1、中值定理首先我們來看看幾大定理：1、 介值定理：設函數f(x)在閉區間a,b上連續，且在該區間的端點取不同的函數值f(a)=A 及f(b)=B，那么對于A與B之間的任意一個數 C,在開區間(a,b)內至少有一點E使得f( E )=C(aE b).Ps:c是介于A、B之間的，結論中的E取開區間。介值定理的推論:設函數f(x)在閉區間a,b上連續,則f(x)在a,b上有最大值 M最小值m,若m w CW M,則必存在E a,b, 使得f( E)=C(閉區間上的連續函數必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。此條推論運用較多)Ps:當題目中提到某個函數f(x),或者是它的幾階導函數在某個閉區間上連

2、續，那么該函數或者其幾階導函數必可以在該閉區間上取最大值和最小值，那么就對于在最大值和最小值之間的任何一個值，必存在一個變量使得該值等于變量處函數值。2、 零點定理：設函數f(x)在閉區間a,b上連續，且f(a)與f(b)異號，即f(a).f(b)0,那么在開區間內至少存在一點E使得f( E )=0.Ps:注意條件是閉區間連續，端點函數值異號，結論是開區間存在點使函數值為0.3、羅爾定理：如果函數f(x)滿足：(1) 、在閉區間a,b上連續；(2) 、在開區間(a,b)內可導；(3) 、在區間端點處函數值相等，即f(a)=f(b). 那么在(a,b)內至少有一點E (a E b),使得f(x)

3、=O;4、 拉格朗日中值定理：如果函數f(x)滿足：(1) 、在閉區間a,b上連續；(2) 、在開區間(a,b)內可導；那么在(a,b)內至少有一點E (a E b),使得f(b)-f(a)=f( E ).(b-a).5、 柯西中值定理：如果函數f(x)及g(x)滿足(1) 、在閉區間a,b上連續；(2) 、在開區間(a,b)內可導；(3) 、對任一 x(ax0)上具有二階連續導數，f(0)=0(1) 、寫出f(x)的帶拉格朗日余項的一階麥克勞林公式(2) 、證明在-a,a上至少存在一點 用使得a3f(q)f(x)dx第一問課本上記住了寫出來就行，考的很基礎(1)、f(xr f(0) 3x f

4、Ux2 = f(0).x Jx21! 2! 2!(2)、第二問先將第一問的式子 f(x)代入看看有什么結果出來f f(x)dx= f匚4 x2dx，f(3此處不能直接拿到積分號外面，因為他不是與x無關的數。做-a-a2到這兒，我們想辦法把他弄到積分號外面似乎就能出來，有了這樣想法就得尋求辦法。題目中說道f(x)有二階連續導數，為何要這樣說呢，我們知道連續函數有最大值，最小值，往往會接著和介值定理一 起運用。所以有：因為f(x)有二階連續導數，所以存在最大值和最小值，設為M,m則對于區間-a,a，m 乞 f、(x)空 M , mx2 空 f( ) x Mx2所以由介值定理有結論成立。Ps：本題是

5、以前的一道真題，具體哪年也記不得了，主要就是考到介值定理的運用。題目中說的很明 白的，有二階連續導數，往往當題目中提及到什么連續啊，特別是對于導函數連續的，我們總得注意 下他有最大值，最小值，進而與介值定理聯合運用。5、設f(x)在訶上連續, 且$ (x) dx = 0, f (x) cosxdx = 0.證明：在(0內至少存在兩個不同點HR使得f 4)= f屈)=0本題看似很簡潔，但做起來去不容易。結論是證明等式成立且為 0,很容易讓我們想到羅爾定理，我們如果能找到三個點處函數值相等，那 么是不是就能有些思路了呢。x令：F(x) = f(t)dt,x 0,二,F(0)=F(二)=0似乎只需在

6、找出一點F(c)=0 即可。，如果一切如我們所想，證明也就完成了 兀兀I jr r兀予f(x) cosxdx= cosxdF(x) =cosx F(x)0 + * sinx F(x)dx = 0似乎已經找到這個點了。但是積分中值定理中，是取閉區間，如果要用的話得先構造函數用拉格朗日x中值定理來證明其在開區間內成立。構造函數G(x) sint F(t)dt,x0,二具體的證明步驟和上面涉及到的一樣，自己去證。證完后就得到所以有：F(0) =F(c) = F(：)=0,c(0,二)接下來的證明就和第一題中第二小問一樣了，具體就不去證明了，自己證，關鍵掌握方法，思路。Ps:本題是02年左右的數一一道

7、證明題，看看題目很簡潔，但具體來做，如果對定理的運用不熟練， 還是不好弄出來。本題中涉及到積分，而且又要證明等式成立且為0，容易想到積分中值定理，以及羅爾定理。但是積分中值定理是對于閉區間而言，而我們要用到開區間，只能自己構造函數來證明其 在開區間內成立，如果在實際做題的時候你不證明直接用，估計一半的分都沒了。本題關鍵的就是尋 找這個點C,找出來了其他的都不是問題，既然是關鍵點，那得分點也肯定最多了，你不證明這個點， 直接套用課本中定理(如果用的話，得分類討論了)，硬是說C點就成立，那估計一半的分都沒了。對于中值定理這章，就先給出上面一些經典的題目，大家好好體會下，多做些題，多思考。下面來講講

