1、第六章 具有分布參數體的 線性分析 主講人：張 三 第6章 具有分布參數體系的線性分析 n6.1 具有均勻分布質量的剪切梁 n6.2 具有非均勻分布質量的剪切梁 n6.3 具有分布質量的彎曲梁 n6.4 三維波動方程 n6.5 體波 n6.6 面波 n6.7 波的反射與折射 本章導學 n 上一章介紹了具有離散坐標的多自由度體系機構動力反 應分析的方法，具有離散坐標的結構模型為動力荷載作用 下結構分析提供了方便而實用的方法。然而，由于采用有 限數目的位移坐標來描述體系的運動，得到的只能是近似 解。雖然在分析中增加了自由度數目，可以使結果的精度 達到要求的程度，但是，對于具有連續分布特性的真實結

2、構，原則上要取無限多個坐標才可以收斂于精確解。 n 研究具有連續分布參數結構動力反應的數學方法是用微 分方程，其中取位置坐標為獨立變量。因為在動力問題中 時間也是一個獨立變量，所以按此途徑形成運動方程時將 得到偏微分方程。連續體系可按描繪它們物理性質所需的 獨立自變量來分類。例如，對于均勻剪切梁和彎曲梁，其 物理性質（質量、剛度等）可以用單獨一個尺度，即沿梁 軸線的位置來描述，它們為一維結構；地震學和地球物理 學中的一般波動問題屬于三維問題。 n 本章將運用偏微分運動方程，研究具有連 續分布參數體系的動力理論和特性。首先 研究了最簡單的具有連續分布參數的結 構剪切直梁，以說明建立連續體偏微分

3、運動方程的方法，并研究了其動力性質； 然后討論了彎曲梁問題；最后簡單介紹了 三維波動方程，地震波的類型及波的折射 和反射等。 本章架構 6.1 具有均勻分布質量的剪切梁 u u+du F F+dF dx 圖6.1.1 勻直剪切梁的橫向運動 x p n直梁的物理參數：剪切剛度K，直梁單位長度的質 量m n橫梁上作用橫向荷載p(x，t) n假定截面形狀和大小保持不變 因此，梁的運動狀態完全由直梁軸線橫向位移u來描述 u=u(x，t) (6.1.1） 由上式可以推導出剪應變 = u(x，t)/ x (6.1.2） 梁的受力狀態用橫截面上的剪力F描述 F=F（x，t） (6.1.3） 對于彈性剪切變形

4、梁，本構關系可用剪力F和剪應變的對應關系表示 F = K (6.1.4） 勻直剪切梁的運動方程可通過單元dx(圖6.1.1)上合力為零得到 (6.1.5） 將(6.1.4)代入式(6.1.5)并利用式(6.1.2）得梁的運動方程為 （6.1.6） 令分布荷載p=0，式（6.1.6）改寫為 自由振動微分方程 = （其中c= ） (6.1.8) 2 2 t u mdxpdxFdx x F F txp t txu m x txu K, , 2 2 2 2 2 2 , t txu 2 2 , x txu 2 cmK 此力學模型的工程應用見課本107頁 txp t txu m x txu K, , 2

5、2 2 2 n為了研究勻直剪切梁的動力特性，需要分 析梁的自由振動微分方程（6.1.7）。 n其分析方法有兩種 振動分析方法 波動分析方法 振動分析方法將得出剪切梁的固有自振 頻率和振型；而波動分析方法可給出梁對 振動的傳播性能，即波動特性。 6.1.1 均直剪切梁的自振特性 )tsin(U(x)t)u(x, 0)( d 2 2 2 xUk dx xU （6.1.9） 式中，U(x)，和分別為振動函數、自振頻率和相角。 將式（6.1.9）代入式（6.1.7）可得 （6.1.10） 式中 22 )(kc K m 設剪切梁的位移反應為如下形式 （6.1.11） 其中 m K （6.1.12） 式（

6、6.1.10）為一常微分方程，其解為 kxBxAxcossin)U( （6.1.13） 式中A,B 微積分常數，由邊界條件確定 n通過以上分析，可以得到一般勻直剪切梁自振特性， 總結如下： n1.均質剪切梁具有無限多個離散的自振頻率及相應的 振型函數。對于封閉的線彈性系統，其振型函數具 有正交性和完備性。 n2.懸臂勻直剪切梁的自振頻率為： m K l j 2 )12( j ， J=1,2,3, 對于其他邊界條件，一般可表示為： m K lm K 1 jj 只與邊界條件有關 j 其中， n3.剪切梁沿截面不同方向的自振頻率是相同的。 因為梁的剪切剛度K僅與剪切模量G和梁橫截面面 積有關，而與截

