1、.常見曲線的參數方程作者:日期:51、中心在坐標原點，焦點在X軸上，標準方程是2X2ab21(a b0）的橢圓的參數方程為acos bsi n為參數）同樣，中心在坐標原點，焦點在y軸上，標準方程是2y_2ax2b21(a b0）的橢圓的參數方程為bcosasin(為參數）2、橢圓參數方程的推導如圖，以原點0為圓心，a,b（a bo）為半徑分別作兩個同心圓，設 A為大圓上的任一點，連接 0A，與小圓交于點B，過點A,B分別作X軸，y軸的垂線，兩垂線交于點 M 。圖 2 -2-1設以Ox為始邊，0A為終邊的角為 ，點M的坐標是（x, y）。那么 點A的橫坐標為x，點B的縱坐標為y。由于點 代B都在

2、角 的終 邊上，由三角函數的定義有x |OAcos acos , y |0B sinbsin 3當半徑OA繞點0旋轉一周時，就得到了點 M的軌跡，它的參數x a cos方程是（為參數）y bsi n這是中心在原點 0,焦點在x軸上的橢圓的參數方程。3、橢圓的參數方程中參數的意義x r cos一圓的參 數方程（為參數）中的參數 是動點y r sinx a cos,M （x, y）的旋轉角，但在橢圓的參數方程（為y bsi n參數）中的參數不是動點 M （x, y）的旋轉角，它是動點M (x, y)所對應的圓的半徑 OA (或OB )的旋轉角，稱為點M的離心角，不是 0M的旋轉角，通常規定0,24

3、、橢圓參數方程與普通方程的互化可以借助同角三角函數的平方關系將普通方程和參數方程互化。由橢圓的參數方程acos bsi n為參數，a b 0)，易得a述，*sin，可以利用平方關系將參數方程中的參2數 化去得到普通方程 篤ab21(a b 0)2 2在橢圓的普通方程篤占a b1(a b 0)中，令a述*sin，從而將普通方程化為參數方程acos bsi n為參數，a b 0)注：橢圓中參數的取值范圍：由普通方程可知橢圓的范圍是:a x a, b y b，結合三角函數的有界性可知參數0,2對于不同的參數，橢圓的參數方程也有不同的呈現形 式。二、雙曲線的參數方程焦點在x軸上，標準方程為1、以坐標原

4、點O為中心，1(a0,b0)的雙曲線的參數方程為a sec bta n為參數)中心在坐標原點，焦點在y軸上，標準方程是2 2卑篤 1(a0,b0)的雙曲線的參數方程為a b為參數)bta n(a sec2、雙曲線參數方程的推導9如圖，出2-2V以原點0為圓心，a,b(a 0,b0)為半徑分別作同心圓 Ci,C2，設A為圓G上任一點，作直線 0A，過點A作圓G的切線AA與x軸交于點A，過圓C2與x軸的交點B作圓C2的切線BB與直線0A交于點B。過點A, B分別作y軸，x軸的平行線AM ,BM交于點M。設Ox為始邊，0A為始邊的角為，點M (x, y)，那么點 A(x,O), B(b,y)因為點A

5、在圓C1上，由圓的參數方程的點A的坐標為OA(a cos,asin ), AA(xa cos ,asin),因為uuuuuiruuuuuurOAAA,所以OAAA 0,從而a cosi (xa cos ) (asin)20 ,解得a口x，記(acos , asin )。uur所以cosseccos因為點B在角的終邊上，由三角函數的定義有ta n_yb，a sec(為參數)bta n即 y tan bx所以點M的軌跡的參數方程為y這是中心在原點 0,焦點在x軸上的雙曲線的參數方程。a3、雙曲線的參數方程中參數的意義參數 是點M所對應的圓的半徑 OA的旋轉角，成為點M的離心角，而不是0M的旋轉角，

6、通常規定 0,2，且22，34、雙曲線的參數方程中參數的意義21sin22coscos1，即 sec21，可以利用此關系將普通方程和參數方程互化x由雙曲線的參數方程yasec bta n（為參數），易得a込岸tan ，可以利用平方關系將參數方程中的參2化去，得到普通方程篤a2 x 在雙曲線的普通方程飛 aa sec，y tan，從而將普通方程化為參數方程asec(為參數)ata n三、拋物線的參數方程1、以坐標原點為頂點，開口向右的拋物線數方程為X 2 pt （t為參數）y 2 pt同樣，頂點在坐標原點，開口向上的拋物線參數方程是x 2pt2（t為參數）y 2 pt22、拋物線參數方程的推導：

7、如圖2 px (p 0)的參2x 2py(p 0)的設拋物線的普通方程為y2 2px（p 0），其中p表示焦點到準線的距離。設M （x, y）為拋物線上除頂點外的任意一點,以射線OM為終邊的角為。當在(，)內變化時，點 M在拋物線上2 2運動，并且對于的每一個值，在拋物線上都有唯一的點M與之對應，故可取為參數來探求拋物線的參數方程。由于點M在 的終邊上，根據三角函數的定義可得ytan ,即y xtan ,代入拋物線普通方程可得x為參數)2p tan22p tan這就是拋物線 y2 2px(p 0)(不包括頂點)的參數1方程。如果令t,t (,0) U (0,)，則有tanX 2ptt為參數)y

