1、第十講 導數題的解題技巧 .txt 愛情是彩色氣球， 無論顏色如何嚴厲， 經不起針尖輕輕一刺。 一流的愛人，既能讓女人愛一輩子，又能一輩子愛一個女人！第十講 導數題的解題技巧 【命題趨向】 導數命題趨勢：綜觀 2007 年全國各套高考數學試題，我們發現對導數的考查有以下一些知識類型和特點： （1）多項式求導（結合不等式求參數取值范圍）, 和求斜率（切線方程結合函數求最值）問題.（2）求極值 , 函數單調性 ,使用題 ,和三角函數或向量結合 .分值在 12-17 分之間，一般為 1個選擇題或 1個填空題， 1個解答題 . 【考點透視】1了解導數概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線

2、的斜率等）；掌握函數在一點處的導數的定義和導數的幾何意義；理解導函數的概念2熟記基本導數公式； 掌握兩個函數和、 差、積、商的求導法則 了解復合函數的求導法則， 會求某些簡單函數的導數3理解可導函數的單調性和其導數的關系；了解可導函數在某點取得極值的必要條件和充分條件（導數在極值點兩側異號） ；會求一些實際問題（一般指單峰函數）的最大值和最小值 【例題分析】考點 1 導數的概念 對概念的要求：了解導數概念的實際背景，掌握導數在一點處的定義和導數的幾何意義，理 解導函數的概念 .例 1（2007 年北京卷） 是 的導函數，則 的值是 考查目的 本題主要考查函數的導數和計算等基礎知識和能力 . 解

3、答過程 故填 3.例 2. （ 2006 年湖南卷）設函數 , 集合 M= ,P= , 若 M P, 則實數 a 的取值范圍是 （ ）A. （- g,1） B.（0,1）C.（1,+g） D. 1,+ g） 考查目的 本題主要考查函數的導數和集合等基礎知識的使用能力 . 解答過程 由 綜上可得 M P 時, 考點 2 曲線的切線（ 1 ）關于曲線在某一點的切線求曲線 y=f（x） 在某一點 P（x,y ）的切線，即求出函數 y=f（x） 在 P 點的導數就是曲線在該點 的切線的斜率 .（2）關于兩曲線的公切線 若一直線同時和兩曲線相切，則稱該直線為兩曲線的公切線 .典型例題例 3. （2007

4、 年湖南文）已知函數在區間 ， 內各有一個極值點（ I ）求 的最大值；（ II ）當 時，設函數 在點 處的切線為 ，若 在點 處穿過函數 的圖象（即動點在點 附近 沿曲線 運動，經過點 時，從 的一側進入另一側） ，求函數 的表達式 思路啟迪：用求導來求得切線斜率 .解答過程：（I ）因為函數在區間，內分別有一個極值點，所以在，內分別有一個實根， 設兩實根為 （ ），則 ，且 于是， ，且當 ，即 ， 時等號成立故 的最大值是 16（ II ）解法一：由 知 在點 處的切線 的方程是 ，即 ，因為切線 在點 處空過 的圖象， 所以 在 兩邊附近的函數值異號，則不是 的極值點而 ，且若 ，則

5、 和 都是 的極值點 所以 ，即 ，又由 ，得 ，故 解法二：同解法一得 因為切線 在點 處穿過 的圖象，所以 在 兩邊附近的函數值異號，于是存在 （ ） 當 時， ，當 時， ；或當 時， ，當 時， 設 ，則當 時， ，當 時， ；或當 時， ，當 時， 由 知 是 的一個極值點，則 ，所以 ，又由 ，得 ，故 例 4. （2006 年安徽卷）若曲線 的一條切線 和直線 垂直，則 的方程為（ ） ABCD 考查目的 本題主要考查函數的導數和直線方程等基礎知識的使用能力. 解答過程 和直線 垂直的直線 為 ，即 在某一點的導數為 4，而 ，所以 在（1，1） 處導數 為 4 ，此點的切線為