7、面方向無關。（本結論可以判斷 結構的變形究竟是屬于彎曲變形，還是剪切變形 的一個主要準則） 6.1.2 均直剪切梁的波動性質 ctx 波動分析方法中，對方程（6.1.7）自由振動微分方程作如 下變量代換 ctx 利用微分運算 u(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct) (6.1.26) 6.2 具有非均勻分布質量的剪切梁 非均勻分布質量是指沿梁軸線上單位長度的質量m不在 是常數，而是關于位置的函數m=m(x),通常這是由于剪切 梁的橫截面面積非均勻引起的，也稱之為變截面剪切梁。 由于截面發生變化，因此，剪切剛度K也成為空間位置 的函數K=K(x)。 采用與6.1節相同的方法，可得到非

8、均勻剪切梁的運動 方程為 xp t txu xm x txu xK x 2 2 , 對于變剪切梁，設梁的橫截面面積為A(x)，則剪切梁單 位長度的質量m和剪切剛度K為 )(xmxA xGAXK 下面主要討論非均勻剪切梁的振動特性 令p(x)=0,得變截面剪切梁自由振動方程 2 2 2 2 ,1, t txu Gx txu dx xdA xAx txu 設剪切梁的簡諧振動為 )sin(tx,uwxx 代入上式，得變截面剪切梁的振型函數)(x的微分方程為 0)( )()( )( 1)(d 2 2 2 x Gdx xd dx xdA xAdx x 顯然，無法得到梁的橫截面面積A(x)為任意函數的統一

9、 解式，只能對具體的A(x)求出解。 下面給出橫截面積A(x)按冪函數和指數函數規律變化時 的解。 6.2.1 截面積A（x）按冪函數規律 變化 設A(x)按如下冪函數規律變化 n bxAxA1)( 0 6.2.2 截面積A(x)按指數規律變化 設A(x)按如下指數規律變化 l x bAxAexp 0 6.3 具有分布質量的彎曲梁 n如圖6.3.1彎曲梁的受力狀態可用在橫截面上的 彎矩M和剪力V的作用描述；運動狀態則用梁中 心線的橫向位移u(x,t)描述，假定u（x,t）為小量， 且橫截面在運動過程中保持平面且形狀和大小不 變。 利用線彈性本構關系可得出受力狀態與運動 狀態之間的關系： 2 2

10、 u x EIM u x dx P(x,t)u(x,t) MVV+dV M+dM 圖6.3.1 彎曲梁微單元隔離體圖 圖6.3.1中梁的微單元隔離體，對垂直于梁軸向的合 力為零求得， ),( 2 2 txp t u m x V 對中心合力矩為零條件可得， x M V 把上面3個式子合并得，均布彎曲梁的運動方程 ),( 2 2 4 4 txp t u m x u EI （6.3.4） 令p（x,t）=0得彎曲梁的自由振動微分方程 0 2 2 4 4 t u m x u EI 通過一系列求解得到, 梁的振型（x） (x) =Asin(ax)+Bcos(ax)+Csinh(ax)+Dcosh(ax)

11、 其中，A,B,C和D是新的積分常數。這些常數通過梁端邊界 條件來確定。 以懸臂梁為例（課本118） 6.4 三維波動方程 n 對于連續地球介質的動力問題一般采用波動分析方 法研究。在地球介質中波動問題變得更加復雜，下面 主要討論相對簡單的均勻連續介質中波動的一些基本 問題。 n平衡方程 n物理方程（本構關系） n幾何方程 一般三維波動方程 6.5/6.6 體波和面波 地震波 體波 面波 （可以在無限介質體內傳播） （只沿連續介質的界面傳播） 體波包括：P波和S波，S波又分為SV波和SH 波 nP波又稱縱波、壓縮波或無旋波等。P波的特點 是介質的振動方向與波的傳播方向平行，P波只 產生拉伸和壓縮，不產生旋轉。 n通過分析表明，P波的三維波動方程僅由一個參 數 p c 控制， p c 即是P波的傳播速度。 nS波又稱為剪切波、橫波或等容波等。S波的特點 是介質的振動方向與波的傳播方向垂直，S波只 產生剪切變形，而不產生體積應變。 nP波與S波的波動方程具有相同的形式，不同的是 它們的波速。 nP波