等，方向相反，作用線相距很近。大小相等，方向相反，作用線相距很近。 l變形特征變形特征：兩力間的橫截面發生錯動。這種變形形兩力間的橫截面發生錯動。這種變形形 式叫做式叫做剪切剪切。 鉚釘連接鉚釘連接 銷軸連接銷軸連接 工程實例工程實例 工 程 實 例 剪切形變剪切形變切應切應力與切應變力與切應變 剪切形變剪切形變物體受到力偶作用使物體兩個平行物體受到力偶作用使物體兩個平行 截面間發生相對平行移動截面間發生相對平行移動. F F A B C D 切應力切應力 S F S是截面是截面ABCD的面積，的面積， FF 物體受到力偶物體受到力偶 發生剪切變形發生剪切變

10、形 切應力具有與正應力相同的量綱和單位切應力具有與正應力相同的量綱和單位. 1.切應力切應力 剪切應力互等定律：剪切應力互等定律：作用于互相垂直的假想截面上并作用于互相垂直的假想截面上并 垂直于該兩平面交線的切應力相等垂直于該兩平面交線的切應力相等. a b c F F F F 力偶矩力偶矩 ),(),(FFMFFM 2.剪切應力互等剪切應力互等 和和 分別表示上下底面和左右側面的切應力分別表示上下底面和左右側面的切應力 acbbca )()( 3.剪切應變描述剪切應變描述 a bc d b c 剪切形變特征剪切形變特征: ccbb 切應變切應變 : 平行截面間相對滑平行截面間相對滑 移與截面

11、垂直距離之比移與截面垂直距離之比. ab b b tan即即 形變小時，形變小時， tan ab b b 又稱切變角又稱切變角. 8.2.2剪切形變的胡克定律剪切形變的胡克定律 即即 G G稱切變模量，稱切變模量，由材料彈性決定由材料彈性決定. G反映材料抵抗剪反映材料抵抗剪 切形變的能力，切形變的能力， 單位與彈性模量相同單位與彈性模量相同. 剪切形變的胡克定律剪切形變的胡克定律若形變在一定限度內，切若形變在一定限度內，切 應力與切應變成正比應力與切應變成正比. 彈性模量彈性模量E、切變模量、切變模量G和泊松系數和泊松系數 之間的關系為之間的關系為 )1(2 E G 1. 剪切形變的胡克定律

12、剪切形變的胡克定律 2. E、G和和 之間關系的定性說明之間關系的定性說明 F F 設桿所受外界拉力一定設桿所受外界拉力一定. 一定時，一定時，E與與G成正比成正比. E一定時，一定時， 大大G小小， 小小G大大 單位體積剪切形變的彈性勢能為單位體積剪切形變的彈性勢能為 20 p 2 1 GE 8.3彎曲和扭轉彎曲和扭轉 8.3.1梁的彎曲梁的彎曲 8.3.2桿的扭轉桿的扭轉 13.1 13.1 工程中的彎曲變形問題工程中的彎曲變形問題 2.2.火車輪軸火車輪軸 二、二、 純彎曲時的正應力純彎曲時的正應力 (1) 幾何關系幾何關系變形與應變 觀察在豎直平面內發生純彎曲的梁，研究其表面變形情況

13、彎曲前畫在梁的側面上相鄰橫向線mm和nn間的縱向直線 段aa和bb，在梁彎曲后成為弧線，靠近梁的頂面的線段aa 縮短，而靠近梁的底面的線段bb則伸長； 8.3.1梁的彎曲梁的彎曲 梁的彎曲和桿的扭轉都可以看成是由拉伸壓縮梁的彎曲和桿的扭轉都可以看成是由拉伸壓縮 和剪切形變兩種基本形變的組合和剪切形變兩種基本形變的組合. 1N F 2N F 1p F 2p F AA B CC B M1 M2 A A B C B C 矩形橫截面梁矩形橫截面梁 ，不計自重，不計自重 ,如圖如圖 2p1p FF 2N1N FF 2p1p FF 之之間間彎彎曲曲和和形形成成二二力力偶偶使使梁梁在在和和和和 2p2p2p

14、2N1p1N FFFFFF M A A b h 彎曲形變特點彎曲形變特點: 彎曲后，靠近上緣各層發生壓縮形變；靠近下彎曲后，靠近上緣各層發生壓縮形變；靠近下 緣各層，發生拉伸形變緣各層，發生拉伸形變. 處于中間的的處于中間的的CC 層層(中性中性 層層)既不伸長也不壓縮既不伸長也不壓縮. 中性層曲率中性層曲率 3 12 Ebh M K M是加于梁的力偶矩，是加于梁的力偶矩，E為材料的楊氏模量，為材料的楊氏模量，b為梁為梁 寬度，寬度，h為梁的高度為梁的高度. 11、合理布置支座、合理布置支座 提高彎曲強度和剛度的措施提高彎曲強度和剛度的措施 22、合理布置載荷、合理布置載荷 F L/6 5FL

15、/36 安裝齒輪安裝齒輪靠近軸承一側；靠近軸承一側； 33、集中力分散、集中力分散 F 二、梁的合理截面二、梁的合理截面 1、合理設計截面合理設計截面 抗彎截面系數抗彎截面系數WWZ Z越大、橫截面面積越大、橫截面面積A A越小，越小，截面越合理。截面越合理。 A W z 來衡量截面的經濟性與合理性來衡量截面的經濟性與合理性 合理截面合理截面 合理截面合理截面 伽利略伽利略16381638年年關于兩種新科學的對話和證明關于兩種新科學的對話和證明 “空心梁能大大提高強度，而無須增加重量，空心梁能大大提高強度，而無須增加重量， 所以在技術上得到廣泛應用。所以在技術上得到廣泛應用。 在自然界就更為普

16、遍了，在自然界就更為普遍了， 這樣的例子在這樣的例子在鳥類的骨骼鳥類的骨骼和各種和各種蘆葦蘆葦中可以看到，中可以看到， 它們它們既輕巧既輕巧而又而又對彎曲和斷裂具有相當高的抵抗能力對彎曲和斷裂具有相當高的抵抗能力?！?合理截面合理截面 合理截面要求上下危險點同時達到各自的許用應力。合理截面要求上下危險點同時達到各自的許用應力。 對于塑性材料對于塑性材料 宜設計成關于中性軸對稱的截面宜設計成關于中性軸對稱的截面 對于脆性材料對于脆性材料 宜設計成關于中性軸宜設計成關于中性軸不對稱不對稱的截面的截面 且使中性軸且使中性軸靠近受拉靠近受拉一側。一側。 6 2 bh WZ 左 6 2 hb WZ 右

17、2 2、合理放置截面、合理放置截面 豎放比橫放更合理。豎放比橫放更合理。 為降低重量，可在中性軸附近開孔。為降低重量，可在中性軸附近開孔。 扭轉扭轉 實例實例1 1 汽車傳動軸汽車傳動軸 實例實例2 2 汽車方向盤軸汽車方向盤軸 8.3.2桿的扭轉桿的扭轉 圓柱體受到作用在與其軸線垂直的兩個平面上圓柱體受到作用在與其軸線垂直的兩個平面上 大小相等方向相反的兩個力偶矩，發生扭轉形變大小相等方向相反的兩個力偶矩，發生扭轉形變. M M 是扭轉角是扭轉角, r l A A 扭轉形變扭轉形變 體元剪切形變體元剪切形變 l、r、 和和 物理意義物理意義 r 表示體元所在半徑，表示體元所在半徑，l 表示柱長表示柱