6、.故選 A.例 5 （ 2006 年重慶卷 ）過坐標原點且和 x2+y2 -4x+2y+ =0 相切的直線的方程為 （ ） A.y=-3x 或 y= x B. y=-3x 或 y=- x C.y=-3x 或 y=- x D. y=3x或 y= x 考查目的 本題主要考查函數的導數和圓的方程、直線方程等基礎知識的使用能力. 解答過程 解法 1 ：設切線的方程為又故選 A.解法 2: 由解法 1 知切點坐標為 由故選 A.例 6. 已知兩拋物線 , 取何值時 ， 有且只有一條公切線，求出此時公切線的方程 . 思路啟迪：先對 求導數 .解答過程：函數 的導數為 ，曲線 在點 P（ ） 處的切線方程為

7、 ，即 曲線 在點 Q 的切線方程是 即若直線 是過點P點和Q點的公切線，則式和式都是的方程，故得，消去 得方程，若厶=，即卩時，解得，此時點P、Q重合當時，和有且只有一條公切線，由式得公切線方程為考點 3 導數的使用中學階段所涉及的初等函數在其定義域內都是可導函數，導數是研究函數性質的重要而有力的工具，特別是對于函數的單調性，以“導數”為工具，能對其進行全面的分析，為我們解 決求函數的極值、最值提供了一種簡明易行的方法，進而和不等式的證明，討論方程解的情 況等問題結合起來，極大地豐富了中學數學思想方法 . 復習時，應高度重視以下問題 : 1. 求函數的分析式 ; 2. 求函數的值域 ; 3.

8、 解決單調性問題 ; 4. 求函數的極值（最值） ; 5. 構造函數證明不等式 .典型例題例 7（ 2006 年天津卷） 函數 的定義域為開區間 ，導函數 在 內的圖象如圖所示， 則函數 在 開區間 內有極小值點（ ）A. 1個B. 2個C. 3 個D. 4 個 考查目的 本題主要考查函數的導數和函數圖象性質等基礎知識的使用能力 . 解答過程 由圖象可見 , 在區間 內的圖象上有一個極小值點 .故選 A.例 8 . （2007 年全國一）設函數 在 及 時取得極值.（I）求a、b的值；（n）若對于任意的 ，都有成立，求c的取值范圍.思路啟迪：利用函數 在 及 時取得極值構造方程組求 a、 b

9、的值.解答過程： （ I ），因為函數 在 及 取得極值，則有 ，.即解得 ， .）由（I）可知， ， 當 時， ；當 時， ；當 時， .所以，當 時， 取得極大值 ，又 ，.則當 時， 的最大值為 .因為對于任意的 ，有 恒成立，所以 ，解得 或 ，因此 的取值范圍為 .例 9. 函數 的值域是 .思路啟迪：求函數的值域，是中學數學中的難點，一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質 求解，也可以利用函數的單調性求出最大、最小值。此例的形式結構較為復雜，采用導數法 求解較為容易。解答過程：由 得， ，即函數的定義域為 .又，當 時， ，函數 在 上是增函數，而 ， 的值域是 .例 10( 200

10、6 年天津卷)已知函數 ，其中 為參數，且 ( 1)當時 ，判斷函數 是否有極值；( 2)要使函數 的極小值大于零，求參數 的取值范圍；( 3)若對( 2)中所求的取值范圍內的任意參數，函數 在區間 內都是增函數，求實數 的取值范圍 考查目的 本小題主要考查運用導數研究三角函數和函數的單調性及極值、解不等式等基礎 知識，考查綜合分析和解決問題的能力，以及分類討論的數學思想方法 .解答過程(I)當 時，則在 內是增函數，故無極值()，令，得由(I),只需分下面兩種情況討論 當 時，隨 x 的變化 的符號及 的變化情況如下表：x0+ 0 - 0 +/極大值 極小值 /因此，函數 在 處取得極小值