8、 2pt當t 0時，由參數方程表示的點正好是拋物線的頂點(0,0)，因此當t (,0) U (0,)時，參數方程就表示整條拋物線。3、拋物線參數方程中參數 t的意義是表示拋物線上除頂點外的任 意一點與原點連線的斜率的倒數。四、例題：例1、已知橢圓的參數方程為2cos4si n(為參數)，點M在橢圓上，對應的參數-，點 0為原點，則直線OM的斜率為.x 2cos13 故點M的坐標為（1,2、3），y 4sin2 33所以直線OM的斜率為2氏。R)，則x 4cos例2、已知橢圓的參數方程為(為參數，y 4si n該橢圓的焦距為cos解：由參數方程得4 將兩式平方相加得橢圓的標準方程V .sin52

9、2為V11625所以焦距為2:25 166例3、O是坐標原點,xP是橢圓3cos2si n（為參數）上離心角解;把為 所對應的點，那么直線6OP的傾斜角的正切值是石代入橢圓參數方程x 3cosy 2sin（為參數），可得P1），所以直線OP的傾斜角的正切值是V2#1tan3/322 39x 4 costx 8cos例4、已知曲線G :（t為參數），C2:(V 3 si nty 3si n為參數）化C“C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線;22X2 V2解：G : （x 4）（V 3）1， C2:1 ， G 為圓心是649（4,3），半徑是1的圓，C2為中心是坐標原點， 焦點在x軸上

10、，長半軸長是8,短半軸長是3的橢圓。例5、設M為拋物線v2 2x上的動點，定點M。（ 1,0），點P為線段MM的中點，求點P的軌跡方程。解：設點P（x, v），令V 2t，則x22t，得拋物線的參數方程為x 2t，y 2t2則動點M（2t ,2t），定點M。（ 1,0），由中點坐標公式知點P的坐標滿足方程組1 2x (1 2t )21 y -(0 2t)2t2 （t為參數）這就是P點的軌跡的參數方程。消去參數化為普通方程是y2，它是以x軸為對稱軸，頂1點為（訐）的拋物線。2 2例6、在橢圓194上求一點M，使點M到直線x 2y 100的距離最小,并求出最小距離。x解：因為橢圓的參數方程為y3c

11、os2sin (為參數），所以可設點M的坐標為（3cos ,2sin由點到直線的距離公式,得到點M到直線的距離為:3cos 4sin 105(cos3 4、-sin ) 10 55、515cos( 0) 10其中0滿足于cos3 .,sin5由三角函數的性質知,0時，d取最小值、5。此時3cos 3cos 09，2sln2s 08，因此，9 8當點M位于 5）時，點M與直線x 2y 100的距離511取最小值5。例7、已知拋物線 寸 2px（ p 0） , O為坐標原點，M , N是拋物線上兩點且 MN三？，若直線OM ,ON的傾斜角分別9為_，求拋物線方程。3 3解：設 M（x, y），由拋

12、物線參數方程可知2 p cot2 33，即2 p cot 32x尹2,3y Tp故M（號Fp），同理知N（|p,寧p），因為MN#1 2所以p，得拋物線方程為y6例&已知兩曲線的參數方程分別為5 cos(0sin224t(tR），它們的交點坐標為5 cossin1(x2ft R）表示拋物線y2t1( x5 x5且 0 y 1)4 _x55(舍)4x 50又因為0 y 1，所以它們的交點坐標為 (10如圖所示，設M為雙曲線解:S12( 3)22 3 ( T) 2心，那么直線l與曲線C相交,10t/To結合圖像可知C上到I距離為的點有2個。10例5、設極點與原點重合， 極軸與x軸正半軸重合。已知曲

13、線C1的極坐標方程是k sin()丄2(k0)，曲線C2的參數4 2x 2 2cos方程為(為參數)，則兩曲線公共點的個y 2sin()2數為解：將兩曲線方程化為直角坐標方程，得CT : kx ky 1 0，C?:x y 20 ,兩直線平行或重合，所以公共點的個數為0或無數。填：0或無數x 1 2cos例6、已知直線l:3x 4y 120與圓C：(為y 2 2sin參數)，試判斷它們的公共點的個數解：圓的方程可化為(x 1)2 (y 2)2 4，其圓心為C( 1,2)，半徑為 2， 圓心到直線的距離為3 2 4 127d ._- 2，所以直線和圓相交，交點個數J32 425為2.例7、設直線l

14、1過點A(2,4)，傾斜角為詈(1 )求h的參數方程；(2)設直線l2 : x yI2與h的交點為B，求AB解：(1)由題意得+5t cos6 （t為參數）y 4 t sin 6，即2占2 （t4 -2為參數)(2)點B在h上，只要求出B點對應的參數t，則t就是點B到 點A的距離，把l1的參數方程代入12中，得431V3 1(2 t) ( 4 t) 10，所以t 7 ，即2 2 2t 147(.3 1)，t為正值，根據參數的幾何意義， 知1x 3cosy 3si n(為參數)AB 7( J3 1)例8、直線 x 1 2t (t為參數)與圓y 2 t交于A，B兩點，求AB的長 解：若求 AB的長