8、對于證明題中的，函數如何來構造：基本上都是從結論出發，運用求導或是積分，或是求 微分方程，解出來也可。本人自己總結了一些東西，與大家交流下： 首先我們來看看一些構造函數基本方法：一、要證明的等式是一階導數與原函數之間的關系：一般都會構造出g(x)=XXX ex或者e或者xn ,n為任意常數1、 如果只是單純導函數和原函數之間關系，想想構造帶有ex或者ef(x) = f(x)可以構造 g(x) = f(x) ef(x) f(x) =0可構造 g(x) = f (x) exf(x) f (x) = 可構造 g(x) = f(x) ex；exxxf (t)dt = f (x)這個也是原函數與一階導函

9、數問題，構造函數g(x)二e f (t)dtaa先將其變形下：f(x) -f(x) =1 - X左邊是導函數與原函數關系可構造：f(x)右邊可以看成是X-X也成了導函數和原函數之間關系，如是可以構造：X從而要構造的函數就是：g(x) = (f (x)x)e *2、如果還涉及到變量 X,想想構造xnxf(x) f(x) =0可構造 g(x)二 f(x) xf(x) - -2 f (x)可構造 g(x)二 f(x) x2xxf(x) nf (x) =0 可構造 g(x)二 f (x) xn3、另外還可以解微分方程來構造函數：如 xf (x) f (x) = 0二、二階導數與原函數之間關系構造帶有e

10、x或者e如何構造如下：f (x) f(x f (x) f (x)對于此式子，你會不會有所想法呢，在上面講到一階導函數與原函數f(X)之間關系,之間的構造方法，等式前面也可以看成是一階導函數與原函數(只不過原函數是 從而等式左邊可以構造f (x) ex等式右邊可以構造f (x)ex總的構造出來函數為：g(x) =(f(x) - f(x) ex另：如果這樣變形：構造函數如下：g(x(f(x) f (x) e，可以看上面原函數與導函數之間關系如何構造的。從而對于此函數構造有兩種方法，具體用哪一種構造得看題目給的條件了。如果題目給了 f(x)_ f (x)為什么值可以考慮第一中構造函數，如果題目給了f

11、(x) f(x)，則可以考慮第二種構造方法。先變形：變成一階導函數和原函數之間關系這個函數確實不好構造，如果用微分方程來求會遇到復數根。實際做的時候還得看題目是否給了f(x)的一些條件，如果在某個開區間內不為0，而構造出來的函數在閉區間端點取值相等，便可用羅而定理來證明。具體來看看題目：1、設 f (x)在0,1上連續，在(0,1)內可導，且 f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1 證明：(1) 、存在* 1,1),使得M2(2) 、存在屋(o|，使得=(1) 、對一問直接構造函數用零點定理：F(x) = f(x) - x具體詳細步驟就不寫了。(2) 、該問主要問題是如何構造函數：如果熟練的

12、話用上面所講方法來構造：f()二 f ( ) - 1 先變形另：用微分方程求解法來求出要構造的函數把常數退換掉之后就是要構造的函數函數構造出來了，具體步驟自己去做。b2、設 f(x)在a,b上連續，f(x)在(a,b)內二階可導，f(a)=f(b)=0,”f(x)dx=0證明：(1)存在QEE(a,b)使得f(SJ) = f(B), f|)= f(E)(2)存在園(a,b)S9,R使得fdC1)(1) 、第一問中的函數構造：(2) 、第二問中函數構造有兩種構造方法，上面講解中說道了我們在這用第一種原因在于第一問中f(x) - f(x)=0符合此題構造。具體詳細步驟自己去寫寫。3、設奇函數f(x

13、)在-1,1上具有二階導數，且f(1)=1,證明：(1)存在麗(0,1)，使得fR =1存在區(1,1),使得fO團廠=1第一問中證明等式，要么用羅爾定理，要么介值定理，要么零點 本題很容易想到用羅爾定理構造函數來求，因為涉及到了導函數(1) 、F(x) = f(x)x，題目中提到奇函數,f(0)=0有F(0)=F(1)=0從而用羅爾定理就出來了。(2) 、第二問中的結論出發來構造函數，從上面講的方法來看，直接就可以寫出要構造的函數f( )f( ) =1先變形下：f(x) ex二exG(x) =(f(x) -1) ex函數構造出來，并且可以用到第一問的結論，我們只需要在(-1,0 )之間在找一個點也滿足 1的結論即可。也即 】三(-1,0), f( ) =1從而可以對 ( , )( -1,1)運用羅爾定理即可。Ps:本題為13年數一真題，第一問基礎題，但要看清題目為奇函數，在0點處函數值為0.第二問關鍵是構造函數，函數構造出來了就一步步往下做，缺什么條件就去找什么條件或者證明出來， 13年考研前我給我的幾個考研小伙伴們講過構造函數的一些方法，考場上都很快就搞出來了。對于這道題的結論比較有意思，比較對稱，另外一個就是結論的條件，為何要把內，不像上一題中直接來個、：(0,1)，這個分界點1/2的作用是干嗎的。很可能也是把 1 /2當做某一個點就像