11、，且 要使 ，必有 ，可得 由于 ，故 當時 ，隨 x 的變化，的符號及 的變化情況如下表：+ 0 - 0 +極大值極小值 因此，函數 處取得極小值 ，且若 ，則 矛盾 所以當 時， 的極小值不會大于零 綜上，要使函數 在 內的極小值大于零，參數 的取值范圍為 ( III )解：由( II )知，函數 在區間 和 內都是增函數。由題設，函數 內是增函數，則 a須滿足不等式組或由( II )，參數時 時， 要使不等式 關于參數 恒成立，必有 ，即 綜上，解得 或 所以 的取值范圍是 例 11 (2006 年山東卷 )設函數 f(x)=ax (a+1)ln(x+1) ，其中 a -1 ，求 f(x

12、) 的單調區間 考查目的 本題考查了函數的導數求法 ,函數的極值的判定 , 考查了使用數形結合的數學思想 分析問題解決問題的能力 解答過程 由已知得函數 的定義域為 ，且( 1)當 時， 函數 在 上單調遞減，( 2)當 時，由 解得、 隨 的變化情況如下表 0 +極小值 從上表可知當 時， 函數 在 上單調遞減 當 時， 函數 在 上單調遞增 綜上所述：當 時，函數 在 上單調遞減 當 時，函數 在 上單調遞減，函數 在 上單調遞增 例 12( 2006 年北京卷)已知函數在點 處取得極大值 ，其導函數 的圖象經過點 ， ，如圖所示 . 求：(I) 的值；(n) 的值. 考查目的 本小題考查

13、了函數的導數 , 函數的極值的判定 , 閉區間上二次函數的最值 , 函數和 方程的轉化等基礎知識的綜合使用 , 考查了使用數形結合的數學思想分析問題解決問題的能 力解答過程解法一：(I)由圖像可知，在 上，在上，在上，故 在 上遞增，在 上遞減，因此 在 處取得極大值，所以(n)由得解得解法二：(I)同解法一(n)設又所以由 即 得所以例 13( 2006 年湖北卷)設 是函數 的一個極值點 .(I)求 和 的關系式(用 表示)，并求 的單調區間；(n)設，.若存在 使得 成立，求 的取值范圍. 考查目的 本小題主要考查函數、不等式和導數的使用等知識，考查綜合運用數學知識解決 問題的能力 .解

14、答過程(I) f(x)=- x2 + (a 2)x + b a e3 x,由 f(3)=0 ，得 一32 + (a 2)3 + b a e3 3= 0,即得b= 3 2a,則 f(x)= x2 + (a 2)x 3 2a a e3 x= x2 (a 2)x 3 3a e3 x= (x 3)(x a+1)e3 x.令 f (x)= 0,得 x1= 3或 x2= a 1,由于 x= 3 是極值點,所以x+a+lz 0,那么a工一4.當 a3= x1 ,則在區間(一g,3) 上, f (x)0, f (x)為增函數；在區間(一a 1,+g)上，f (x) 4 時， x23= x1 ，則在區間(一g,

15、 a 1) 上, f (x)0 , f (x) 為增函數；在區間(3,+g)上，f (x)0時，f (x)在區間(0, 3) 上的單調遞增，在區間(3, 4)上單調 遞減，那么 f (x) 在區間 0 ，4上的值域是 min(f (0)，f (4) )，f (3)，而 f (0)=( 2a3) e30, f (3) = a6,那么 f (x) 在區間 0, 4上的值域是 ( 2a3) e3, a6.又 在區間 0 , 4 上是增函數,且它在區間 0 ，4 上的值域是 a2 ，(a2 )e4 ，由于(a2 + ) ( a+ 6)= a2 a+ =( ) 20,所以只須僅須(a2 + ) ( a+

