1、全等三角形全章復習與鞏固（提高）學習目標】1. 了解全等三角形的概念和性質，能夠準確地辨認全等三角形中的對應元素； 2探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進行證明，掌握綜合法證明的格式； 3會作角的平分線，了解角的平分線的性質，能利用三角形全等證明角的平分線的性質， 會利用角的平分線的性質進行證明 .知識網絡】【要點梳理】【高清課堂： 388614 全等三角形單元復習，知識要點】 要點一、全等三角形的判定與性質一般三角形直角三角形判定邊角邊（ SAS） 角邊角（ ASA） 角角邊（ AAS） 邊邊邊（ SSS）兩直角邊對應相等一邊一銳角對應相等 斜邊、直角邊定理（ HL）性質對應邊相等，

2、對應角相等（其他對應元素也相等，如對應邊上的高相等）備注判定三角形全等必須有一組對應邊相等要點二、全等三角形的證明思路找夾角 SAS已知兩邊 找直角 HL找任一角 AAS 找夾角的另一邊 SAS 找夾邊的另一角 ASA 找邊的對角 AAS找另一邊 SSS 邊為角的對邊已知一邊一角邊為角的鄰邊已知兩角 找夾邊 ASA找任一邊 AAS要點三、角平分線的性質1. 角的平分線的性質定理角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等1 / 122. 角的平分線的判定定理 角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上 .3. 三角形的角平分線 三角形角平分線交于一點，且到三邊的距離相等 .4. 與角平分線有關的

3、輔助線 在角兩邊截取相等的線段，構造全等三角形； 在角的平分線上取一點向角的兩邊作垂線段 .要點四、全等三角形證明方法 全等三角形是平面幾何內容的基礎，這是因為全等三角形是研究特殊三角形、四邊形、 相似圖形、圓等圖形性質的有力工具，是解決與線段、角相關問題的一個出發點 . 運用全等 三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關系、角相等、 兩直線位置關系等常見的幾何 問題 .可以適當總結證明方法 .1 證明線段相等的方法：(1) 證明兩條線段所在的兩個三角形全等 .(2) 利用角平分線的性質證明角平分線上的點到角兩邊的距離相等 .(3) 等式性質 .2 證明角相等的方法：(1) 利用平行線的性質

4、進行證明 .(2) 證明兩個角所在的兩個三角形全等 .(3) 利用角平分線的判定進行證明 .(4) 同角(等角)的余角(補角)相等 .(5) 對頂角相等 .3 證明兩條線段的位置關系(平行、垂直)的方法： 可通過證明兩個三角形全等，得到對應角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明 .4 輔助線的添加 :(1) 作公共邊可構造全等三角形；(2) 倍長中線法；(3) 作以角平分線為對稱軸的翻折變換全等三角形；(4) 利用截長 (或補短 )法作旋轉變換的全等三角形 .5. 證明三角形全等的思維方法 :( 1)直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個角相等，需要我們敏捷、快速地發 現兩條線段和兩個角

5、所在的兩個三角形及它們全等的條件 .( 2)如果要證明相等的兩條線段或兩個角所在的三角形全等的條件不充分時，則應根據 圖形的其它性質或先證明其他的兩個三角形全等以補足條件 .( 3)如果現有圖形中的任何兩個三角形之間不存在全等關系，此時應添置輔助線，使之 出現全等三角形，通過構造出全等三角形來研究平面圖形的性質 .【典型例題】 類型一、巧引輔助線構造全等三角形(1) 倍長中線法1、已知，如圖， ABC 中，D是 BC中點， DEDF,試判斷BECF與 EF 的大小關系，并證明你的結論2 / 12【思路點撥】 因為 D 是 BC的中點，按倍長中線法，倍長過中點的線段DF，使 DGDF,證明EDG

6、 EDF，FDC GDB，這樣就把 BE、CF與 EF線段轉化到了 BEG中，利用兩邊之 和大于第三邊可證 .【答案與解析】 BE CFEF； 證明：延長 FD 到 G，使 DGDF,連接 BG、 EGD是 BC 中點ED EDEDG EDFDG DFBD CD 又DEDF 在 EDG和 EDF中 EDG EDF（ SAS）EG EF 在FDC與GDB中CD BD12DF DGFDCGDB(SAS)CF BGBG BE EGBE CF EF【總結升華】 有中點的時候作輔助線可考慮倍長中線法(或倍長過中點的線段) . 舉一反三：【變式】已知：如圖所示， CE、CB 分別是 ABC與 ADC的中線