15、度，顯然要根據直線的參數方程的參數的幾何意義，把圓的方程由參數方程化為普通方程。由圓的參數方x 3cos22程知圓的普通方程為 X2y2 9y 3si nx 1 2t所以將直線方程代入圓的方程，得y 2 t2 2(1 2t)(2 t) 9284即 5t2 8t 4 0,所以由 t1 t2- ,t1t2-5 5,5 (t1t2)24212. 55知AB J22 1 t1 t2例9、已知點p(x,y)是圓x2 (y 1)21上任意一點，欲使不等式x y c 0恒成立，求c的取值范圍解：圓x2 (y 1)21的參數方程為x cosy 1 sin貝V有 x y 1 sincos1. 2 sin(-)(

16、x y)1. 2sin( ) , (x y)的最大值為41& , 由于x y c 0恒成立，即c 14222例10、在圓x y 4x 2y 20 0上求兩點 A, B，使它們到直線4x 3y 190的距離分別最短和最長。解：將圓的方程化為參數方程2 5cos1 5si n(為參數)，則圓上點P的坐標為(2 5cos ,15sin ),它到所給直線的距離20cos 15sin 304cos3sin43 .、665(一 cos sin )5cos()-55554 .cos ,sin53。故當cos(5)1，即時,最長，這時，點A的坐標為(6,4);當 cos(時,d最短，這時，點 B的坐標為(2,

17、2)例11、已知直線l : x y 10與拋物線2、十y x交于B兩點,1 2? (t為參數)2把它代入拋物線的t220，解得求線段AB的長和點M( 1,2)到A , B兩點的距離之積3解：因為直線I過定點M，且I的傾斜角為，所以它們的參數4方程是3x 1 t cos4 (t為參數)即3y 2 tsin -4231ti由參數ABtiMAMBt1t2例12、經過點M (2,1)作直線I，交橢圓2 2x y164如果點M恰好為線段AB的中點,求直線I的方程x解：設過點M(2,1)的直線l的參數方程為ytcos (t為參 tsin數)代入橢圓方程，整理得2 2(3s in1)t 4(cos2si n

18、 )t由t的幾何意義知 MA t1，MBt2，因為點M在橢圓內,.22這個方程必有兩個實根，所以t1 t24(cos 2sin )2 ，3s in 1因為點M為線段AB的中點，所以丄一$0即cos2sin 0 ,于是直線的斜率為k tan37因此,直線I的方程是2y 401（x 2），即 x三、練習題1、直線 3x 4y 90與圓x 2cosy 2sin為參數）的位置關系是（）A、相切D、相交但直線不過圓心相離C、直線過圓心解：因為d92 r，所以直線與圓相交，選 D32 4252、經過點M（1,5）且傾斜角為 的直線, 移t為參數的參數方程是（）以定點M到動點P的位丄t2迢21t2芻2t2芻

19、21t22x 1 t cos解：根據直線參數方程的定義，易得3，即y 5 t sin3x3、參數方程t f（t為參數）所表示的曲線是（）y2A、一條射線B、兩條射線C、一條直線兩條直線,2 U 2, ，即 x 2 或 x 2，故1解：因為x t -t是兩條射線。x4、曲線yCOSsin為參數)上的點到兩坐標軸的距離之和的最大值是()B、C、D、.2解：由題意得cossin，下面只解的情況,cossin、2 sin(-),故距離的最大值是x5、曲線方程y2 2cos2sin(為參數)上的點與定點A(1, 1)距離的最小值是解：最小距離d 2(1)122 .10 2對任意實數直線 y kxx 3

20、2cos(0y 1 2si n2 )恒有公共點，則b的取值范圍是解：由題意得點(0,b)恒在圓內，由 y 1 2sin1,3，則b 1,37、設直線l經過點M(1,5)、傾斜角為一3(1) 求直線I的參數方程；(2) 求直線I和直線x y 2-.30的交點到點M0的距離；2 2(3) 求直線l和圓x y 16的兩個交點到點 M 的距離的和與積1 1t2 （t為參數）5迢2x解：(1直線l的參數方程為y(2) 將直線|的參數方程中的 x,y代入x y 2.3 0,得t (10 6.3)，所以，直線l和直線x y 2.3 0的交點到點M。的距離為t 10 6聽(3) 將直線I的參數方程中的x, y代入x2 y216，得t2 （1 5.3）t 10 0設該方程的兩根為t1,t2，則t1（1 5、3）,址210,可知t1,t2均為負值，所以t1t2(t1 t2)13，所以兩個交點到點 M0的距離的和為15.3，積為10.2x相交于48、已知經過點P(2,0)，斜率為一的直線和拋物線3A，B兩點，設