16、 6) 0，解得 0a 0;當 1v xv 時，V( x)v 0,故在x=1處V (x)取得極大值，并且這個極大值就是V (x)的最大值。從而最大體積 V= V( x)= 9X 12-6 x 13 (m3),此時長方體的長為 2 m,高為1.5 m. 答：當長方體的長為 2 m時，寬為1 m,高為1.5 m時，體積最大，最大體積為 3 m3。例 16.(2006 年福建卷)統計表明,某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量 (升)關于行駛速度 (千米 / 小時)的函數分析式可以表示為： 已知甲、乙兩地相距 100千米 .( I )當汽車以 40 千米 /小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油

17、多少升？( II )當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？ 考查目的 本小題主要考查函數、導數及其使用等基本知識，考查運用數學知識分析和解決實際問題的能力 . 解答過程 (I )當 時，汽車從甲地到乙地行駛了 小時， 要耗沒 (升) .答：當汽車以 40 千米/ 小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5 升。(II )當速度為 千米/ 小時時，汽車從甲地到乙地行駛了 小時，設耗油量為 升，依題意得 令得當 時， 是減函數；當 時， 是增函數 .當 時， 取到極小值因為 在 上只有一個極值，所以它是最小值 .答：當汽車以 80 千米/ 小時的速度勻速行駛時，從甲

18、地到乙地耗油最少，最少為 【專題訓練和高考預測】一、選擇題1. y=esinxcos(sinx)A.0 B.12. 經過原點且和曲線A.x+y=0 或 +y=0C.x+y=0 或 y=03. 設 f(x) 可導，且，則y (0)等于(C.1 y= 相切的方程是 (D.2)B.x y=0 或 +y=0D.x y=0 或 y=0 f (0)=0, 又 =1, 則 f(0)(A. 可能不是 f(x) 的極值C. 一定是 f(x) 的極小值4. 設函數 fn(x)=n2x2(1 x)n(n 為正整數 ) ，則A.0B.1 C.D.5、函數 y=(x2-1)3+1 在 x=-1 處()A、 有極大值 B

19、 、無極值 C 、有極小值 (-1)=4 ，則 a=( )D、M( )的切線的傾斜角是C 、 600)B. 一定是 f(x) 的極值D.等于0在0,1 上的最大值為fn(x)D、無法確定極值情況11.25 升 .6.f(x)=ax3+3x2+2 ， f A、 B 、C7. 過拋物線 y=x2 上的點 A、 300B、450(D、)9008. 函數 f(x)=x3-6bx+3b 在(0， 1)內有極小值，則實數 b 的取值范圍是 ( )A (0, 1) B、(- s, 1) C、(0, +s) D、( 0,)9. 函數 y=x3-3x+3 在 上的最小值是 ()A、 B 、 1 C 、D、 51

20、0、若 f(x)=x3+ax2+bx+c ,且 f(0)=0 為函數的極值,則 ()A、cm 0 B 、當a0時，f(0)為極大值C、 b=0 D 、當 a 0 且1)的單調區間 .16. 在半徑為R的圓內，作內接等腰三角形，當底邊上高為 時它的面積最大 三、解答題17. 已知曲線 C: y=x3 3x2+2x,直線l:y=kx,且I和C切于點(xO,yO)(xO 豐0),求直線I的方 程及切點坐標18. 求函數 f(x)=p2x2(1-x)p(p N+)，在0 , 1內的最大值19. 證明雙曲線xy=a2上任意一點的切線和兩坐標軸組成的三角形面積等于常數20. 求函數的導數(1) y=(x2

21、 2x+3)e2 x;(2) y=.21. 有一個長度為5 m的梯子貼靠在筆直的墻上，假設其下端沿地板以3 m/s的速度離開墻腳滑動，求當其下端離開墻腳1.4 m時，梯子上端下滑的速度.22. 求和 Sn=12+22x+32x2+n2xn 1,(x 工 0,n N*).23. 設f(x)=ax3+x 恰有三個單調區間，試確定 a的取值范圍，并求其單調區間24. 設x=1和x=2是函數f(x)=aInx+bx2+x的兩個極值點.(1)試確定常數a和b的值；試判斷x=1,x=2是函數f(x)的極大值還是極小值，并說明理由25. 已知a、b為實數，且bae,其中e為自然對數的底，求證： abba.2