7、，且 ACB ABC 求證： CD2CE【答案】證明： 延長 CE至 F 使 EFCE，連接 BF EC 為中線，3 / 12AE BEAE BE,在 AEC與 BEF中，AEC BEF ,CE EF, AEC BEF（SAS） AC BF， A FBE（全等三角形對應邊、角相等） 又 ACB ABC， DBC ACB A， FBC ABC AAC AB， DBC FBCAB BF又 BC 為 ADC的中線， AB BD即 BF BDBF BD,在 FCB與 DCB中， FBC DBC,BC BC, FCB DCB（SAS） CF CD即 CD 2CE（2）作以角平分線為對稱軸的翻折變換構造全

8、等三角形2、已知：如圖所示，在 ABC中， C2B， 1 2求證： AB AC CD【答案與解析】 證明：在 AB上截取 AE ACAE AC（已作 ），在 AED與 ACD中， 12（已知 ），AD AD （公用邊 ）， AED ACD（SAS） ED CD AED C（全等三角形對應邊、角相等 ） 又 C2B AED2 B 由圖可知： AED B EDB， 2 B B EDB B EDB BE ED即 BE CD AB AEBEACCD（等量代換 ） 【總結升華】 本題圖形簡單，結論復雜，看似無從下手，結合圖形發現AB AC故用截長補短法在 AB上截取 AEAC這樣 AB就變成了 AEBE

9、，而 AEAC只需證 BE CD即可從4 / 12而把 ABAC CD轉化為證兩線段相等的問題舉一反三：答案】證明：（ 1）在 AB 上取一點 M, 使得 AMAH, 連接 DM. CAD BAD, AD AD, AHD AMD. HDMD, AHD AMD. HD DB, DB MD. DMB B. AMD DMB 180 , AHD B 180 .即 B與AHD互補 .（2）由（ 1）AHDAMD, HDMD, AHDB 180 . B 2 DGA 180 , AHD 2 DGA. AMD 2 DGM. AMD DGMGDM. 2 DGM DGM GDM. DGM GDM. MD MG.

10、HD MG. AG AM MG, AG AH HD.C3）.利用截長 （或補短 ）法作構造全等三角形3、（2015?新賓縣模擬）如圖， ABC 中，AB=AC ，點P 是三角形右外一點，且APB= ABC （1）如圖 1，若 BAC=60 ，點 P 恰巧在 ABC 的平分線上， PA=2，求 PB 的長；（2）如圖 2，若 BAC=60 ，探究 PA，PB，PC 的數量關系，并證明；（3）如圖 3，若 BAC=120 ，請直接寫出 PA， PB， PC 的數量關系5 / 12變式】如圖，（1） 求證：AD是 ABC 的角平分線， H，G分別在 AC，AB上，且 HD BD. B 與 AHD互補

11、；（2） 若 B2DGA180，請探究線段 AG與線段 AH、HD之間滿足的等量關系，并加 以證明 .ABC 是等邊三角形， APB= ABC ，得【思路點撥】 （1） AB=AC ， BAC=60 ，證得 到 APB=60 ，又點 P 恰巧在 ABC 的平分線上，得到 ABP=30 ，得到直角三角形，利 用直角三角形的性質解出結果（2）在 BP 上截取 PD，使 PD=PA，連結 AD，得到 ADP 是等邊三角形，再通過三角形全 等證得結論（3）以 A 為圓心，以 AP的長為半徑畫弧交 BP 于D，連接 AD，過點 A 作AFBP 交BP 于 F，得到等腰三角形，然后通過三角形全等證得結論【

12、答案與解析】 解：（1） AB=AC ， BAC=60 ， ABC 是等邊三角形， APB= ABC ， APB=60 ， 又點 P 恰巧在 ABC 的平分線上， ABP=30 ， PAB=90 ， BP=2AP ， AP=2， BP=4 ；2）結論： PA+PC=PB 證明：如圖 1，在 BP上截取 PD，使 PD=PA ，連結 AD ， APB=60 ，ADP 是等邊三角形， DAP=60 ， 1=2， PA=PD，在 ABD 與ACP 中， ABD ACP， PC=BD ， PA+PC=PB ；3）結論：PA+PC=PB 6 / 12證明：如圖 2，以 A 為圓心，以 AP 的長為半徑畫

13、弧交 BP 于D，連接 AD，過點 A 作 AF BP 交 BP 于 F， AP=AD ， BAC=120 ， ABC=30 ， APB=30 ， DAP=120 ， 1=2，在 ABD 與 ACP 中， ABD ACP ， BD=PC ，AFPD， PF= AP， PD= AP， PA+PC=PB 【總結升華】 本題考查了全等三角形的判定與性質， 等腰三角形的判定與性質， 直角三角形 的性質，等邊三角形的判定和性質，截長補短作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵舉一反三：變式】如圖， AD是 ABC的角平分線， ABAC,求證： AB ACBDDCD【答案】證明：在 AB上截取 AE AC,連結