22、6. 設關于x的方程2x2 ax 2=0的兩根為a、3 ( a 3 ),函數f(x)=.(1)求 f( a )?f( 3 )的值；證明f(x)是a , 3 上的增函數；(3) 當a為何值時，f(x)在區間a , 3】上的最大值和最小值之差最?。俊緟⒖即鸢浮恳?、1.分析： y =esinx cosxcos(sinx) cosxsin(sinx) ,y (0)=e0(1 0)=1.答案：B2. 分析：設切點為(xO,yO),則切線的斜率為k=,另一方面，y=()=,故y (xO)=k,即 或 x02+18x0+45=0 得 x0(1)= 3,y0(2)= 15,對應有 y0(1)=3,y0(2)=

23、,因此得兩個切點 A( 3, 3)或B( 15,),從而得y (A)= = 1及y (B)=,由于切線過原點，故得切線：lA:y= x或lB:y=.答案：A3. 分析：由=1,故存在含有0的區間(a,b)使當x (a,b),x豐0時 0,當 x (0,b)時，f (0) 或 x 1,則當 x 時，logae 0,6x+5 0,(3x 1)(x+2) 0, a f (x) 0, a 函數 f(x)在 (，+ a)上是增函數，x 2時，f (x) 時，f (x) v 0, f(x)在(,+ g)上是減函數，當x v 2時， f (x) 0, f(x)在(g , 2)上是增函數.答案：(一g , 2

24、)16. 分析：設圓內接等腰三角形的底邊長為2x,高為h,那么h=AO+BO=R+解得x2=h(2R h),于是內接三角形的面積為S=x?h=從而令S =0,解得h= R,由于不考慮不存在的情況，所在區間(0,2R)上列表如下：h (0, R)R(,2R)S +0S 增函數最大值減函數 由此表可知，當x= R時，等腰三角形面積最大.答案：R三、17.解：由 I 過原點，知 k= (x0 豐 0),點(x0,y0)在曲線 C上，y0=x03 3x02+2x0, =x02 3x0+2,y =3x2 6x+2,k=3x02 6x0+2又 k= , 3x02 6x0+2=x02 3x0+2,2x02

25、3x0=0, x0=0 或 x0=.由x豐0,知x0=, y0=( )3 3( )2+2? = . k=.-1方程y= x切點(，).18.,令 f (x)=0 得，x=0, x=1, x=, 在0 , 1 上, f(0)=0 , f(1)=0 ,.19. 設雙曲線上任一點 P (x0, y0),J切線方程，令 y=0,則 x=2x0 令x=0,則.20. 解：(1)注意到y 0,兩端取對數，得In y=l n(x2 2x+3)+I ne2x=In(x2 2x+3)+2x,(2)兩端取對數，得In |y|= (In |x| ln|1 x|),兩邊解x求導，得21. 解：設經時間t秒梯子上端下滑

26、 s米，則s=5 ,當下端移開1.4 m時，t0=,又 s = (25 9t2) ?( 9?2t)=9t ,所以 s (t0)=9 x =0.875(m/s).22. 解：(1)當 x=1 時，Sn=12+22+32+- +n2= n(n+1)(2n+1),當 x豐 1 時，1+2x+3x2+ +nxn-1=,兩邊同乘以x,得x+2x2+3x2+nxn=兩邊對x求導，得Sn=12+22x2+32x2+ +n2xn-123. 解：f (x)=3ax2+1.若a0,f (x) 0對x ( g，+ g)恒成立，此時f(x)只有一個單調區間，矛盾.若 a=0,f (x)=1 0, x ( g，+ g),f(x)也只有