14、 DE AD是ABC的角平分線， BADCAD 在AED與ACD中AE ACBAD CADAD AD7 / 12AED ADC（ SAS）DE DC 在BED中， BEBD DC 即 AB AE BD DC AB AC BDDC（4）. 在角的平分線上取一點向角的兩邊作垂線段4、如圖所示，已知 E 為正方形 ABCD的邊 CD的中點，點 F 在 BC上，且 DAE FAE 求證： AFAD CF在 Rt AME與 Rt ADE中，DE ME（已證 ），【思路點撥】 四邊形 ABCD為正方形，則 D90而 DAE FAE說明 AE為 FAD的平 分線，按常規過角平分線上的點作出到角兩邊的距離，而

15、E到 AD的距離已有，只需作 E 到AF 的距離 EM即可，由角平分線性質可知 ME DEAEAERtAME與 Rt ADE全等有 AD AM而題中要證 AFAD CF根據圖知 AF AMMF故只需證 MFFC 即可從而把證 AF ADCF轉化為證兩條線段相等的問題【答案與解析】證明： 作 MEAF 于 M，連接 EF 四邊形 ABCD為正方形， C D EMA90又 DAE FAE， AE 為 FAD 的平分線，ME DE Rt AME Rt ADE（HL） AD AM（全等三角形對應邊相等 ） 又 E 為 CD中點， DE EC ME ECME CE（已證 ），在 Rt EMF與 Rt E

16、CF中，EF EF（公用邊 ） ， Rt EMF Rt ECF（HL） MF FC（全等三角形對應邊相等 ） 由圖可知： AF AMMF， AF AD FC（等量代換 ）【總結升華】 與角平分線有關的輔助線： 在角兩邊截取相等的線段，構造全等三角形；在 角的平分線上取一點向角的兩邊作垂線段 .8 / 12、如圖所示，在 ABC中， AC=BC， ACB=90， D是AC上一點，且 AE垂直 BD的延長線于 E，AE 1 BD ，求證： BD是 ABC的平分線 2答案與解析】證明：延長 AE 和 BC，交于點 F， ACBC，BEAE，ADE=BDC（對頂角相等） ， EAD+ ADE=CBD+

17、BDC即 EAD= CBD 在 Rt ACF和 Rt BCD中所以 Rt ACF Rt BCD（ ASA）則 AF=BD（全等三角形對應邊相等） AE= BD， AE= AF，即 AE=EF在 Rt BEA和 Rt BEF中，則 Rt BEA RtBEF（SAS）所以 ABE= FBE（全等三角形對應角相等） ， 即 BD是 ABC的平分線【總結升華】 如果由題目已知無法直接得到三角形全等， 不妨試著添加輔助線構造出三角形 全等的條件，使問題得以解決平時練習中多積累一些輔助線的添加方法 .類型二、全等三角形動態型問題【高清課堂： 379111 直角三角形全等的判定，鞏固練習5】6、在 ABC中

18、， ACB90， ACBC，直線 l 經過頂點 C，過 A，B兩點分別作 l 的垂 線 AE， BF，垂足分別為 E， F.（1）如圖 1當直線 l不與底邊 AB相交時，求證： EFAEBF.（ 2）將直線 l 繞點 C 順時針旋轉，使 l 與底邊 AB相交于點 D，請你探究直線 l 在如下位 置時， EF、AE、BF之間的關系， ADBD； AD BD； AD BD.9 / 12【答案與解析】 證明：（1）AEl，BFl， AECCFB90，1290 ACB90， 2 390 1 3。在 ACE和 CBF中，AEC CFB13AC BC ACE CBF（ AAS） AECF， CEBF EF

19、CE CF， EFAEBF。（2） EFAEBF，理由如下：AEl ，BFl ， AEC CFB90， 1 290 ACB90， 2 3 90， 1 3。在 ACE和 CBF中AEC CFB13AC BC ACE CBF（ AAS） AECF， CEBF EFCF CE， EFAEBF。 EFAE BF EFBF AE 證明同 .【總結升華】 解決動態幾何問題時要善于抓住以下幾點：（1） 變化前的結論及說理過程對變化后的結論及說理過程起著至關重要的作用；（2） 圖形在變化過程中，哪些關系發生了變化，哪些關系沒有發生變化；原來的線段 之間、角之間的位置與數量關系是否還存在是解題的關鍵；（3） 幾種變化圖形之間，證明思路存在內在聯系，都可模仿與借鑒原有的結論與過程， 其結論有時變化，有時不發生變化 .舉一反三：【變式】（2015?臨沂模擬）【問題情境】10 / 12 如圖，在正方形 ABCD 中，點 E是線段 BG 上的動點， AEEF，EF交正方形外角 DCG 的平分線 CF 于點 F【探究展示】（1）如圖 1，若點 E 是 BC 的中點，證明： B